厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116;域名: gdjpkc. xmu.edu.cn §5.4因式分解 教学目的与要求熟练掌握不可约因式的基本性质,掌握基本分解定理的存在性 与唯一性的证明方法,熟练利用标准分解式解决相关问题,理解重因式的概念与判 定方法 不可约多项式 定义设∫(x)∈K[],degf(x)>0.若f(x)=9(x)h(x),其中degg(x),degh(x)0 多项式不可约多项式dg()>0 非零常数多项式degg(x)=0 0 deg g(a) 不可约多项式有下面性质 性质1设f(x),p(x)∈K[X]且p(x)是不可约多项式,则或p(x)f(x)或 (P(x),f(x)=1 证明设(p(x),f(x)=d(x),则d(x)p(x).所以d(x)=1或d(x)=cp(x),这里 c-1为p(x)的首项系数.若d(x)=cp(x),则p(x)f(x).口 性质2设p(x),f(x),(x)∈K[X],p(x)不可约多项式,且p(x川∫(x)g(x),则或 p(x)f(x)或p(x)g(x) 证明若p(x)十f(x),由性质1,(p(x),f(x)=1.又p(x)f(x)9(x),由互素多项 式的性质知p(x)g(x).口
"d-5" K F IP #N 59.77.1.116; Ah gdjpkc.xmu.edu.cn §5.4 72N \faZig [G UB7!D)PG D2N&W!D) ?2)!Jg/- [Y9 T2NNR%; WNR7!4o?p &/- 2 UB*& [h ~ f(x) ∈ K[x], degf(x) > 0. { f(x) = g(x)h(x), qQ degg(x), degh(x) 0 6= c ∈ K, f(x) = c(c −1f(x)). 4{ p(x) UB q7UO; cp(x) C c. l 2 *&! UB? ;; x 2 + 1 D R[x] } UBD C[x] UB ~ K1, K2 r K2 ⊆ K1, p(x) ∈ K2[x] r p(x) D K1[x] } UBE p(x) D K2[x] 0 UB l 3 *& UB*& degg(x) > 0 UB*& degg(x) > 0 1^Æ *& deg g(x) = 0 0 deg g(x) = −∞ UB*&;!f)P ek 1 ~ f(x), p(x) ∈ K[X] r p(x) UB*&EC p(x)|f(x) C ((p(x), f(x)) = 1. j_ ~ (p(x), f(x)) = d(x), E d(x)|p(x). 4 d(x) = 1 C d(x) = cp(x), HX c −1 p(x) !& { d(x) = cp(x), E p(x)|f(x). ✷ ek 2 ~ p(x), f(x), g(x) ∈ K[X], p(x) UB*&r p(x)|f(x)g(x), EC p(x)|f(x) C p(x)|g(x). j_ { p(x) ∤ f(x), :)P 1, (p(x), f(x)) = 1. = p(x)|f(x)g(x), :A*& !)PK p(x)|g(x). ✷ 1
注设degp(x)>0,则性质的逆命题也成立 性质1的逆命题degp(x)>0,如果对于任意的∫(x)∈K[Ⅺ],或p(x)川J∫(x)或 (p(x),f(x)=1.则p(x)为不可约多项式 证明反证法.假设p(x)=h(x)l(x),degh(x),degl(x)0,如果对于任意的f(x),9(x)∈k[],由p(x)Jf(x)9(x), 则或p(x)f(x)或p(x)g(x).那么p(x)为不可约多项式 证明反证法.假设p(x)=h(x)l(x),degh(x),deg(x)<degp(x),则令f(x) h(x),g(x)=l(x),p(x)f(x)g(x),但p(x)十∫(x)且p(x)g(x).矛盾.口 因式分解基本定理 定理设∫(x)∈K[r],degf(x)≥1,则 (1)f(x)=p1(x)p2(x)…p(x),其中p(x),1≤i≤s为K上不可约多项式; (2)若f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)=q1(x)2(x)…q(x),其中p(x),q(x),1≤ i≤s,1≤j≤t,为K上不可约多项式,则s=t,且经过适当调换因式的顺序之后 有p1(x)~q(x), 证明(1)对degf(x)作数学归纳法.当degf(x)=1时,结论显然成立.设次 数小于n的多项式,命题成立.现证degf(x)=n的情形.若∫(x)不可约,结论 显然成立.若∫(x)可约,则 f(x)=f1(x)f2(x) degf(x)<n,1≤i≤2.由归纳假设f1(x),f2(x)都可表示为不可约因式的乘积, 它们之积就是f(x) (2)对s作归纳.若s=1,则f(x)=p1(x),即f(x)不可约.所以t=1,q1(x) P1(x).假设对不可约多项式个数小于s的多项式结论成立.则有 P(x)g(x)g(x)…q(x), 则必存在某个j,1≤j≤t,不妨设为j=1,使得p1(x)(x).因为p1(x),q(x)均为 不可约,故p1(x)~q1(x),即 P1(x)=c1(x)
