高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1,116;域名: gdipke. xml. edu. cn 第十二章二次型 提示:掌握二次型化成标准形和矩阵合同关系的对应结论,惯性定理得证明用到特殊的技巧,需要掌握 正定二次型是重要的典型的一类二次型.对于实对称矩阵,不但要掌握在合同关系下的标准形,还要掌握正 交相似关系的标准形 二次型的标准型 数域F上的二次型 ∫(x1,2, ∑a=XAx 这里,A=A,X′=(x1,x2,…,xn) 对X∈F×1,做非退化的线性替换X=PY,这里P∈FX是可逆矩阵,Y∈Fm×1.则 f(r1, 12, .,En=X'AX=YPAPY-Y'(PAP)Y 矩阵A,B∈F称为合同的,如果存在可逆阵P∈Fn,使得B=PAP,记为A~B 定理1.二次型经过非退化的线性替换后,新旧两个二次型所对应的矩阵是合同的,因而,两个矩阵合同 的充分必要条件是它们是同一个二次型在非退化线性替换前后的矩阵 定理2.(1)数域F上的任意二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方项的和的形式 (2)数域F上的任意对称矩阵都合同于一对角阵 定理3.复数域C上的任意二次型都可以经过非退化的线性替换变为规范形+v+…+2.规范 形是唯一确定的 定理4.设A=4∈C"x",则A~diag{En,0 定理5.设A,B∈C",A=A,B′=B.则A~B的充分必要条件是rank(4)=rank(B) 定理6(惯性定理).实数域R上的任意二次型都可以经过非退化的线性替换变为规范形2+v2+…+ y2.规范形是唯一确定的.定理中r是二次型的秩,p称为正惯性指数,q=r-p 称为负惯性指数,p-q=2p-7称为符号差 定理7.设A=A'∈R"",则A~diag{Ep-E=p,0} 且符 号差相等 二.正定二次型 实数域R上的二次型∫(x1,x2,…,xn)称为正定的,如果对于任意不全为零的x1,x2,…,xn,都有 rn)>0.实数域R上的对称矩阵A称为正定的,如果对于任意的0≠X∈R1,都有 XAX>O
定理9.对于实数域R上的二次型f(x1,r2……,n)=X4X,下列叙述等价 (1)f(x1,r2,…,xn)=X4X正定 (2)~E; (3)A的正惯性指数为n (4)存在可逆阵P,使得A=PP (5)A的所有顺序主子式>0; (6)A的所有顺序主子式的代数余子式>0 (7)A的所有主子式>0; (8)对任意0≠k∈R,kA是正定的; (9)A的所有特征根全>0 (10)存在主对角线上元素全是1的上三角阵B,使得A=BDB,其中D为可逆对角阵 (11)存在主对角线上元素全是1的上三角阵C,使得A=C'C 定理10.正定阵的迎矩阵也是正定阵.正定阵的和是正定阵 对称阵A∈RX称为半正定,如果对于任意的0≠X∈Rx1,都有X′AX>0.对称阵A∈R 称为负定,如果对于任意的0≠X∈R×1,都有XAX0,E+A是正定的 (7)A的所有特征根全≥0 例3.设对称阵A∈R,则当t充分大时,tE+A正定 例4.设对称阵A=(a;)∈R×"是正定的.求证:A的绝对值最大的元素必在对角线上 例5.设对称阵A=(a)∈R×”是正定的,证明存在正定阵B,使得A=Ba 证明提要:EAE;==(E,E川≤EE=√aa≤max{a 例6.设A A21 A 是一实对称阵,且A11≠0.证明存在可逆阵P,使得PAP 110 0B2),其中B2是与A2阶数相同的实矩阵 习题 题1.填空题
为标准形 (2)设A是n阶实可道阵,则B=(04 4 的正负惯性指数分别是---- (3)已知二次型f(x1,x2,x3)=2n1+2+3x3+2Ax1x2+2x1x3是正定二次型,则A的取值范围 543 40-6 453 010 证明A与B在实数域上合同,并且求出一可逆实矩阵P,使得PAP=B 题3.一个实二次型可以分解成为两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于2 和符号差等于0,或者秩等于1 题4.设二次型f(x1,m2,…,rn)=n2+……+2-92+1-…-y2+x.求证:f的正惯性指数P≤s 负惯性指数q0,X24X2<0, 则必存在X0∈R×1使得XAX0=0 题6.设A=(a;),B=(by)∈Rx是正定矩阵,则C=(a;by)也是正定矩阵 题7.(1)设A,B是正定矩阵,求证AB的特征值全为正实数 (2)设A,B是半正定矩阵,求证AB的特征值全为非负实数 题8.证明 (1)如果∑=103(a=aj)是正定二次型,那么 11 2y2 Onl (n2 Onn y 是负定二次型; (2)如果A是正定矩阵,那么|4≤anP-1,这里P=1是m-1阶的顺序主子式; (3)如果A是正定矩阵,那么|4|≤a11a22…anm; (4)如果B是n阶实可逆阵,那么B|≤∏=1(1+…+t2n 题9.设A,B是n阶实对称阵,且B是正定阵.证明存在一个n阶实可逆阵S使得S′A与SBS 同时为对角阵 题10.设A 是一实对称阵,其中a11<0,A-1是对称正定阵.求证 (1)An-1-a1Bβ正定 (2)A的符号差为n-2