§5线性子空间 、线性子空间的概念 定义7数域P上的线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空 间(或简称子空间),如果W对于Ⅰ的两种运算也构成数域P上的线性空间 定理2如果线性空间V的一个非空集合W对于V两种运算是封闭的,也就 是满足上面的条件1,2,那么W就是一个子空间 既然线性子空间本身也是一个线性空间,上面引入的概念,如维数、基、坐 标等,当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子 空间中有更多数目线性无关的向量.所以,任何一个线性子空间的维数不能超过 整个空间的维数 例1在线性空间中,由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间, 它叫做零子空间 例2线性空间本身也是V的一个子空间 在线性空间中,零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做V的平凡子空 间,而其它的线性子空间叫做非平凡子空间 例3在全体实函数组成的空间中,所有的实系数多项式组成一个子空间 例4P[x]n是线性空间P[x的子空间 例5在线性空间P中,齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+anxn=0 a21x1+a2x2+…+a2nxn=0 a1x1+a2x2+…+amxn=0 的全部解向量组成一个子空间,这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解 空间的基就是方程组的基础解系,它的维数等于n-r,其中r为系数矩阵的秩 生成子空间 设a,a2…a1是线性空间V中一组向量,这组向量所有可能的线性组合 ka1+k2a2+…+k,a 所成的集合是非空的,而且对两种运算封闭,因而是V的一个子空间,这个子空§5 线性子空间 一、线性子空间的概念 定义 7 数域 P 上的线性空间 V 的一个非空子集合 W 称为 V 的一个线性子空 间（或简称子空间），如果 W 对于 V 的两种运算也构成数域 P 上的线性空间. 定理 2 如果线性空间 V 的一个非空集合 W 对于 V 两种运算是封闭的，也就 是满足上面的条件 1，2，那么 W 就是一个子空间. 既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面引入的概念，如维数、基、坐 标等，当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子 空间中有更多数目线性无关的向量.所以，任何一个线性子空间的维数不能超过 整个空间的维数. 例 1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间， 它叫做零子空间. 例 2 线性空间 V 本身也是 V 的一个子空间. 在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做 V 的平凡子空 间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间. 例 3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间. 例 4 n P[x] 是线性空间 P[x] 的子空间. 例 5 在线性空间 n P 中，齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0, 0 , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 s s sn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解 空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于 n − r ，其中 r 为系数矩阵的秩. 二、生成子空间 设   r , , , 1 2  是线性空间 V 中一组向量，这组向量所有可能的线性组合 r r k11 + k22 ++ k  所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是 V 的一个子空间，这个子空