于是f变作 定理实数域上的任一二次型∫在可逆变数替换下都可化为规范形 其中正平方项的个数p称为∫的正惯性指数,负平方项的个数q称为∫的负惯性指数 (P-q称为∫的符号差),p+q是∫的秩实二次型的规范形是唯一的 证明在实数域R上给定二次型 f=∑∑anxx1(an=an 设f的秩为r,由上一定理的证明可知,存在R上可逆线性变数替换X=TZ,使f化为标准 其中d1,d2,…d,为非零实数。按同样的道理,不妨设前p个:d1,d2,…d为正数,而余 下r-p个:dn+…,d为负数。因为在R内任何正数均可开平方,故可做R内可逆线性变 数替换 d uL 于是二次型化作                                        =                     = + + n r r r n r r z z z z d d u u u u U       1 1 1 1 1 1 1 于是 f 变作 . 2 2 2 2 u1 + u ++ ur 定理 实数域上的任一二次型 f 在可逆变数替换下都可化为规范形 , 2 2 1 2 2 1 p p p q z z z z ++ − + −− + 其中正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数，负平方项的个数 q 称为 f 的负惯性指数 （ p − q 称为 f 的符号差）， p + q 是 f 的秩. 实二次型的规范形是唯一的. 证明 在实数域 R 上给定二次型 = = = n i n j ij i j f a x x 1 1 ( aij = a ji ) 设 f 的秩为 r，由上一定理的证明可知，存在 R 上可逆线性变数替换 X＝TZ，使 f 化为标准 型 + + 2 2 2 2 1 1 d z d z … 2 r r d z 其中 , , d1 d2 … r d 为非零实数。按同样的道理，不妨设前 p 个: , , d1 d2 … p d 为正数，而余 下 r－p 个： d p dr , , +1  为负数。因为在 R 内任何正数均可开平方，故可做 R 内可逆线性变 数替换                = = = − = − = = + + + + + n n r r r r r p p p p p p u z u z u d z u d z u d z u d z                      1 1 1 1 1 1 1 1 于是二次型化作