第二学期第一次课 第五章§3实与复二次型的分类 1.复、实二次型的规范形: 定理复数域上的任一二次型∫在可逆变数替换下都可化为规范形 其中r是∫的秩.复二次型的规范形是唯一的 证明复数域C上给定二次型) f a,,, (ai=a 设它在可逆线性变数替换X=TZ下变为标准型 d 这相当于在C上n维线性空间V内做一个基变换 7h,n2…,7n )T 使对称双线性函数f(a,B)在新基下的矩阵成对角形,即 ∫(n,n,)=d,o 设d1,d2,…dn中有r个不为零。只要把n,n2,,mn的次序重新排列一下,就可以使不 为零的d排在前面,而后面n-r个d全为零。因此,不妨设f的标准型为 d, - +d (d≠0,i=12,r), f的矩阵为A=(a1),有 TAT=D= 因T可逆,r(D)=r(A).故D中主对角线上非零元素个数r=r(D)=r(A)=f的秩。 因为在复数域内任意一个数都可以开平方,所以可以对上述标准型再做如下可逆线性变 数替换(其中√d1为d的任一平方根)第二学期第一次课 第五章 §3 实与复二次型的分类 1．复、实二次型的规范形： 定理 复数域上的任一二次型 f 在可逆变数替换下都可化为规范形 , 2 2 1 r z ++ z 其中 r 是 f 的秩. 复二次型的规范形是唯一的. 证明 复数域 C 上给定二次型) = = = n i n j ij i j f a x x 1 1 ( aij = a ji ) 设它在可逆线性变数替换 X＝TZ 下变为标准型 + + 2 2 2 2 1 1 d z d z … 2 n n d z 这相当于在 C 上 n 维线性空间 V 内做一个基变换 （1，2，，n）＝（ 1， 2，， n）T 使对称双线性函数 f（α，β）在新基下的矩阵成对角形，即 f ( , ) , i  j = di ij 设 , , d1 d2 … n d 中有 r 个不为零。只要把 1，2，，n 的次序重新排列一下，就可以使不 为零的 i d 排在前面，而后面 n－r 个 i d 全为零。因此，不妨设 f 的标准型为 + + 2 2 2 2 1 1 d z d z … 2 r r d z （ i d  0,i =1,2,r）， f 的矩阵为 A=( ij a ),有 T AT ＝ D ＝                       0 0 2 1   dr d d 因 T 可逆，r（D）=r(A).故 D 中主对角线上非零元素个数 r＝r（D）＝r（A）＝f 的秩。 因为在复数域内任意一个数都可以开平方，所以可以对上述标准型再做如下可逆线性变 数替换（其中 di 为 i d 的任一平方根）：