厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（方法选讲，打印版）第十一章 欧氏空间

高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xml. edu.cn 第十一章欧氏空间 提示:欧氏空间是带有度量的线性空间.因为有内积,因面具有度量性质:向量的长度,夹角,正交,进 步有标准正交基, Schmidt正交化,正交矩阵和正交补空间. Schmidt正交化定理的证明方法实际上给 出计算方法,应该掌握.同时,用矩阵分解的角度考察 Schmidt正交化过程(习题4),也是有意义的, 欧氏空间的线性同构应该是保持内积的同构,实际上就是正交变换.正交变换和对称变换和实数域上正交 矩阵,对称矩阵的对应关系需要掌握.正交矩阵在正交相似下的标准型在一般教材中没有涉及,我们例题7 和例题8给出详细证明,并打了星号.例题9给出一个应用.镜面反射是重要的正交变换 实对称阵正交相似于对称阵,可以有空间的证明,也可以对矩阵的阶数做归纳证明. 本章我们在实数域R上讨论 欧氏空间以及正交向量 设R是实数域,V是武上的n维线性空间.映射(一,-):V×V→R称为一个内积,如果它具有以 下性质: (2)a,B)=a(a,B); (3)(a+B,y)=(a,)+(,); (4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时(a,a)=0. 这里a,B,Y是V中任意向量,k是任意实数,这样的线性空间称为欧氏空间, 定义向量a的长度为√0,a),记为a,长度为1的向量称为单位向量非零向量a,3的夹角 规定为=arcm,0≤≤.非零向量a,B称为正交的,记为aL如果 n维欧氏空间V的一个基1,2,…,sn称为标准正交基,如果(15;)=y,1≤i,j≤n.设 1,2;…,En是n维欧氏空间V的一个标准正交基,则对任意a∈V,有a=(a,E1)1+(a,e2)2+ +(a,En)n对于a=11+x22+…+nEn,B=1+y22+…+wn=n,有(a,B)= 1v1+29/2+--+nyr 定理1( Schmidt正交化定理).从n维欧氏空间V的一个基a,a2,……,On都可以找到一个标准正交 基1,2,……,n,使得L(a1,…,a)=L(1,…,s),1≤<s≤n 设m1,m2,…,mh和E1,E2……,En是n维欧氏空间V的两个标准正交基 则由于6=(7,m)=∑=10s0s,有TT=E 实数域R上的n阶方阵T称为正交矩阵,如果T-1=T 定理2.设m1,m2;…,mn和1,E2,…,En是n维欧氏空间V的两个基

是 正交矩阵,且其中有一个基是标准正交基,则另一个基也是标准正交基.所以,T是正交矩阵的充分必要条 件是T是n维欧氏空间V的两个标准正交基的过渡矩阵 欧氏空间的子空间的正交补 设Ⅵ,V2是n维欧氏空间V的两个子空间,a∈V.称a与V1正交,记为a⊥V1,如果对于任意 的∈V1,都有(a,B)=0.称1与V2正交,记为V⊥V2,如果对于任意的a∈V和∈V2,都有 (a,B)=0.设V,V是n维欧氏空间V的两个子空间,称V2是V1的正交补,记为v2=V,如果 定理3.(1)如果子空间V1,V2,…,V。两两正交,则和Ⅵ+V+…+V是直和 (2)n维欧氏空间V的每个子空间V都有唯一的正交补V恰由所有与V1正交的向量组成 三.n维欧氏空间的线性变换 1.一般线性变换 sn是n维欧氏空间V的两个标准正交基,A是V的线性变换 (mn,"n2,…,mn)=(mn,mp2,……,mn)A, 则B=T-14T,其中T是正交矩阵 设A,B∈RXn,称A与B正交相似,如果存在正交矩阵T使得A=TAT=T-4T 定理4.RX”上两个矩阵正交相似的充分必要条件是它们是n维欧氏空间V的一个线性变换在两个不 同的标准正交基下的矩阵 两个欧氏空间称为同构,如果存在线性映射A:V→W,使得A作为线性空间是同构映射且对任意的 a,B∈V,都有(A(a),4(6)=(a 定理5.有限维欧氏空间V和U同构的充分必要条件是dimV=dimU 2.正交变换 欧氏空间V上的线性变换A称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于任意的a,B∈V,都有 (4(a)A()=(a,B) 定理6.设4是n维欧氏空间V上的线性变换,则下列命题等价 (1)A是正交变换 (2)A保持向量的长度不变,即对于任意的a∈V,都有A(a)=a (3)A保持向量的距离不变,即对于任意的a∈V,都有4(a)-4()=a-f (4)A保持标准正交基不变 (5)A是V到V作为欧氏空间的同构; (6)A在任意标准正交基下的矩阵是正交阵; (7)A在某一个标准正交基下的矩阵是正交阵 定理7

