(②)由于a≠0是线性无关的，将其扩充为V的一组正交基a,2,…,m,因为(a,)=0,i=2,…,n, 所以∈，i=2,,n. 任取3e,令=k1a+k22++knm,则(a,)=(a,a)+k2(2,)++kn(,a,由(a,)= (,)=0得(a,a）=0,由a≠0，于是1=0，因此3=2呢+…+k,于是M=L(m,…,m) 例题9.15设M,是欧式空间v的子空间.证明：()(M+)=Vn哈；（②）(n吃=Y+ 证()设ae(%+),则a⊥+.由于飞，为K+的子空间，所以a⊥M,a上.因 此ae,a∈，因此a∈Vn哈，即(%+)HcVn哈. 另一方面，设a∈Vn哈，则a∈，a∈哈，即a⊥M,a⊥.任取B=B+五∈+ ,B1∈V,32∈2，则(a,8)=(a,B)+a,品2)=0，于是a⊥B.因此a⊥V+,即a∈(W+2上 n哈+) 于是W vn (②)用换M,哈换，代入(M+)上-n得(+哈十-()上n(哈)上-n, 即(%n)上=+哈. 例题9.16设p是欧式空间V的一个变换，证明 ()若(-(a),p(3)=(a,3).对任意a,B∈V,则e是线性的，因而是正交变换： ()若((a,)=(a,p(),对任意a,B∈V,则p是线性的，因而是对称变换 例题9.17(1)设n是n维欧式空间V中一单位向量，对任意a∈V,定义：p(a)=a-2(a,m,a∈V 证明(1)是V的正交变换，这样的正交变换称为镜面反射： (②)2是第二类的： (3)若dimv= n且1为正交变换的特征值，且属于1的特征子空间%的维数为m一1，则是镜面反射 证()）直接验证可得 (2)将单位向量扩充为V的一组标准正交基n.E2.·,Em.由于()=7-2(n.)切=-n.(e:)= e:-2().g:)切=e.于是 ((,(p(e2),…,p(en》=(m,2,…,n)diag(-l,1,…,1因为lding((-1,1,…,1=-1，所以p是 第二类的 ③)p的特征值有n个，现有n-1个1，另一个也应为实数，不妨设为入，则存在V的一组基1,2，…，n使 得(o(ep(e2.…,(en》=(G1,e2…,cn)diag(入，1，…，1).因为p为正交变换，所以(e1,)=((e1(e2》= 2(G1,9,因此2=1.但y是n-1维的，所以A=-1,于是(e1)=-61,(e)=c,i=2,…,n 由A为实对称矩阵，属于A的不同特征值的特征向量必正交，于是（©1，）=0，i=2,…,n.令1=向 则m为单位向量、且与g2. ,n仍正交，，e2 ·,n构成V的一组基且()-p(向)=-n. 对任意a∈V,令a=1+k22十 nn,于是 p(a)=p()+k2p(e2)+·+knp(En)=-刀+k22+···+knm+ (a,=(k1n+22+…+knsn,=k1, 0-2(,a)切=-k1刀+e2+·十knEn 于是(a)=a-2(,a)m,这样p是镜面反射 例题9.18(1)设a,B是欧式空间中两个不同的单位向量，证明：存在一镜面反射p使得(a)= (②)n维欧式空间V中任一正交变换都可以表示成一系列镜面反射的乘积. 证(1)镜面反射为 其中是待定的单位向量，将a代入①得 7 (2) duα 6= 0¥Ç5Ã', ÚŸ*øèV ò|ƒα, η2, · · · , ηn, œè(α, ηi) = 0, i = 2, · · · , n, §±ηi ∈ V1, i = 2, · · · , n. ?β ∈ V1, -β = k1α+k2η2 +· · ·+knηn, K(α, β) = k1(α, α) +k2(η2, α) +· · ·+kn(ηn, α), d(α, β) = (ηi , β) = 0k1(α, α) = 0, dα 6= 0, u¥k1 = 0, œdβ = k2η2 + · · · + knηn, u¥V1 = L(η2, · · · , ηn). ~K9.15 V1, V2¥Ó™òmV fòm. y²: (1) (V1+V2) ⊥ = V ⊥ 1 ∩V ⊥ 2 ; (2) (V1∩V2) ⊥ = V ⊥ 1 +V ⊥ 2 . y (1) α ∈ (V1 + V2) ⊥, Kα ⊥ V1 + V2. duV1, V2èV1 + V2fòm, §±α ⊥ V1, α ⊥ V2. œ dα ∈ V ⊥ 1 , α ∈ V ⊥ 2 , œdα ∈ V ⊥ 1 ∩ V ⊥ 2 , =(V1 + V2) ⊥ ⊆ V ⊥ 1 ∩ V ⊥ 2 . ,òê°, α ∈ V ⊥ 1 ∩ V ⊥ 2 , Kα ∈ V ⊥ 1 , α ∈ V ⊥ 2 , =α ⊥ V1, α ⊥ V2. ?