令入=ai,a≠0为A的特征值，u+i为对应的特征向量，其中u,v∈V则入=-为A的特征值，u-i为 对应的特征向量.若山，线性无关，则e≠0且u=k知对某个实数k,由4u+io)=ai(u+i四)得A(u+ i切)=(+)A=(k+)aim,于是A=ai,显然A为实向量，但aim为虚向量，矛盾.故，线性无 关.由Au十i) ai(u+i)得Au -a,A知=a由(Au,)=-(,A)得(-a,）=-u,a,于 是(u,)=(以，即u=叫 例题9.12设n阶4为反对称矩阵，则存在正交矩阵U使得U4U为准对角阵diag(41,…,A.,0,…,0), 种4=（8）= 证对A的阶用数学归纳法.当=2时，A只能形如0a）,结论成立 00 若s>0,令入=a1i,a1≠0为A的特征值，u+i,弘，口∈为对应的特征向量，由例题11中()可以假 定，为线性无关的单位向量.将，正交化为 2并扩充为Rm的一组标准正交基1,2，3…,Gs,则 B. A4Ae）=a2,ae0B 令P=(1,2,,…,则P为正交矩阵 且PAP=(品）其中A为阶实矩阵因为A板对格，所以PAP反对称因此A,岛反对矩阵 且队，=0此时A有特征值于是4=(》：）此时是-瑜的实反对搭矩库由白的假设 存在m-2阶正交矩阵T使得TB2T=diag(42,…,A,0,…,0,其中A= 0a4i=2…5 -040 0a i=1…,s -040 令U=PQ,U为正交矩阵，且U"PU为结论中的形式，因此结论成立 若s=0,则A的特征值全为0，设1∈V是属于0的单位特征向量，将其扩充为的一组基1,2，…，ea 则上，)=…(8化）同样P=6…小则P为正交矩 阵且PAP=(日水）因为A反对称所以P严AP反对称因此=Q反对矩陈、此时出有特 征值为0，有归钠假设，存在n-1阶正交矩阵T使得TBT=diag(0,0.…,0),令U=PQ,U为正交矩阵 且U'PU为零矩阵，因此结论成立。 例题9.13设是n维欧式空间V的正交变换（对称变换，反对称变换），若W是不变子空间，则W1也 是不变子空间 证()设p是n维欧式空间V的正交变换，取W的一组标准正交基e1,2,·,cm,将其扩充为V的一组 标准正交基e1,2,…,m,cm+1,…,n,则W=L(e12,…,m),W吐=(em+1,…,n) 因为p是正交变换，所以p(61,(s2),…,p(en)为标准正交基.由于W是p不变子空间，p(e1),p(e2》,… p(em)∈W从而为W一组标准正交基.而p(em+1)…,(e)∈W.任取a∈WL,由于a=km+1em+1+十 +1) (e)∈w,放wl也是p不变子空间 间任取a∈，EW,由于W是不变子空间.所以e()EW,于是(a,(=0.因为是反对称 变换，所以((a,引=(a,p(3)》=0,于是p(a)∈∈W,即W1也是p不变子空间 例题9.14设V是n维欧式空间，a≠0为V中一固定向量.证明：()片={，a)=0)是V的子空间： (2）dim%=n-1. 证(1)略.-λ = ai, a 6= 0èAAä,u + ivèÈAAï˛,Ÿ•u, v ∈ V Kλ = −aièAAä,u − ivè ÈAAï˛. eu, vÇ5Ã', Kv 6= 0 Öu = kv È,á¢Ík, dA(u + iv) = ai(u + iv) A(u + iv) = (k + i)Av = (k + i)aiv, u¥Av = aiv, w,Avè¢ï˛,aiv èJï˛, gÒ. u, v Ç5à '. dA(u + iv) = ai(u + iv) Au = −av, Av = au. d(Au, v) = −(u, Av)(−av, v) = −(u, au), u ¥(u, u) = (v, v), =|u| = |v|. ~K9.12 nAèáÈ°› , K3› U¶U 0AUèOÈ diag(A1, · · · , As, 0, · · · , 0), Ÿ•Ai = 0 ai −ai 0 ! , i = 1, · · · , s. y ÈA^ÍÆ8B{. n = 2û, AêU/X 0 a −a 0 ! , (ÿ§·. es > 0, -λ = a1i, a1 6= 0èAAä, u + iv, u, v ∈ RnèÈAAï˛,d~K11•(iii’)å±b ½u, vèÇ5Ã'¸†ï˛. Úu, vzèε1, ε2ø*øèRnò|IOƒε1, ε2, ε3, · · · , εs, K (Aε1, Aε2, Aε3, · · · , Aεs) = (ε1, ε2, ε3, · · · , εs) A1 B1 0 B3 ! . -P = (ε1, ε2, ε3, · · · , εs), KPè› ÖP 0AP = A1 B1 0 B2 ! , Ÿ•A1è2¢› . œèAáÈ°, §±P 0APáÈ°, œdA1, B2áÈ› ÖB1 = 0. dûA1kAä±ai, u¥A1 = 0 a −a 0 ! . dûA2¥n − 2¢áÈ°› , d8Bb, 3n − 2› T ¶T 0B2T = diag(A2, · · · , As, 0, · · · , 0), Ÿ•Ai = 0 ai −ai 0 ! , i = 2, · · · , s. -Q = 1 0 0 T ! , KQ0P 0AP Q = diag(A2, · · · , As, 0, · · · , 0), Ÿ•Ai = 0 ai −ai 0 ! , i = 1, · · · , s. -U = P Q, Uè› , ÖU 0P Uè(ÿ•/™, œd(ÿ§·. es = 0, KAAäè0, ε1 ∈ V ¥·u0¸†Aï˛, ÚŸ*øèRn ò|ƒε1, ε2, · · · , εs, K(Aε1, Aε2, Aε3, · · · , Aεs) = (ε1, ε2, ε3, · · · , εs) 0 A1 0 A2 ! . ”-P = (ε1, ε2, ε3, · · · , εs), KPè› ÖP 0AP = 0 A1 0 A2 ! . œèAáÈ°, §±P 0APáÈ°, œdA1 = 0, A2áÈ› . dûA2 kA äè0,k8Bb, 3n − 1› T¶T 0B2T = diag(0, 0, · · · , 0), -U = P Q, Uè› , ÖU 0P Uè"› ,œd(ÿ§·. ’ ~K9.13 ϕ¥nëÓ™òmV CÜ(È°CÜ, áÈ°CÜ), eW¥ϕÿCfòm, KW⊥è ¥ϕÿCfòm. y (i) ϕ¥nëÓ™òmV CÜ, Wò|IOƒε1, ε2, · · · , εm, ÚŸ*øèV ò| IOƒε1, ε2, · · · , εm, εm+1, · · · , εn, KW = L(ε1, ε2, · · · , εm), W⊥ = (εm+1, · · · , εn). œèϕ¥CÜ, §±ϕ(ε1), ϕ(ε2), · · · , ϕ(εn)èIOƒ. duW¥ϕÿCfòm, ϕ(ε1), ϕ(ε2), · · · , ϕ(εm) ∈ Wl èWò|IOƒ. ϕ(εm+1), · · · , ϕ(εn) ∈ W⊥. ?α ∈ W⊥, duα = km+1εm+1 + · · · + knεn, §±ϕ(α) = km+1ϕ(εm+1) + · · · + knϕ(εn) ∈ W⊥, W⊥è¥ϕÿCfòm. (ii) ?α ∈ W⊥, β ∈ W, duW¥ϕÿCfòm,§±ϕ(β) ∈ W, u¥(α, ϕ(β)) = 0. œèϕ¥áÈ° CÜ, §±(ϕ(α), β) = (α, ϕ(β)) = 0, u¥ϕ(α) ∈∈ W⊥, =W⊥è¥ϕÿCfòm. ~K9.14 V ¥nëÓ™òm, α 6= 0èV •ò½ï˛. y²: (1) V1 = {x|(x, α) = 0}¥V fòm; (2) dimV1 = n − 1. y (1) —. 6