(1)正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵;正交矩阵的乘积是正交矩阵 (2)设A是n维欧氏空间V上的正交变换,V的子空间W是A子空间,则W-也是A-空间 (3)正交矩阵的特征根(在R上)的模长为1 *定理8.设A是n维欧氏空间上的 则存在标准正交基,使得A在此基下的矩阵是 3.对称变换 欧氏空间V上的线性变换A称为对称变换,如果对于任意的a,B∈V,都有(A(a),)=(a,A() 定理9.设A是n维欧氏空间V上的线性变换,则下列命题等价: (1)A是对称变换; (2)A在任意标准正交基下的矩阵是对称阵 (3)A在某一个标准正交基下的矩阵是对称阵 (4)对于V的标准正交基1,E2,…,En,有(A(E;),e)=(,A(),1≤i,j≤n 定理10.(1)对称矩阵的特征根都在实数域上 2)对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交 (3)设A是n维欧氏空间V上的对称变换,V是A子空间,则V也是A-子空间 定理11.(1)对于任意一个n阶对称矩阵A,都存在一个正交矩阵T,使得T-AT=TAT成对角 阵. (2)设A是n维欧氏空间V上的对称变换,则存在标准正交基,使得A在此基下的矩阵是对角阵 例1.(1)( Cauchy不等式)(a,B≤la.当且仅当a,β线性相关时,等号成立 (2)(三角不等式)a+川≤a+13 例2.设a1,a2,…,On是n 空间V的一个基,证明: (1)如果Y∈V使得(?,a;)=0,1≤i≤n,那么Y=0; (2)如果,2∈V使得(1,a;)=(2,a),1≤i<n,那么m=n2 例3.设a1,a2,…,am是n维欧氏空间V的标准正交组求证:对于任意的a∈V,有∑=1(a,a)2≤ 证明提要:将a1,Q2,…,am扩为V的标准正交基a1,…,am,…,an,则a=(a,a1)a1+ (a,a2)a2+…+(a,an)an 例4.设V1,V2是n维欧氏空间V的子空间 1)(V1 (2)Vv2,则V2sV (3)(V1+V)=∩V2 (4)(Vnv2)=V+V2 例5.设A∈Rmm,A的行空间为V1,AX=0的解空间为V2,则R=V1dV2且V1⊥V2 例6.设m是n维欧氏空间V中一单位向量,定义A(a)=a-2(7,a)7,证明 (1)A是正交变换(称为镜面反射)

(2)A在标准正交基下的矩阵的行列式为-1; (3)如果Ⅴ上的正交变换A以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间V1的维数为n-1 那么A是镜面反射 例7.设A为正交阵,A=a+i∈C为A的一个复特征根(b≠0),P=a+3为其对应的特征向 量,则a⊥B且a|=16 证明提要:因为A(+i)=(a+i)(a+3),Aa=a0-b3,A6=b+a6.所以 a2=(a,a)=aAAa=a2a12+b212-2abo3,(*) (*)一(*),得(a2-b2-1)(a/2-1B2)-4ab3(*1),由于正交矩阵的特征根模长为1,所以a2+b2= 1(*2).另外,B=a4A=(a2-b2a+ab(a2-|82)(*3).从(*1),(*2),(*3),可得 (a2-b2-1)(a12-|32)-4abo/B=0 b(a2-1312)+(a2-b2-1)aB=0 视为关于(a12-12)和a'B的方程,系数行列式不等于零,所以方程只有零解.故(a2-1B312)=0, 例8.设A是n阶正交矩阵,则存在正交阵T,使得 T-AT=diagE,, -E(cosQ -sinal sInal ( sina cusa )y 证明提要:对阶数做数学归纳.当n=1时显然成立.设当阶数<t时命题成立.当阶数为t+1时, (1)若A有一个实根A,则取其单位特征向量X1,扩为R+1的标准正交基X1,X2,…,X+1 A(X1 这里A1是t阶方阵令T1=(X1,X2,…,X1+1),则T+AT=(4)·记为B.因为T,A均 为正交阵,所以BB=E,即(A0)(A8 得到AB=0,所以=0, 41A1=E.由归纳假设知存在正交阵T2,使得 T2 AlT2=diag Er,Es 令7=7(2)则是正交且 coST -sInat