l ~ degp(x) > 0, E)P!ni0Z ek 1 Zb`d degp(x) > 0, z=(>x6! f(x) ∈ K[X], C p(x)|f(x) C (p(x), f(x)) = 1. E p(x) UB*& j_ .J-H~ p(x) = h(x)l(x), degh(x), degl(x) 0, z=(>x6! f(x), g(x) ∈ K[x], : p(x)|f(x)g(x), EC p(x)|f(x) C p(x)|g(x). kb p(x) UB*& j_ .J-H~ p(x) = h(x)l(x), degh(x), degl(x) %B7! *L ; pi(x) ∼ qi(x), 1 ≤ i ≤ s. j_ (1) ( degf(x) Y , n !*&iZ$J degf(x) = n !s({ f(x) UBM` #wZ{ f(x) UBE f(x) = f1(x)f2(x). degfi(x) s !*&M`ZE; p1(x)|q1(x)q2(x)· · · qt(x), E Dj6 j, 1 ≤ j ≤ t, 0~ j = 1, p1(x)|q1(x). 7 p1(x), q1(x) S UB: p1(x) ∼ q1(x), F p1(x) = cq1(x). 2
因此P2(x)…p、(x)=c-g2(x)…(x).左式为8-1个不可约因式之积,由归纳假 设s-1=t-1,即s-t,且p(x 根据定理,我们知道对于任意次数大于1的多项式有如下的标准分解式: ∫(x)=qp(x)p2(x)…pm(x) 其中p(x)是首项系数为1的两两互素的不可约多项式,e1≥1,1≤i≤m. 例1f(x)=cp(x)p2(x)…pm(x),g(x)=m(x)2(x)…pm(x) 2(x)为首一两两互素的不可约多项式,a1≥0,b1≥0且a1+b>0,1≤i≤m,则 (1)f(x)g(x)的充分必要条件是a1≤b;,1≤i≤m; (2)(f(x),9(x)=n(x)p2(x)…pm(x),G=min{a,b},1≤i≤m; (3)[f(x),9(x)]=n(x)(x)…m(x),d2=max{a1,b},1≤i≤m; (4)(f(x),g(x)[f(x),9(x)=c-1d-lf(x)9(x) 三.重因式 定义设f(x),p(x)∈K[x],p(x)是不可约多项式,若存在k>1使得p(x)f(x) p+1(x)f(x),则称p(x)是f(x)的k重因式 定理(1)不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式,则p(x)是f(x)的k-1重 因式; (2)aa没有重因式,且它的不可约因式与∫(a)的不可约因式相同; (3)f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f(x)=1 证明(1)由设f(x)=p(x)h(x),其中p(x)h(x).直接计算得,f'(x)= kp-1(x)p(x)h(x)+p(x)h(x).显然,p-1(x)f(x),但p(x)十kp(x)h(x)+p(x)h(x) 否则有p(x)|p(x)h(x),而p(x)不可约,p(x)十h(x),从而p(x)|p(x),这是不可能 的,因p(x)非零且次数小于p(x)的次数 (2)设∫(x)的标准分解式为f(x)=e1(x)2(x)…F(x),只要证 cP(xr)p2(x)…p(x)命题即得证事实上,f"(x)=ce1p2-1(x)2(x)…p(x)1(x)+ e2n(x)2-1(x)…p(x)2(x)+…+cen(x)p2(x)…p-l(x),(x).所以p-(x) n2-1(x)…p-1(x)是f(x)和f(x)的公因式.注意到p(x)可整除右项中除第 项外的所有各项,但不能整除第一项,故n(x)十∫(x).同理p(x)十f"(x) d(a)=(f(x),f()=n1-1(x)n2-(x)…(),m=ep()p()…p()
