厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:域名: gdjpkc.xmu. edu.cn §5矩阵乘积的行列式与初等矩阵求逆阵 教学目的与要求掌握矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积这个结论,掌握矩 阵可逆的充分必要条件,掌握用初等变换计算矩阵的逆的方法 定理设A,B是n阶矩阵,则|AB=|AB 证明记C=AB=(c)nxn,则 an1 an2 b1b12 0a12 a1b1 alb bu b1 1 b
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §5 ✑✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✑✒✜✢✒ ✣✤ ✥✦✧★✩ ✪✫✬✭✮✯✰✱✲✳✴✵✱✲✳✰✮✯✶✷✸✹✺✪✫✬ ✭✻✼✰✽✾✿❀❁❂✺✪✫❃❄✴❅❆❇❈✬✭✰✼✰❉❊❋ ●❍ ■ A, B ❏ n ❑ ✬✭✺▲ |AB| = |A||B|. ▼◆ ❖ C = AB = (cij )n×n. ▲ A −In B = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann −1 b11 b12 · · · b1n −1 b21 b22 · · · b2n . . . · · · · · · · · · · · · −1 bn1 bn2 · · · bnn = 0 a12 · · · a1n a11b11 a11b12 · · · a11b1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann −1 b11 b12 · · · b1n −1 b21 b22 · · · b2n . . . · · · · · · · · · · · · −1 bn1 bn2 · · · bnn 1
C11C12 a b1 b1 b1 0c21c22 0 CnI Cn2 0b21b22 由 Laplace展开定理,得 AB|=(-1)1++n+n+1++2n+nCl=(-1)m(2n+1)+C|=|C 推论设A是n阶方阵,则下列命题等价 (1)A可逆 (2)存在B,使得AB=In; (3)存在B,使得BA=ln; (4)|≠0 (5)A=In; (6)A可表示为若干个初等矩阵之积 证明(1)→(2)(3):显然 (2)(3)→(4):利用上面定理
= 0 0 · · · 0 c11 c12 · · · c1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann −1 b11 b12 · · · b1n −1 b21 b22 · · · b2n . . . · · · · · · · · · · · · −1 bn1 bn2 · · · bnn = 0 0 · · · 0 c11 c12 · · · c1n 0 0 · · · 0 c21 c22 · · · c2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · 0 cn1 cn2 · · · cnn −1 0 · · · 0 b11 b12 · · · b1n 0 −1 · · · 0 b21 b22 · · · b2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · −1 bn1 bn2 · · · bnn . P Laplace ◗❘❙❚✺❯ |AB| = (−1)1+···+n+n+1+···+2n+n |C| = (−1)n(2n+1)+n |C| = |C|. ❱❲ ■ A ❏ n ❑ ❉✭✺▲❳✲❨❩✴❬❭ (1) A ✻✼❪ (2) ❫❴ B, ❵ ❯ AB = In; (3) ❫❴ B, ❵ ❯ BA = In; (4) |A| 6= 0; (5) A ∼= In; (6) A ✻❛❜❝❞❡✷❄✴✬✭❢✯❋ ▼◆ (1)⇒(2)(3): ❣❤❪ (2)(3)⇒(4): ✐ ❃❥❦❙❚❪ 2
