第二学期第二十一次课 922Qx]内多项式的因式分解 定义9.12定义Zx]={ax"+a1x”+…+an|a∈Zt=0,1,…,n 假设∫(x)∈Zx],f(x)≠0及±1。如果g(x),h(x)∈Z[x,使得f(x)=g(x)h(x),且 g(x)≠土1,h(x)≠±1,则称f(x)在Z[x]内可约,否则称∫(x)在Z[x]内不可约。 定义9.13设 f(x)=ax"+a1x+…+an∈Zx 这里n≥1。如果(ao,a1…,an)=1,则称f(x)是一个本原多项式。 命题Qx]内一个非零多项式f(x)可以表成一个有理数k和一个本原多项式f(x)的 乘积:f(x)=k(x),而且k除了差一个土1因子外,是被∫(x)唯一决定的 证明是很简单的,可取k=±d/m,其中d为m/(x)系数的最大公因子,而m为f(x) 系数的分母的一个公倍数 定理(高斯引理)两个本原多项式的乘积还是一个本原多项式。 证明设 f(x)=a+a1x+…+anx"(a1∈Z) g(x)=b+bx+…+bnx(b∈Z) 是两个本原多项式。为方便记,下面设an+1=an+2=…=0,bm+1=bn+2=…=0。又设 f(x)g(x)=Co+cx+.+cmx 如果∫(x)g(x)不是本原多项式,令素数p是其系数的一个公因子 设Pa(=0,1…,F-1)pa(≤n)PbG=0,1…,s-1)Pb(s≤m)而另一方 面,p|c,而c=(abn+…+a-b)+a,b,+(an:b-+…+a,、b)。该式两个括 号内均含有因子p,故必有p|a,b,因为p是素数,p|an→(P,an)=1,此时应有p|b,, 与假设矛盾。这个矛盾表明乘积f(x)g(x)是本原多项式。 由高斯定理,我们容易得到 命题设∫(x)∈Qx]degf(x)>0。命∫(x)=kf(x),其中k∈Q,f(x)是一个本原 多项式。则∫(x)在Qx]内可约的充分必要条件是f(x)在Z[x]内可约 证明充分性是显然的。下面来证必要性 设f(x)=g(x)h(x),其中g(x),h(x)∈Qx],0<degg(x)<degf(x)。命 g(x)=(x)h(x)=1h(x),其中l,l∈Q,而g(x),h(x)为本原多项式。此时 f(x)=k(x)=l1g(x)h(x)。根据高斯引理,g(x)h(x)为本原多项式,在由前面的命题第二学期第二十一次课 9.2.2 Q[ ] x 内多项式的因式分解 定义 9.12 定义 1 0 1 Z Z [ ] { | , 0,1,..., } n n n i x a x a x a a i n − = + + +  = 。 假设 f x x f x ( ) [ ], ( ) 0 1    Z 及 。如果 g x h x x ( ), ( ) [ ] Z ，使得 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = ，且 g x h x ( ) 1, ( ) 1     ，则称 f x( ) 在 Z[ ] x 内可约，否则称 f x( ) 在 Z[ ] x 内不可约。 定义 9.13 设 1 0 1 ( ) [ ] Z n n n f x a x a x a x − = + + +  ， 这里 n 1 。如果 0 1 ( , ,..., ) 1 n a a a = ，则称 f x( ) 是一个本原多项式。 命题 Q[ ] x 内一个非零多项式 f x( ) 可以表成一个有理数 k 和一个本原多项式 f x( ) 的 乘积： f x kf x ( ) ( ) = ，而且 k 除了差一个 1 因子外，是被 f x( ) 唯一决定的。 证明是很简单的，可取 k d m =  / ，其中 d 为 mf x( ) 系数的最大公因子，而 m 为 f x( ) 系数的分母的一个公倍数。 定理（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是一个本原多项式。 证明 设 0 1 0 1 ( ) ( ), ( ) ( ) Z Z n n i n n i f x a a x a x a g x b b x b x b = + + +  = + + +  是两个本原多项式。为方便记，下面设 1 2 1 2 0, 0 n n m m a a b b + + + + = = = = = = 。又设 0 1 ( ) ( ) m n m n f x g x c c x c x + = + + + + ， 如果 f x g x ( ) ( ) 不是本原多项式，令素数 p 是其系数的一个公因子。 设 | ( 0,1,..., 1), | ( ); i r p a i r p a r n = −   | ( 0,1,..., 1), | ( ) j s p b j s p b s m = −   。而另一方 面， | r s p c + ，而 0 1 1 1 1 0 ( ) ( ) r s r s r s r s r r r s c a b a b a b a b a b + + − + + − + = + + + + + + 。该式两个括 号内均含有因子 p ，故必有 | r s p a b 。因为 p 是素数， | ( , ) 1 r r p a p a   = ，此时应有 | s p b ， 与假设矛盾。这个矛盾表明乘积 f x g x ( ) ( ) 是本原多项式。 由高斯定理，我们容易得到 命题 设 f x x f x ( ) [ ],deg ( ) 0   Q 。命 f x kf x ( ) ( ) = ，其中 k f x Q, ( ) 是一个本原 多项式。则 f x( ) 在 Q[ ] x 内可约的充分必要条件是 f x( ) 在 Z[ ] x 内可约。 证明 充分性是显然的。下面来证必要性。 设 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = ，其中 g x h x x g x f x ( ), ( ) [ ],0 deg ( ) deg ( )    Q 。 命 1 g x lg x h x l h x ( ) ( ), ( ) ( ) = = ，其中 1 l l, Q ， 而 g x h x ( ), ( ) 为本原多项式。此时 1 f x kf x ll g x h x ( ) ( ) ( ) ( ) = = 。根据高斯引理， g x h x ( ) ( ) 为本原多项式，在由前面的命题