高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116:城名: dpke. xmu. edn. cn 第四章线性空间 提示:线性空间是高等代数主要研究的对象,它体现了代数学中研究其它代数结构的基本思路 向量的线性关系包括线性表出,线性相关和线性无关,空间的基和坐标,基之间的过渡矩阵等内容,是研 究线性空间的基本内容.定理3与例题4的替换定理是等价的.结论决定了向量组的秩和线性空间的基的 定义的合理性 子空间的交是子空间.一般地,子空间的并不是子空间.子空间的和是包含并的最小子空间.任意有限个 真子空间的并不能覆盖整个空间,这些都是学习子空间必须注意的事实.直和分解是代数学的主要思想方法 之作为线性空向的直和分解,是研究线性空间的义一个基本内容 维数公式的证明用到的扩基的思想方法经常可用,必须掌握 线性空间的定义 设F是一个数域,V是一个非空集合.V对于定义的加法数乘运算称为F上线性空间,如果对于任意 的a,b∈F,a,B,∈V满足 (3)在V中存在元素0,使对任意a∈V,有Q+0=a (4)对于中每个元素a,存在,使a+B=0 (5)a(a+B=a+u; (6)(a+b)a=aa+bo 线性空问V中的元素称为向量 向量的线性关系 向量可由a1,a2,…,线性表出,如果存在a1,2,…,a,∈F,使得a=a101+a202+…+a2O, 称向量组(1,a2,……,0,与向量组A1,B2,……,A等价,如果a4,1≤i≤可由A1,B2,…,房线性表示 且A,1≤i≤t可由cx1,a2,…,O线性表示 向量组a102,…,O称为线性相关,如果存在不全为零的a,1≤i≤“,使得∑1a;=0;不是线 性相关的问量组称为线性无关 定理1.设ax1,a2,…,a,是V的一个向量组,则下列叙述等价 1)a1,c2,…,a线性相关 (2)有一个cv可由其它向量线性表 定理2.设(1,a2,…,a。是V的一个向量组,则下列叙述等价 (1)a,c2,……,αx。线性无关 (2)如果∑=1aOx=0,则n4=0,1≤i≤s (3)向量0由a1202,…,a,线性表示的表示法唯
4)a1:a2,…,a,任一向量都不能由其余向量线性表出; 5)任一可由1,a2,……,,线性表示的向量的表示法唯一; 6)0;不可由ax1,02,……:O-1线性表出,1≤i≤ 定理3.设ax1,a2,…,α。与,,…,A是两个向量组,如果 1)a2a2,…,a可由A,2,…,线性表出 (2)“>(; a。线性相关 向量组a1:O2,…,x;,称为是向量组{a1,c2,…,O}的线性无关极大组,如果 (1){a1,Ot2,…a1}s(a,a2,…,a, (2)c1,at2…,a;,线性无关; 个向量组的线性无关极大组含有向量的个数是相等的,称为向量组的秩 定理4.(1)向量组的不同的线性无关极大组含有相同个数的向量 2)等价的向量组有相同的秩 三.基与维数 向量组a1,02,…,On称为线性空间V的一个基,如果 2)V中的任意向量可由a1,a2,…,an线性表出 这时,也称V的维数为n,记为dim(V)=n 取定V的基cx1,a2,……,an,B={cx1,a2,……,cn) bn称为在基 J ,o1,02,…,(n和1,2,…A是V的基,且 (B1,A2,…,A) ,an)An×n(*) 则A称为从基a12Q2…:On到B1,B2,…,An的过渡矩阵 命題1.(1)过渡矩阵是可逆阵; (2)在上面式子(*)中,如果a,a2,……,an是基,A是可逆阵,则1,2,……,A是V的基,并且A 是过渡矩阵.如果122,…,A是,A是可逆阵,则a1:O2,…,an是V的基,并且A是过渡矩阵 四.子空间和直和分解 设V是数域F上的线性空间,W是V的非空子集且W对加法,数乘封闭.则称W是V的线性 子空间,简称子空间.设V1,V2是V的子空间,则V1∩V2是V的子空间,称为Ⅵ1与V的交空间 V1+V2={a+a∈V,B∈V}是V的子空间,称为和空间.设S是线性空间V的子集 anm|m∈N,a∈S,a∈K,1≤i≤m} 是V的子空间,称为由S生成的子空间.特别地,当S={a1,a2,…:an},L(S)={m1a1+…+ a,n Om a∈K,1≤i≤m}
