第二十六讲 Laplace变换 §26.1 Laplace变换 · Laplace变换(简称拉氏变换)是常用的一种积分变换在数学、物理及工程科学中 有广泛的应用 本章介绍Laplace变换的定义及其基本性质,以及它的简单应用. Laplace变换是一种积分变换,它把f(t)变换为F(p), ∞ F(p)= e-ptf(t)dt. Jo 这里的t是实数,p是复数,p=s+io.F(p)为f(t)的Laplace换式,简称拉氏换式e-pt 是 Laplace变换的核 通常把 Laplace变换简写为 F(p)={f(t)} F(p)=(t); f(t)= -1{F()}(t)=F(p). f(t)和F(p)有时也分别称为 Laplace变换的原函数和象函数 需要说明,在本章中约定:f(t)应该理解为f(tη(t),其中 t) 1,t>0, 0,t<0 或者说,当t<0时应该理解为f(t)=0 例26.1函数f(t)=1的 Laplace换式为 ∞ 1 1=e-pt dt=-e-pt= Rep >0. Jo p lo 这里的限制条件Rep>0是为了保证积分收敛,或者说是 Laplace变换存在的条件 例26.2函数f(t)=eat的 Laplace换式为 eat dt-e-p-at=n-a 1 Rep> Rea. P lo 这里的限制条件Rep>Rea同样是为了保证积分收敛,即 Laplace变换存在 从例26.1和例26.2可以看出,由于 Laplace换的核是e-pt,所以对于相当广泛的函数f(t), 其拉氏换式都存在;甚至当t→∞,f(t)→时,f(t)的拉氏换式也可能存在Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ Laplace ✆✝ §26.1 Laplace ✞✟ • Laplace ✠✡ (☛☞✌ ✍✠✡) ✎✏✑✒✓✔✕✖✠✡✗✘✙ ✚✛✜✢✣✤✥✦ ✚✧ ★ ✩✪✒✫✑ ✗ • ✬✭✮✯ Laplace ✠✡✒✰✱✣✲✳✬✴✵✶✷✣✸✒ ☛✹✫✑✗ Laplace ✺✻✼✽✾✿❀✺✻✶❁❂ f(t) ✺✻❃ F(p) ✶ F(p) = Z ∞ 0 e −ptf(t) dt. ❄❅❆ t ❇❈❉✶ p ❇❊❉✶ p = s + iσ ✗ F(p) ❋● f(t) ❆ Laplace ❍■✶❏❋❑ ▲❍■✗ e −pt ❇ Laplace ▼❍❆◆✗ ❖P◗ Laplace ▼❍❏❘● F(p) = ❙ {f(t)} ❚ F(p) : f(t); f(t) = ❙ −1 {F(p)} ❚ f(t) ; F(p). f(t) ❯ F(p) ❱❲❳❨❩❋● Laplace ▼❍❆❬❭❉❯❪❭ ❉✗ ❫❴❵ ❛✶ ✘ ✬✭ ✧❜✰❝ f(t) ✫❞✢❡❢ f(t)η(t) ✶ ✲ ✧ η(t) = ( 1, t > 0, 0, t < 0. ❣❤❵ ✶✐ t < 0 ❥✫❞✢❡❢ f(t) = 0 ✗ ❦ 26.1 ❭ ❉ f(t) = 1 ❆ Laplace ❍■● 1 ; Z ∞ 0 e −pt dt = − 1 p e −pt     ∞ 0 = 1 p , Re p > 0. ❄❅❆❧♠♥♦ Re p > 0 ❇●♣qrs❨t✉✶❚✈✇❇ Laplace ▼❍①②❆♥♦✗ ❦ 26.2 ❭ ❉ f(t) = eαt ❆ Laplace ❍■● e αt ; Z ∞ 0 e −pt · e αt dt = − 1 p e −(p−α)t     ∞ 0 = 1 p − α , Re p > Re α. ❄❅❆❧♠♥♦ Re p > Re α ③④❇●♣qrs❨t✉✶⑤ Laplace ▼❍①②✗ ⑥⑦ 26.1 ❯ ⑦ 26.2 ⑧⑨⑩❶✶❷❸ Laplace ▼❍❆◆❇ e −pt ✶ ❹ ⑨❺❸❻❼❽❾❆❭❉ f(t) ✶ ❿ ❑ ▲❍■➀①②➁➂➃❼ t → ∞, f(t) → ∞ ❲✶ f(t) ❆ ❑ ▲❍■❳⑧➄①②✗