(2)若4无实特征根,令A=a+ib是其特征根,a+i是对应的特征向量.则根据引理a⊥ 标准正交组,扩为R+1的标准正交基X1,X2,…,X1+1,则 COs一Snc A(X1,X2…,Xt+1)=(X1,X2,…,xt+1)( sina coSar simar 令T1=(X1,X2,…,Xt+1).TAT1 因为T1,A均为正交阵, (==))(==)) E20 故CC+ A242=E-1,C= 0.所以C=0,4242=E.由归纳假设知存在正交阵T2 使得 T2 A2T2=diag(Er, -E sInar cosar 令7=(6)则是正交阵且 7-14=dig(c=10),E,-E COSo -sIna 例9.设A是正交矩阵且|4=1.求证:存在唯一的正交矩阵B,使得A=B 例10.设A是n维欧氏空间V上的对称变换,a|=1.证明: (1)Aa)2≤|42(a) (2)(1)式中等号成立的充分必要条件是a是42的属于特征值A=A(a)2的特征向量 习题 (1)已知A=25-4.则存在正交矩阵T 使得TAT成对角形 (2)存在齐次线性方程组 -,以(1,0,1,0),(1,1,0,1)为其基础解系 题2.设V是n维欧氏空间,1,2,……,m是V的子空间W的一个基,证明下列命题等价: (1)a∈W; (2)a=∑1(a,); (3)对任意B∈W,都有(a,3)=∑;=1(,=)(B,)

题3.取定欧氏空间的一个基a1,a2,…,an对a=∑=1x;0;B=∑=1a有 (,)=(m1,m2,…,xn)4m A=(0;,a),称为基a1,a2;……,Oxn的度量矩阵 (1)在取定n维欧氏空间V的一个基的前提下,内积与度量矩阵互相唯一确定; (2)度量矩阵是实对称阵; (3)n维欧氏空间V的不同基下的度量矩阵是合同的; (4)当基a1,a2,……,an是正交基时,度量矩阵是对角阵;当基a1,a2,…,an是标准正交基时,度量 矩阵是单位阵E 题4.设A∈RX为可逆阵.求证:A=QT,其中Q是正交阵,T是上三角阵且对角线元素大于 零,并且这种分解是唯一的 题5.设A∈Rm×n,b∈Rm×1.求证:线性方程组AX=b有解的充分必要条件是b与线性方程组 AX=0的解空间正交(在R×中) 题6.设A是n维欧氏空间V上的线性变换,对于任意的a,B∈V,都有(A(a),A(5)=(a,) 证明:4是线性变换,因而是正交变换 “题7.(1)设a,B是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明存在一镜面反射A,使得A(a)=B; (2)证明:n维欧氏空间中任意正交变换都可以表为一系列镜面反射的乘积 题8.设a1,02,…,am和1,2…,Bn是n维欧氏空间V的两个向量组.证明存在正交变换A 使得A(a;)=B,1≤i<m的充分必要条件是(ax,ay)=(,),1≤i,j≤m 题9.(1)设A是n维欧氏空间V上的对称变换,A2=A,则存在V的一个标准正交基,使得A 在此基下的矩阵为diag{E,0} (2)设A是n维欧氏空间V上的对称变换,A2=E,则存在V的一个标准正交基,使得A在此基下 的矩阵为diag{E,-En-} 题10.(1)设A,B∈R",且AB=BA.求证:存在正交阵T,使得T-14T,T-BT同时为对角 阵 (2)设A;∈Rn,1≤im且A4=441,求证:存在正交阵T,使得T-1AT,1<i<m同 时为对角阵. (3)写出(1),(2)相应的线性变换形式 (4)设A,B,AB均为对称矩阵,)是AB的一个特征值.证明:存在A的一个特征值sB的特征值 使得入