高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116:城名: dpke. xmu. edn. cn 第四章线性空间 提示:线性空间是高等代数主要研究的对象,它体现了代数学中研究其它代数结构的基本思路 向量的线性关系包括线性表出,线性相关和线性无关,空间的基和坐标,基之间的过渡矩阵等内容,是研 究线性空间的基本内容.定理3与例题4的替换定理是等价的.结论决定了向量组的秩和线性空间的基的 定义的合理性 子空间的交是子空间.一般地,子空间的并不是子空间.子空间的和是包含并的最小子空间.任意有限个 真子空间的并不能覆盖整个空间,这些都是学习子空间必须注意的事实.直和分解是代数学的主要思想方法 之作为线性空向的直和分解,是研究线性空间的义一个基本内容 维数公式的证明用到的扩基的思想方法经常可用,必须掌握 线性空间的定义 设F是一个数域,V是一个非空集合.V对于定义的加法数乘运算称为F上线性空间,如果对于任意 的a,b∈F,a,B,∈V满足 (3)在V中存在元素0,使对任意a∈V,有Q+0=a (4)对于中每个元素a,存在,使a+B=0 (5)a(a+B=a+u; (6)(a+b)a=aa+bo 线性空问V中的元素称为向量 向量的线性关系 向量可由a1,a2,…,线性表出,如果存在a1,2,…,a,∈F,使得a=a101+a202+…+a2O, 称向量组(1,a2,……,0,与向量组A1,B2,……,A等价,如果a4,1≤i≤可由A1,B2,…,房线性表示 且A,1≤i≤t可由cx1,a2,…,O线性表示 向量组a102,…,O称为线性相关,如果存在不全为零的a,1≤i≤“,使得∑1a;=0;不是线 性相关的问量组称为线性无关 定理1.设ax1,a2,…,a,是V的一个向量组,则下列叙述等价 1)a1,c2,…,a线性相关 (2)有一个cv可由其它向量线性表 定理2.设(1,a2,…,a。是V的一个向量组,则下列叙述等价 (1)a,c2,……,αx。线性无关 (2)如果∑=1aOx=0,则n4=0,1≤i≤s (3)向量0由a1202,…,a,线性表示的表示法唯