(4)→(5):因为P…P2B1AQ1Q2…:Qt= 其 中P,Q是初等矩阵,1≤i≤s,1≤j≤t.所以|4≠0的充分必要条件是 (5)→(6):因为P…P2BAQ1Q2…Qt=l,而初等矩阵是可逆的,故有 (6)→(1):初等矩阵是可逆的,而可逆矩阵的乘积是可逆的 注由上面的推论可知,A=B的充分必要条件是存在可逆矩阵P,Q,使得 PAQ=B 例1A可逆,则A可经过有限次行初等变换化为In;也可经过有限次列初等 变换化为In 例2设AB=A+B.求证:(1)A-I可逆;(2)AB=BA 证明(1)(4-D)(B-D)=I; (2)由(1)知(B-1)(A-D)=1,展开得BA=A+B,从而AB=BA.口 例3计算n+1阶行列式 (ao bo)n(ao+bi)n..(ao+bn)n 4=/(a+hn)(a1+b) (a1+bn)2 (an +bon(an+bin..(an+ bn)n 1 C cnan bn 解A 1 Cnan C b-1 C2a2 cna 所以A的行列式是两个 Vander monde行列式的乘积,故 0≤j<i≤n
(4)⇒(5): ❧ ❝ Ps · · ·P2P1AQ1Q2 · · ·Qt = 1 . . . 1 0 . . . 0 (r) , ♠ ♥ Pi , Qj ❏ ❄✴✬✭✺ 1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ t. ♦♣ |A| 6= 0 ✰✽✾✿❀❁❂❏ r = n; (5)⇒(6): ❧ ❝ Ps · · ·P2P1AQ1Q2 · · ·Qt = In, q ❄✴✬✭❏ ✻✼✰✺rs A = P −1 1 P −1 2 · · ·P −1 s Q −1 t · · ·Q −1 2 Q −1 1 . (6)⇒(1): ❄✴✬✭❏ ✻✼✰✺q ✻✼✬✭✰✮✯❏ ✻✼✰❋ ✷ t P❥❦✰✉✹✻✈✺ A ∼= B ✰✽✾✿❀❁❂❏❫❴✻✼✬✭ P, Q, ❵ ❯ P AQ = B. ✇ 1 A ✻✼✺▲ A ✻①②s③④✱❄✴❅❆⑤❝ In; ⑥ ✻①②s③④✲❄✴ ❅❆⑤❝ In. ✇ 2 ■ AB = A + B. ⑦⑧❭ (1)A − I ✻✼❪ (2)AB = BA. ▼◆ (1) (A − I)(B − I) = I; (2) P (1) ✈ (B − I)(A − I) = I, ◗❘❯ BA = A + B, ⑨q AB = BA. ✇ 3 ❇❈ n + 1 ❑ ✱✲✳ |A| = (a0 + b0) n (a0 + b1) n · · · (a0 + bn) n (a1 + b0) n (a1 + b1) n · · · (a1 + bn) n · · · · · · · · · · · · (an + b0) n (an + b1) n · · · (an + bn) n ⑩ A = 1 C 1 na0 C 2 na 2 0 · · · C n n a n 0 1 C 1 na1 C 2 na 2 1 · · · C n n a n 1 · · · · · · · · · · · · · · · 1 C 1 nan C 2 na 2 n · · · C n n a n n b n 0 b n 1 b n 2 · · · b n n b n−1 0 b n−1 1 b n−1 2 · · · b n−1 n · · · · · · · · · · · · · · · 1 1 1 · · · 1 ♦♣ A ✰✱✲✳❏❶✷ Vander Monde ✱✲✳✰✮✯✺r |A| = C 1 nC 2 n · · · C n−1 n Y 0≤j<i≤n (ai − aj )(bj − bi). ✷ 3
下面介绍利用初等变换求矩阵的逆的方法.设A-1=Q1…Q,其中Q1≤ ≤t,是初等矩阵.则 Q1…Q1A=In,Q1…Q1ln=A-1, 因为矩阵左乘一个初等矩阵相当一做一次行的初等变换.故我们可以利用对矩阵 (A,n)做行的初等变换得到A-1,即 A、1)行初等变换 例4求A-1,其中 A 212 134 例5解矩阵方程 111X= 01 10 作业:设A为n阶可逆阵,若A的每一行元素之和等于常数c.求证:A-1 的每一行元素之和等于c-1 作业:P731(2),2,3; P8r8,10,13,20
❳❦❷❸✐ ❃❄✴❅❆⑦ ✬✭✰✼✰❉❊❋■ A−1 = Q1 · · ·Qt , ♠ ♥ Qi , 1 ≤ i ≤ t, ❏ ❄✴✬✭❋▲ Q1 · · ·QtA = In, Q1 · · ·QtIn = A −1 , ❧ ❝✬✭❹✮❺✷❄✴✬ ✭❻❼❺❽❺④✱✰❄✴❅❆❋r❾❿✻ ♣✐❃➀✬✭ (A, In) ❽✱✰❄✴❅❆❯➁ A−1 , ➂ (A, In) ✱❄✴❅❆ −→ (In, A−1 ). ✇ 4 ⑦ A−1 , ♠ ♥ A = 1 2 3 2 1 2 1 3 4 ✇ 5 ➃ ✬✭❉➄ 1 0 1 −1 1 1 2 −1 1 X = 1 1 0 1 −1 0 ➅➆❭■ A ❝ n ❑ ✻✼✭✺❞ A ✰➇❺✱➈➉❢➊✴✵➋➌ c. ⑦⑧❭ A−1 ✰➇❺✱➈➉❢➊✴✵ c −1 . ➅➆❭ P73 1(2), 2, 3; P87 8, 10, 13, 20. 4