定理5.设S是V的非空子集 )L(S)是V的子空间,设V是包含S的子空间,则L(S)sV,因此L(S)=∩erV,其中V,i∈ 是V的包含L(S)的所有子空向 (2)设V1,V2是V的子空间,则L(V1uV2)=Vi+V2 (3)Lat:a2,……:a)=L(12,…,)的充分必要条件是a1a2,…,a,与:,…,房等价; (4)设a1:02,…,am是S中极大线性无关组,则L(S)=L(a1,a2,…,am),且 dim L(S)=m. 设V1,V2,…,V是线性空间V的子空间,对1t时,若对任意的,1≤i≤t,均有a1:2,…,(,线性相关,即1,…,可由 2,……,a线性表出.任取{1,…,}即可.若存在A,使得c12a2,…,a2B线性无关,由归纳 假设,存在01,2,……,①,B,B++2,…:B与(*)等价
例5.求Fm的基和维数 例6.设W1≤i≤t是线性空间V的真子空间,则存在非零向量∈V,使得g凵{ 证明提要:用t数学归纳法,当t=2时,易证命题成立 当t=6时,分三种懵况讨论.第一W.gU-W;第二.W卫U-1W第三.存在∈ U}W\W,n∈WU}=W,我们断言,存在k∈F使得(+gU=1W,否则,若对于任意的 k∈F,都有+h∈u=1W,因为只有有限个W,所以存在k,k2和Wn,i∈{1,2,…,s},使得 文+km,(+k2∈W,这样导致∈Wa,U=1W,与n的取法矛盾 例7.设S是n阶对称矩阵的全体,T是n阶反对称矩阵的全体 (1)求证S,T是V的子空间 (2)求S,T的维数和一个基 (3)证明V=S⊕T 题1.填空题.在P4中 (1)由基=(1,2,-1,0),2=(1,-1,1,1),s3=(-1,2,1,1),4=(-1,-1,0,1)到 (2,1,0,1),l=(0,1,2,2),=(-2,1,1,2),m=(1,3,1,2)的过渡矩阵是 (2)向量=(-2,1,-1,2)在mP2,3,下的坐标是- (3)向量B它在基,2,,和m,,,7下有相同的坐标,则 4)a1=(1,2,1,-2),02=(2,3,1,0),03=(1,2,2,-3),A1=(1,1,1,1),A2=(1,0.1,-1), 的维数是--,它的一个基是 它的一个基是---------- 题2.将=(1,2,1,1)表为向量组a1=(1,1,-1,-1),a2=(1,1,-1,-1),as=(1,-1,1,-1), 4=(1,-1,-1,1}的线性组合 题3.设向量可由向量组O1,a2,…,,线性表示,但小能向量组a1,a2,…,m-1线性表示,试 (1)a,不能由a1:2,…,a、-1线性表出 (2),可由a1,Q2,…,-1,3线性表出 题4.(1)已知向量组O1:a2,…,a。的秩为T,证明a1:0x2,……,a。中任意r个线性关的向量都构 成它的一个极大线性无关组 (2)已知两个向量组有相同的秩,且其中一个可由另一个线性表出证明这两个向量组等价 題5.在F2×2中,(1= 62,a3=113 (a1,2,a3,a4)的组基和维数,并扩为P2×2的一个基 題6.设A∈Fn (1)证明与A可交换的全体矩阵构成F的子空间,记为C(A} (2)当A=E时,求C(A (3)当A=0010 0001 求C(A)的基和维数
(4)当A=010],求C(A的一组基和维数 題7.(1)设W,1≤≤t,是线性空间V的真子空间,则存在v的子空间V,使得∩(=1W)=0; (2)设W,1≤i≤t,是n维线性空间V的真子空间,则存在线性无关的向量组ax1,a2,……,an,使得 1W,1≤ 题8.设S是数域F上的n阶方阵全体,U={A∈STr(4)=0},V={AFmA∈F} (1)求证U,V是S的子空间; (2)求U,V的维数 (3)证明S=UV 题9.证明∑m1dim(1)=dmmV)+∑m2dim(Vn∑/=1V) 题10.设W是F"X中由形如AB-BA矩阵生成的子空间.证明:dim(W)=n2-1