高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdipke xml edi.cn 第十章空间分解定理和 Jordan标准形 提要:第一分解定理利用线性变换的最小多项式将空间分解为根子空间的直和.第二分解定理将根子空间 分解为循环子空间的直和.其中,第二分解定理的证明比较复杂的技巧.循环子空间是不变子空间的最小单 矩阵求 出初等因子.要掌握空间分解为特殊的4-不变子空间:根子空间,循环子空间的直和与 Jordan标准形的 对应,掌握矩阵的特征多项式,最小多项式,行列式因子,不变因子,初等因子与 Jordan标准形的关系 能利用 Jordan标准形考虑和解决一些相关问题. 为方便计,本章总假设数域为复数域C 空间分解定理和 Jordan标准形 定理1(第一分解定理,设A是n维线性空间V的线性变换,94(A)=(X-A1)1(A-A2)2…(A A)….则 1)V=Ker(AE-4)°是A-不变子空间; (2)令9()=x);,则V=m(A) (3)V=V1V⊕…⊕V 4)令A=Av,则9A,(A)=(A-A) 5)设VA,是特征值入的特征子空间,则有VACV 定理中的V称为属于特征值λ的根子空间,Ⅴ中的向量称为根向量 设A∈Hom(VV),4=0,4-1≠0.则存在a∈V,使得a,A(a),…,4-(a)线性无关,且是 L(a,A(a),…,4-1(a)的一个基.A在这一基下的矩阵是l阶方阵 000 这里J(0,1)中0代表对角线上元素全为0,l表示矩阵的阶数.称L(,Aa),…,A-l(a)是循环子 (a)为循环基 定理2(第二分解定理)设A是m维空间V的线性变换,A4=0,4-1≠0,(当然0,∑1dim(V)= 取V的循环基,凑成V的基,则A在这个基下的矩阵是diag(J0,r1),J(0,r2),…;J(0,r;),这里
000 100 00 J(0, 00,n;=din(V),1≤i≤t.J(0,r)称为属于特征值0的 000 10 阶为r;的 ordan块 定理3.设A是n维线性空间V的线性变换 9A(A)=(A-A1)2(A-A2)2…(A-入) 根据第一分解定理有 这里V,1<i<r,是A的根空间,即 Vi= Ker(A-is) 这里dim(V)=na1≤i≤r,∑dim(V2)=n.因为(4-入)v是幂零变换根据第二分解定理有 V=V1dV2⊕…⊕Vt, 这里V是关于(4-A)的循环子空间.s=dim(Va)≥dim(V2)2…dim(V)≥1,∑dim(V) =n;1≤i≤r.将V的循环基凑成V的基,(4-A=)在这个基下的矩阵是 {J(0,ra1),J(0,r2),…,J(0,rt,) 所以Av在这个基下的矩阵是 diag J(i, Ti1), J(i, Ti2), . ..,J (i, Tit )1 这些基凑成V的基,A在这个基下的矩阵是 J=diag{J(A1,r1),J(A1,r12),……,J(A1,r1t1),……,J(A,rr1),J(Ar,r;2),……,J(Ar,rt,)} J(A,r)是属于特征值A的阶数为r的 Jordan块,J称为A的 Jordan标准形.这时, ∫A(入)=(A-A1)(X-A2)2…(A-A) 有时,记A的 Jordan标准形为J=diag{J(A1,r1),J(A2,r2),…,J(A,r)},这里不要求A≠为, (i≠j) 在同构意义下,我们有: 定理4设A是C上n阶方阵,则存在可逆阵P,使得P-AP=J,这里J是 Jorda标准形 Jdan标准形的求法 矩阵
元素是A的多项式的矩阵称为入矩阵对入矩阵A(A)做下面三种变换,称为行(列)的初等变换: (1)对换A(X)的两行(AAP) (2)用非零常数c乘以某一行(列); (3)将4()的某一行(列)乘以某个多项式加到另一行(列)上 设A(A),B(A)都是入矩阵,若4(A)B(A)=B(A(A)=E,则称A()为可逆入矩阵,设 A(入),B(A)都是入矩阵,若A(可以经过有限次初等变换变为B(A),则称A()和B()相抵,记为 定理5设A,B∈C"",则AB的充分必要条件是(AE-4)(AE一B) 定理6.任意入矩阵4()都等价于下列形式的矩阵 diag{d1(X),d2(),…,d-(入),0,……,0}.(*) 其中r=rank(4())≥1,d(A),1≤i≤r,是首项系数为1的多项式,且d()d2+1(A),1≤i≤r (*)称为矩阵A(X的标准形,矩阵的标准形是唯一的 对于正整数k,1≤k≤r,A(X)中必有非零的k阶子式.4(A)中全部k阶子式的首项系数为1的最大公 因式Dk(A)称为A()的k阶行列式因子设n阶矩阵A(X的行列式因子是D1A),D2(A),…,D1() 则必有D1()D+1(A),1≤i≤-1.