34两个有用的引理 引理3.1如果函数f(z)在z=a点的邻域内连续 并且当61≤arg(z-a)≤2,|z-a→0时,(2-a)f(2)一致地 趋近于k,则 m/.f(a=i(e2-6) 其中C是以z=a为圆心,6为半径,夹角为62-1的圆 弧,|2-a=6,61≤arg(z-a)≤b2,见图37 证因为 i(62-61) 图37 所以 f(2)d2-ik(2-61) f(a)- le-a)f(a) 由于当1≤arg(z-a)≤的2,z-a→0时,(z-a)f(2)一致地趋近于k,这意味着vε>0,(与 arg(z-a)无关的)r()>0,使当|(2-a)=6<r时,(z-a)f(z)-k<ε.所以 f(2)dz-ik(62-61)≤(02-1 in/f()dz=ik(2-61).口Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 9 ✟ §3.4 ➃➄➅➆❽➇❿ ➈ ➚ 3.1 ❖P★✙ f(z) ✩ z = a ✳✢❏➉ ý ❙❚✧ ❋❀✸ θ1 ≤ arg(z − a)≤ θ2, |z − a| → 0 ✻ ✧ (z − a)f(z) ✴➉➂ ➊➋❥ k ✧❆ lim δ→0 Z Cδ f(z)dz = ik(θ2 − θ1), ❬ ❭ Cδ ✘ Ï z = a ✱ ➌➍✧ δ ✱➎t✧➏➐✱ θ2 − θ1 ✢ ➌ ➑✧ |z − a| = δ, θ1 ≤ arg(z − a) ≤ θ2 ✧ ➱✃ 3.7 ✤ Ü ◆✱ Z Cδ dz z − a = i(θ2 − θ1), ❋ 3.7 ÷ Ï     Z Cδ f(z)dz − ik(θ2 − θ1)     =     Z Cδ  f(z) − k z − a  dz     ≤ Z Cδ |(z − a)f(z) − k| |dz| |z − a| . ⑦❥✸ θ1 ≤ arg(z − a) ≤ θ2 ✧ z − a → 0 ✻ ✧ (z − a)f(z) ✴➉➂➊➋❥ k ✧❐ ✯➒➓ ∀ε > 0 ✧ ∃(❁ arg(z − a) ❄❅✢) r(ε) > 0 ✧✹✸ |(z − a)| = δ < r ✻ ✧ |(z − a)f(z) − k| < ε ✤÷Ï     Z Cδ f(z)dz − ik(θ2 − θ1)     ≤ ε(θ2 − θ1), ♦ lim δ→0 Z Cδ f(z)dz = ik(θ2 − θ1).