有f(x)=(±g(x)h(x),这样必要性得证 作为高斯引理的又一应用,我们可得下面的重要结论(实际的证明过程与证明“因式唯 分解定理”相似,都是运用数学归纳法,详细书写见课本) 定理(Z[x]内多项式的因式分解)设∫(x)是Zx内一个首项系数为正数的多项式且 f(x)≠1,则f(x)在Zx]内可分解为 f(x)=p3…pp1(x)…p(x)y 其中P12…,P为两两不同的素数,P(x)…,P(x)为Zx]内两两不同,次数≥1且首项系 数为正的不可约多项式。上述分解式除了因子的排列次序外,是唯一的。 这个定理从抽象的观点可以拓展为 推论唯一分解整环上的多项式环仍是唯一分解整环。 2.3爱森斯坦判别法 爱森斯坦判别法是目前为止用来判断Z[x]内一个多项式可约与否的最好结果 爱森斯坦判别法设给定n次本原多项式 f(x)=a+a1x+…+anx"∈Z[x](m≥1) 如果存在一个素数p,使pa(=0,1…,n-1),但p}an,p2|a0,则f(x)在Zx]内 不可约。 证明:用反证法。设∫(x)在Zx]内可约,即 ∫(x)=g(x)h(x) 其中 g(x)=b0+b2x+…+bnx"∈Z[x] h(x)=c0+c1x+…+cx∈Zx 这里0<degg(x)<degf(x)。为方便计,下面式子中多项式f(x)g(x),h(x)的系数 a,b,c的下标大于其对应多项式的次数时,均认为等于零。 因为an=bn,而p|an,故p|bn,P|c 另一方面,pa,而a0=bc0,故p|b或P|c0:不妨设P|b,此时因p2|a,故 p 设p|b(=0,…,r-1),但P|b(0<r<m)。此时p|an,而 ar,=(boc, +bc_+.+b-C)+bco 上式括号中各项均含有因子p,故p|bc。但P|b,plco,p为素数,矛盾。由此,f(x) 在Z[x]内不可约。 §3实系数多项式根的分布有 f x g x h x ( ) ( ( )) ( ) =  ，这样必要性得证。 作为高斯引理的又一应用，我们可得下面的重要结论（实际的证明过程与证明“因式唯 一分解定理”相似，都是运用数学归纳法，详细书写见课本） 定理（ Z[ ] x 内多项式的因式分解）设 f x( ) 是 Z[ ] x 内一个首项系数为正数的多项式且 f x( ) 1  ，则 f x( ) 在 Z[ ] x 内可分解为 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) k l e f e f k l f x p p p x p x = 其中 1 , , k p p 为两两不同的素数， 1 ( ), , ( ) l p x p x 为 Z[ ] x 内两两不同，次数  1 且首项系 数为正的不可约多项式。上述分解式除了因子的排列次序外，是唯一的。 这个定理从抽象的观点可以拓展为： 推论 唯一分解整环上的多项式环仍是唯一分解整环。 9.2.3 爱森斯坦判别法 爱森斯坦判别法是目前为止用来判断 Z[ ] x 内一个多项式可约与否的最好结果。 爱森斯坦判别法 设给定 n 次本原多项式 0 1 ( ) [ ] ( 1) Z n n f x a a x a x x n = + + +   如果存在一个素数 p ，使 | ( 0,1,..., 1) i p a i n = − ，但 2 0 | , | n p a p a   ，则 f x( ) 在 Z[ ] x 内 不可约。 证明：用反证法。设 f x( ) 在 Z[ ] x 内可约，即 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = ， 其中 0 1 0 1 ( ) [ ], ( ) [ ]. Z Z m m l l g x b b x b x x h x c c x c x x = + + +  = + + +  这里 0 deg ( ) deg ( )   g x f x 。为方便计，下面式子中多项式 f x g x h x ( ), ( ), ( ) 的系数 , , iii a b c 的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。 因为 n m l a b c = ，而 | n p a ，故 | , | m l p b p c   。 另一方面， 0 p a| ，而 0 0 0 a b c = ，故 0 p b| 或 0 p c| ；不妨设 0 p b| ，此时因 2 0 p a| ，故 0 p c| 。 设 | ( 0,..., 1) i p b i r = − ，但 | (0 ) r p b r m    。此时 | r p a ，而 0 1 1 1 1 0 ( ) r r r r r a b c b c b c b c = + + + + − − 上式括号中各项均含有因子 p ，故 0 | r p b c 。但 0 | , | r p b p c   ，p 为素数，矛盾。由此， f x( ) 在 Z[ ] x 内不可约。 §3 实系数多项式根的分布