记d(A)=D(从/D-1(),1≤i≤r.多项式d1(X),d2(A) d()称为A(X)的不变因子. 定理7.-矩阵的初等变换不改变行列式因子,因而不改变不变因子. 2.数字矩阵的行列式因子,不变因子,初等因子和 Jordan标准式 设A∈C"",A的特征矩阵(E-4)相抵于下列矩阵 diag{1,1,…,d1(),d2(A),…,dm(A)} 称(AE-4)的行列式因子为A的行列式因子,称(ME-A)的不变因子为A的不变因子.A的不变因 子为 1,1,……,d1(入),d2(A),…,dm(A) 将非常数不变因子d1(X),d2(入),……,dn()写成标准分解式 则(入-入)称为A的一个初等因子.A的初等因子全体称为A的初等因子组 定理8.设A,B∈Cn×n,则下面命题等价: (1)A≈B (2)A,B有相同的行列式因子; (3)A,B有相同的不变因子; (4)A,B有相同的初等因子组 定理9.设A∈Cnm,且A的初等因子组为
则A相似于 Jordan标准形: J=diag(J(A1, r1),J(2, 72),,,J(AL, Ti)) 例1.设A是n维线性空间V的线性变换,W是A-不变子空间.则W不能分解成为两个或两个 以上非零A不变子空间直和的充分必要是W是循环子空间 例2.设A是n维线性空间ⅴ的线性变换.则下列命题等价 (1)A可对角化 (2)9A(A)无重根 (3)WA1=V,这里V是属于特征值入的根空间; (4)对任意正整数,dimn(m(A-A=)2)=dim(Im(4-入g) (5)A的初等因子全是一次的; (6)A的不变因子无重根; 7)A的代数重数等于几何重数; (8)rank(AE-A)=n-7;,1≤i≤r 例3.设A2=A∈Cn×n,则A相似子(00 证法1提要:因为A2=A,所以f()=A2-A是A的零化多项式由9A(入)f(A)知94(A)没有 重根,所以A可以对角化且对角线上的元素为A的特征值.根据A2=A知A的特征值是1,0 证法2提要:设A的 Jordar标准形为J=diag{J(A1,n1),J(A2,r2),…,J(Arz)}因为A2=4 所以J2=J,进而有J(A2,r)2=J(A1r;),1≤i<t.用元素比较,得到r=1,A=1,0. 证法3提要:设A是n维线性空间V的线性变换,使得A在某个基下的矩阵是A.由线性变换的特 征子空间理论知V=V1⊕V0,这里V1是属于特征值1的特征子空间,V是属于特征值0的特征子空 间.取它们各自的一个基凑成V的基,4在此基下的矩阵为 证法4提要:因为A2=A,所以A的特征值为1,0.又rank(1E-A)+rank(0E-A) 的特征值1的重数为t1,特征值0的重数为t2,则有rank(1E-A)=n-81,rank(0E-A)=n- 由上面定理知A可对角化且对角元素为1,0 例4.设A∈C"x (1)f1()=d1(A)d2(A)…dn(A)=Dn(A) (2)94(A)=d1(A); (3)f4(A)=94(A)的充分必要条件是A的行列式因子为:1,1,…,Dn(A) 例5.设A是n维线性空间V的线性变换.则A为幂零变换的充分必要条件是A的特征根全为零 证明提要:必要性由定义证明;充分性 ordan标准形给出 例6.设A∈Cx",fA1()=(X-1).则对于2≤1≤n,都有A≈A 习题 题1.填空题 1-入入2入 (1)矩阵4(A)=-入|的标准形是
(2)设A 440.则A的特征多项式是 最小多项式是 行列式 因子是-- 不变因子是 初等因子组是一 ; Jordan标准形是- (3)设A∈C0X6,fA(从)=(A+2)2(-1)4,9A(A)=(A+2)(A-1)3.则A的 Jorda标准形是 (4) 的 Jordan标准形是_- (5)J(0,n)2的 ordan标准形是 (6)J(入,n)的 ordan标准形是 题2.设C上4维空间V的线性变换A在基02,o3a4下的矩阵是A=9-3-7-1 求一组新基,使得A在此基下的矩阵是 Jordan标准形.求过渡矩阵和 Jordan标准形 E 题.(1)设A2=E∈Cxn,则A相似于(0-En (2)写出(1)的线性变换形式的命题 题4.(1)设A是维线性空间的线性变换.求证:存在V的一个基,使得A在这个基下的矩阵 是 A10 这里41是幂零阵,A2是可逆阵 (2)写出(1)的矩阵形式的命题 题5.设rank(A)=rank(A2).求证:A相似于 这里B是可逆阵 题6.证明与J(A,m)可交换的矩阵必可表示为J(A,m)的多项式 题7.设A∈CmX",0是A的s重特征值.证明:rank(4)=n-s的充分必要条件是rank(4) rank(A" 题8.(1)A≈tE的充分必要条件是A的不变因子中无常数项 (2)rank(4)=r的充分必要条件是A的形如X的初等因子恰有n-r个