7 p2(x)· · · ps(x) = c −1 q2(x)· · · qt(x). W s − 1 6 UB7LE:x6 > 1 !*&;z!! T2N f(x) = cp e1 1 (x)p e2 2 (x)· · · p em m (x), qQ pi(x) & 1 !\\A! UB*& ei ≥ 1, 1 ≤ i ≤ m. ^ 1 f(x) = cp a1 1 (x)p a2 2 (x)· · · p am m (x), g(x) = dpb1 1 (x)p b2 2 (x)· · · p bm m (x), pi(x) 2\\A! UB*& ai ≥ 0, bi ≥ 0 r ai + bi > 0, 1 ≤ i ≤ m, E (1) f(x)|g(x) !2 /J ai ≤ bi , 1 ≤ i ≤ m; (2) (f(x), g(x)) = p c1 1 (x)p c2 2 (x)· · · p cm m (x), ci = min{ai , bi}, 1 ≤ i ≤ m; (3) [f(x), g(x)] = p d1 1 (x)p d2 2 (x)· · · p dm m (x), di = max{ai , bi}, 1 ≤ i ≤ m; (4) (f(x), g(x))[f(x), g(x)] = c −1d −1f(x)g(x). |R7 [h ~ f(x), p(x) ∈ K[x], p(x) UB*&{D k > 1 p k (x)|f(x), p k+1(x) ∤ f(x), E p(x) f(x) ! k- R7 [℄ (1) UB*& p(x) f(x) ! k- R7E p(x) f ′ (x) ! k − 1 R 7 (2) f(x) (f(x),f′(x)) ;R7r! UB7? f(x) ! UB7% (3) f(x) ;R7!2 /J (f(x), f′ (x)) = 1. j_ (1) :~ f(x) = p k (x)h(x), qQ p(x) ∤ h(x). MLG f ′ (x) = kpk−1 (x)p ′ (x)h(x)+p k (x)h ′ (x). #wp k−1 (x)|f ′ (x), p(x) ∤ kp′ (x)h(x)+p(x)h ′ (x), 3E; p(x) | p ′ (x)h(x), + p(x) UB p(x) ∤ h(x), + p(x) | p ′ (x), H Um !7 p ′ (x) 1^r '> p(x) ! (2) ~ f(x) ! T2N f(x) = cp e1 1 (x)p e2 2 (x)· · · p es s (x), O/J f(x) d(x) = cp1(x)p2(x)· · · ps(x) iF J}f ′ (x) = ce1p e1−1 1 (x)p e2 2 (x)· · · p es s (x)p ′ 1 (x)+ ce2p e1 1 (x)p e2−1 2 (x)· · · p es s (x)p ′ 2 (x)+· · ·+cesp e1 1 (x)p e2 2 (x)· · · p es−1 s (x)p ′ s (x). 4 p e1−1 1 (x) p e2−1 2 (x)· · · p es−1 s (x) f(x) ? f ′ (x) !97S6 p e1 1 (x) UI<&Q$ 2&!;7& mI$2&: p e1 1 (x) ∤ f ′ (x). W p ei i (x) ∤ f ′ (x). d(x) = (f(x), f′ (x)) = p e1−1 1 (x)p e2−1 2 (x)· · · p es−1 s (x), f(x) d(x) = cp1(x)p2(x)· · · ps(x). 3
(3)故(2)即得结命.口 例2设∫(x),9(x)是K上的两意非零序定式,证明存基整数N使得形任个的 m1,m2>N,总有(fm(x),9(x)=(fn2(x),9(x) 某令若(f(x),9(x)=1,取N=1.若(f(x),g(x)=d(x)≠1,设d(x)的数准 分解式是d(x)=n1(x)p2(x)…pm(x),其中p(x)是K上两两互成的本分不可换 序定式,e1>0,1≤i≤m.调应的,设f(x)=m(x)n2(x)…pm(x)f1(x),9(x)= m(x)n2(x)…mhm(a)9(a),其中a1>0,b>0,1≤i≤m.取N=max1a,积形 任个的n1,m2>N,总有(fm(x),9(x)=(fm(x,g(x)=m(x)2(x)…pw(x),口 例3设∫(x),9(x)∈Kr.证明(f(x),g(x)≠1的所要条证是存基K上不可 换序定式p(x),使得p(x)f(x)+g(x),p(x)|f(x)9(x) 某令必要盾.设d(x)=(f(x),9(x).故已知d(x)≠1,可取到d(x)的不可换 因式p(x),容易反证p(x)f(x)+g(x),p(x)f(x)g(x). 所分盾.因p(x)f(x)+g(x),所以p(a)f(x)g(x)+92(x).果因p(x)f(x)9(x), 从而p(x)|g2(x)均个到p(x)是K上不可换序定式,由p(x)g(x)或故p(x)f(x)+ g(x),即有p(x)f(x).假不明p(x)是f(x),g(x)的分意公因式,由(f(x),9(x)≠1 例4设f(x)∈Kl],a∈K.明y=x-a,得g(y)=f(y+a).证明f(x)基K 上可换的所要条证是g(y)基K上可换 某令必要盾.设∫(x)次数为n.因f(x)基K上可换,由存基K上次数都过n 的序定式u(x),v(x),使得∫(x)=u(x)v(x),适x用y+a次约,得9(y)=s(y)(y), 其中s(y)=u(y+a),t(y)=t(y+a)设∫(x)的本定为anxn,简为计乘知g(y)的 本定是any,假不明degg(y)=degf(x)=n.存理可得degs(y)=degu(x)<n, degt(y)=degu(x)<n.假质证明理g(y)基K上妨可换 所分盾类似可得.口 作业使P19s.1(1),2,4,6;P27.3 顺所1求证f(x)=1+x++哥+…+无重因式 顺所2:求x3+px+q有重因式的条证
