间叫做由a1,a2…a生成的子空间,记为 L(ax1,ax2,…,a) 由子空间的定义可知,如果V的一个子空间包含向量a1,a2…;a,那么就一定 包含它们所有的线性组合,也就是说,一定包含L(a1,a2…;a,)作为子空间 在有限维线性空间中,任何一个子空间都可以这样得到事实上,设W是V 的一个子空间,W当然也是有限维的设a1,a2…;a是W的一组基,就有 W=L(a,a2 定理31)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2) L(ax1,a2…ar)的维数等于向量组a1,a2…,a,的秩 定理4设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间,a1a2,…∝n是 W的一组基,那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说,在V中必定可 以找到n-m个向量αm1,am+2,…an使得a1,a2…,an是V的一组基 结论数域P上线性空间V的一个非空子集W是V的一个子空间 台Vab∈F,a,B∈W,都有a+bB∈W间叫做由   r , , , 1 2  生成的子空间，记为 ( , , , ) L 1 2  r . 由子空间的定义可知，如果 V 的一个子空间包含向量   r , , , 1 2  ，那么就一定 包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含 ( , , , ) L 1 2  r 作为子空间. 在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设 W 是 V 的一个子空间， W 当然也是有限维的.设   r , , , 1 2  是 W 的一组基，就有 ( , , , ) W = L 1 2  r . 定理 3 1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2） ( , , , ) L 1 2  r 的维数等于向量组   r , , , 1 2  的秩. 定理 4 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，    m , , , 1 2  是 W 的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说，在 V 中必定可 以找到 n −m 个向量  m  m  n , , , +1 +2  使得    n , , , 1 2  是 V 的一组基. 结 论 数 域 P 上 线 性 空 间 V 的 一 个 非 空 子 集 W 是 V 的 一 个 子 空 间 a,bF,, W,都有a + b W