入b12b1n 0 622 ..b2n B= ,且B=TAI,I为正交矩阵.于是B=TA'T1,BB=TATTA'T1= TAAT=B 因此b2 b1n=0. b2…b2m 令B1 ,则B=0B ,且BB1=BB,因为A与B相似，所以由A的特征 值为实数知B1的特征值也为实数.因此有归纳假设，存在正交矩阵乃使得TB乃 知=('）r= 例题9.10欧式空间V的线性变换p称为对称变换，若((a),3)=(a,p(),对任意a,B∈V.证明 ()欧式空间V的线性变换为对称变换在任一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵 ()设为对称变换，y是p不变的子空间，则以也是不变的子 (曲)欧式空间V的对称变换的特征值为实数，特征向量为实向量，且属于不同特征值的特征向量一定 正交. 证dimV=n,e1,s2,·,en为v的标准正交基 0设p在e1,e2 cn下的矩阵为A=(a,则(e)=a11+a21+…+ama,(g)=aje1十 -A-Aam 2ye1+ 若A为对称矩阵，则对任意a,B∈V,令X,Y分别为a,B在e1,2,…,:下的坐标，因此p(a,p()在e1 ·,9m下的坐标分别为AX,AY.于是((a),B)=(AXyY=XA'Y=X'AY=(X,AY)=(a,(3) 从而2为对称变换. 例题9.11欧式空间V的线性变换p称为对称变换，若((a),)=-(a,p(3),对任意a,eV.证明 )欧式空间V的线性变换为反对称变换分在任一组标准正交基下的矩阵为反对称矩阵 ()设为反对称变换，上是 不变的子空间，则也是不变的子空间。 ()欧式空间V的反对称变换的特征值为零或纯虚。 =ai,a≠0为p的特征值，u+im为对应的 特征向量，则=一为V的特征值，“-为对应的特征向量，且叫=此属于互不共轭的特征值的特征 向量一定正交 ()反对称矩阵A的特征值为零或纯虚数，若入=ai,a≠0为A的特征值，u十i池，，v∈为对应的 特征向量，则=-a为A的特征值，u一切为对应的特征向量，且叫=叫 证dimv …,n为的标准正交基，为V的反对称变换 ()类似于例题9.11中()的证明可得： (间)设a∈，3∈，则(8，(a)=-((),a).因为%是p不变的子空间，所以()∈，因 此(e(),a)=0,于是(B,(a》=0.即y也是p不变的子空间. ()令入为A的特征值，X∈严为对应的特征向量，则AX=X.由A=-A得XAX=-AXX -AXTX=-xX'X,即X=-x'X,因此(A+刀x'X=0,因为X≠0，所以X'X≠0，于是入+入=0， 所以为零或纯虚数.进一步有，若AX=AK,则A下==不，因此也是A的特征值，下是对应的 特征向量 5 B =   λ b12 · · · b1n 0 b22 · · · b2n · · · · · · · · · · · · 0 bn2 · · · bnn   , ÖB = T 0 1AT1, T1è› . u¥B0 = T 0 1A0T1, BB0 = T 0 1AT1T 0 1A0T1 = T 0 1AA0T1 = B0B, œdb12 = · · · = b1n = 0. -B1 =   b22 · · · b2n · · · · · · · · · bn2 · · · bnn  , KB = λ 0 0 B1 ! , ÖB0 1B1 = B1B0 1 , œèAÜBÉq,§±dAA äè¢ÍB1 Aäèè¢Í. œdk8Bb, 3› T2¶T 0 2B1T2 =   λ2 . . . λn  . T = T1 1 T1 ! , KT 0AT =   λ1 . . . λn  . ~K9.10 Ó™òmV Ç5CÜϕ°èÈ°CÜ, e(ϕ(α), β) = (α, ϕ(β)), È?øα, β ∈ V . y²: (i) Ó™òmV Ç5CÜϕèÈ°CÜ⇔ ϕ3?ò|IOƒe› èÈ°› . (ii) ϕèÈ°CÜ, V1¥ϕÿCfòm, KV ⊥ 1 è¥ϕÿCfòm. (iii) Ó™òmV È°CÜAäè¢Í,Aï˛è¢ï˛, Ö·uÿ”AäAï˛ò½ . y dimV = n, ε1, ε2, · · · , εnèV IOƒ. (i) ϕ3ε1, ε2, · · · , εne› èA = (aij ), Kϕ(εi) = a1iε1 + a2iε1 + · · · + aniεn, ϕ(εj ) = a1j ε1 + a2j ε1 + · · · + anj εn, œd(ϕ(εi), εj ) = aji,(εi , ϕ(εj )) = aij . eϕèÈ°CÜ, K(ϕ(εi), εj ) = (εi , ϕ(εj )), =aji = aij , u¥A = A0 , AèÈ°› . eAèÈ°› , KÈ?øα, β ∈ V , -X, Y ©Oèα, β3ε1, ε2, · · · , εneãI, œdϕ(α), ϕ(β) 3ε1, ε2, · · · , εneãI©OèAX, AY . u¥(ϕ(α), β) = (AX) 0Y = X0A0Y = X0AY = (X, AY ) = (α, ϕ(β)), l ϕèÈ°CÜ. ~K9.11 Ó™òmV Ç5CÜϕ°èÈ°CÜ, e(ϕ(α), β) = −(α, ϕ(β)), È?øα, β ∈ V . y² (i) Ó™òmV Ç5CÜϕèáÈ°CÜ⇔ ϕ3?ò|IOƒe› èáÈ°› . (ii) ϕèáÈ°CÜ, V1¥ϕÿCfòm, KV ⊥ 1 è¥ϕÿCfòm. (iii) Ó™òmV áÈ°CÜAäè"½XJÍ; eλ = ai, a 6= 0èϕ Aä, u + ivèÈA Aï˛, Kλ = −aièV Aä, u − ivèÈAAï˛, Ö|u| = |v|; ·upÿ
›AäA ï˛ò½. (iii’) áÈ°› AAäè"½XJÍ, eλ = ai, a 6= 0èAAä, u + iv, u, v ∈ RnèÈA Aï˛, Kλ = −aièAAä, u − iv èÈAAï˛, Ö|u| = |v|. y dimV = n, ε1, ε2, · · · , εnèϕIOƒ, ϕèV áÈ°CÜ. (i) aqu~K9.11•(i)y²å; (ii) α ∈ V ⊥ 1 , β ∈ V1, K(β, ϕ(α)) = −(ϕ(β), α). œèV1¥ϕ ÿCfòm,§±ϕ(β) ∈ V1, œ d(ϕ(β), α) = 0, u¥(β, ϕ(α)) = 0. =V ⊥ 1 è¥ϕ ÿCfòm. (iii’) -λèAAä, X ∈ RnèÈAAï˛, KAX = λX. dA = −A0X0AX = −(AX) 0X = −(λX) 0X = −λX0X, =λX0X = −λX0X, œd(λ + λ)X0X = 0, œèX 6= 0, §±X0X 6= 0, u¥λ + λ = 0, §±λè"½XJÍ. ?ò⁄k, eAX = λX, KAX = λX = λX, œdλXè¥AAä, X ¥ÈA Aï˛. 5