(3) : (2) F M` ✷ ^ 2 ~ f(x), g(x) K }!\61^*&JgDI N (x6! n1, n2 > N, V; (f n1(x), g(x)) = (f n2(x), g(x)). j_ { (f(x), g(x)) = 1, u N = 1. { (f(x), g(x)) = d(x) 6= 1, ~ d(x) ! T 2N d(x) = p e1 1 (x)p e2 2 (x)· · · p em m (x), qQ pi(x) K }\\A!2 UB *& ei > 0, 1 ≤ i ≤ m. %8!~ f(x) = p a1 1 (x)p a2 2 (x)· · · p am m (x)f1(x), g(x) = p b1 1 (x)p b2 2 (x)· · · p bm m (x)g1(x), qQ ai > 0, bi > 0, 1 ≤ i ≤ m. u N = maxm i=1 bi ai , E( x6! n1, n2 > N, V; (f n1(x), g(x)) = (f n2(x), g(x)) = p b1 1 (x)p b2 2 (x)· · · p bm m (x). ✷ ^ 3 ~ f(x), g(x) ∈ K[x]. Jg (f(x), g(x)) 6= 1 !/JD K } U B*& p(x), p(x)|f(x) + g(x), p(x)|f(x)g(x). j_ /)~ d(x) = (f(x), g(x)). :3K d(x) 6= 1, Uu d(x) ! UB 7 p(x), y5.J p(x)|f(x) + g(x), p(x)|f(x)g(x). 2)7 p(x)|f(x) + g(x), 4 p(x)|f(x)g(x) + g 2 (x). =7 p(x)|f(x)g(x), + p(x)|g 2 (x). S6 p(x) K } UB*&: p(x)|g(x). C: p(x)|f(x) + g(x), F; p(x)|f(x). H g p(x) f(x), g(x) !2697: (f(x), g(x)) 6= 1. ✷ ^ 4 ~ f(x) ∈ K[x], a ∈ K. _ y = x − a, g(y) = f(y + a). Jg f(x) D K }UB!/J g(y) D K }UB j_ /)~ f(x) n. 7 f(x) D K }UB:D K } '> n !*& u(x), v(x), f(x) = u(x)v(x), x 9 y + a B g(y) = s(y)t(y), qQ s(y) = u(y + a), t(y) = v(y + a). ~ f(x) !& anx n , IGK g(y) ! & any n , H g degg(y) = degf(x) = n. WU degs(y) = degu(x) < n, degt(y) = degv(x) < n. HPJg℄ g(y) D K }0UB 2)VU ✷ Y1 P198. 1 (1), 2, 4, 6; P227. 3 1: tJ f(x) = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + · · · + x n n! R7 2: t x 3 + px + q ;R7!J 4
补充3:若f(x)=anx2+an-1xn-1+…+a1x+a0在K上可约,其中anao≠0 证明g(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an在K上也可约 思考:若不可约多项式p(x)是∫(x)的k-1重因式,且p(x川f(x).问p(x)是 f(x)的重因式么?为什么 选做:设∫(x),9(x)是K上全不为零的多项式.若f(x)9(x)+f(x)+9(x)=p(x) 是首一的不可约多项式,则(f(x),g(x)=1
3: { f(x) = anx n +an−1x n−1+· · ·+a1x+a0 D K }UBqQ ana0 6= 0. Jg g(x) = a0x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an D K }0UB ÆT{ UB*& p(x) f ′ (x) ! k − 1 R7r p(x)|f(x). p(x) f(x) !R7bb +X~ f(x), g(x) K }v ^!*&{ f(x)g(x)+f(x)+g(x) = p(x) 2! UB*&E (f(x), g(x)) = 1. 5