β = β1 + β2 ∈ V1 + V2, β1 ∈ V1, β2 ∈ V2, K(α, β) = (α, β1) + α, β2) = 0, u¥α ⊥ β. œdα ⊥ V1 + V2, =α ∈ (V1 + V2) ⊥, V ⊥ 1 ∩ V ⊥ 2 ⊆ (V1 + V2) ⊥. u¥(V1 + V2) ⊥ = V ⊥ 1 ∩ V ⊥ 2 . (2) ^V ⊥ 1 ÜV1, V ⊥ 2 ÜV2, ì\(V1 + V2) ⊥ = V ⊥ 1 ∩ V ⊥ 2 (V ⊥ 1 + V ⊥ 2 ) ⊥ = (V ⊥ 1 ) ⊥ ∩ (V ⊥ 2 ) ⊥ = V1 ∩ V2, =(V1 ∩ V2) ⊥ = V ⊥ 1 + V ⊥ 2 . ~K9.16 ϕ¥Ó™òmV òáCÜ,y² (i) e(ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β), È?øα, β ∈ V , Kϕ¥Ç5,œ ¥CÜ; (ii) e(ϕ(α), β) = (α, ϕ(β)), È?øα, β ∈ V , Kϕ¥Ç5,œ ¥È°CÜ. ~K9.17 (1) η¥nëÓ™òmV •ò¸†ï˛, È?øα ∈ V , ½¬: ϕ(α) = α − 2(α, η)η, α ∈ V . y²(1) ϕ¥V CÜ,˘Cܰ躰á; (2) ϕ¥1a; (3) edimV = nÖ1èCÜϕAä, Ö·u1AfòmV1ëÍèn − 1, Kϕ¥º°á. y (1) Üyå. (2) Ú¸†ï˛η*øèV ò|IOƒη, ε2, · · · , εn. duϕ(η) = η − 2(η, η)η = −η, ϕ(εi) = εi − 2(η, εi)η = εi ,u¥ (ϕ(η),(ϕ(ε2), · · · , ϕ(εn)) = (η, ε2, · · · , εn)diag(−1, 1, · · · , 1), œè|diag(−1, 1, · · · , 1)| = −1, §±ϕ¥ 1a. (3) ϕAäkná, ykn−1á1, ,òáèAè¢Í, ÿîèλ, K3V ò|ƒε1, ε2, · · · , εn ¶ (ϕ(ε1), ϕ(ε2), · · · , ϕ(εn)) = (ε1, ε2, · · · , εn)diag(λ, 1, · · · , 1). œèϕèCÜ, §±(ε1, ε1) = (ϕ(ε1), ϕ(ε2)) = λ 2 (ε1, ε1), œdλ 2 = 1. V1¥n − 1ë, §±λ = −1. u¥ϕ(ε1) = −ε1, ϕ(εi) = εi , i = 2, · · · , n. dAè¢È°› , ·uAÿ”AäAï˛7, u¥(ε1, εi) = 0, i = 2, · · · , n. -η = 1 |η| η, Kη踆ï˛, ÖÜε2, · · · , εnE, η, ε2, · · · , εn §V ò|ƒÖϕ(η) = ϕ( 1 |η| η) = −η. È?øα ∈ V , -α = k1η + k2ε2 + · · · + knεn, u¥ ϕ(α) = k1ϕ(η) + k2ϕ(ε2) + · · · + knϕ(εn) = −k1η + k2ε2 + · · · + knεn, (α, η) = (k1η + k2ε2 + · · · + knεn, η) = k1, α − 2(η, α)η = −k1η + k2ε2 + · · · + knεn. u¥ϕ(α) = α − 2(η, α)η, ˘ϕ¥º°á. ~K9.18 (1) α, β¥Ó™òm•¸áÿ”¸†ï˛, y²: 3òº°áϕ¶ϕ(α) = β; (2) nëÓ™òmV •?òCÜ—å±L´§òXº°á¶». y (1) º°áè ϕ(γ) = γ − 2(η, γ)η, γ ∈ V , (I) Ÿ•η¥ñ½¸†ï˛, Úαì\(I) 7