厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第7章 相似标准型 §7.2 矩阵的法式

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.71.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn §7.2矩阵的法式 教学目的与要求领会λ-矩阵的相抵标准型的形式和意义;掌握入矩阵可 逆的充要条件;掌握A的特征矩阵的相抵标准型. 弓理1设A(A=(a1()mxn为一非零λ-矩阵,则A(A必相抵于这样一个 入矩阵B()=(b1(入),其中b1()≠0且b1()|b(入) 证明根据A(λ)中不能被a1(除尽的元素所在的位置分情况讨论 (1)若A()的第一列中有一个元素an()不能被a1())除尽,即有 an1()=a11()q(入)+r() 其中degr()1,j>1) 不可被a1()整除,则设a1(A)=a1()y2(入 a1() a1y(入) A(入)= 0 入)-a1()y(X a1()…ax3())-a1()y()+a1(入)… a(入)-a1())y(入) 归结为(2)的情形

tN-f? o IP  59.77.1.116; P gdjpkc.xmu.edu.cn §7.2 D'a +2/)530 L7 λ− Dx&}~a3 r λ− DF Sl=r A kDx&}
4, 1 ^ A(λ) = (aij (λ))m×n p(K λ− D￾ A(λ) x. λ− D B(λ) = (bij (λ)), T# b11(λ) 6= 0 U b11(λ)|bij (λ). 6. /E A(λ) # R a11(λ) Chiq!)VGjM
(1) \ A(λ) !J#.h ai1(λ) R a11(λ) C￾9 ai1(λ) = a11(λ)q(λ) + r(λ) T# degr(λ) h*4W￾ B(λ) piW￾\ *4W￾F$+Æ%￾ Æ r(λ) e{ a11(λ) e￾0Fw 65￾`'℄>h! Jih
(2) mHF`'℄>h!ih
(3) \ A(λ) !￾!J#F a11(λ) ￾& aij (λ)(i > 1, j > 1) F a11(λ) ￾^ ai1(λ) = a11(λ)ϕ(λ), A(λ) =   a11(λ) · · · a1j (λ) · · · · · · · · · · · · · · · ai1(λ) · · · aij (λ) · · · · · · · · · · · · · · ·   −→   a11(λ) · · · a1j (λ) · · · · · · · · · · · · · · · 0 · · · aij (λ) − a11(λ)ϕ(λ) · · · · · · · · · · · · · · ·   . −→   a11(λ) · · · aij (λ) − a11(λ)ϕ(λ) + a1j (λ) · · · · · · · · · · · · · · · 0 · · · aij (λ) − a11(λ)ϕ(λ) · · · · · · · · · · · · · · ·  . 1Bp (2) V~
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定理1设A(是一个n阶入-矩阵,则A(入相抵于对角阵 diag{d1(入),d2(入),…,d1(入),0,……,O}, 其中d4(为非零的首一多项式,且d4(入)同d2+1(),1≤i≤r-1 证明对n用数学归纳法.当n=1,结论显然成立.现设A()为n阶入-矩 阵.由引理A())B(λ)=(bx(),其中bn1(入)bx(),(v,j),消去第1行,第1 列, b1(入 B(A)→ 0b2()…b2(入) b1(X)0 C(入) 0bmn2(入) bn1()63(入),设c为bn1(首项系数,记d1()=c-1bn(),B(入)=cC().由 归纳假设存在P(A,Q(入),使 P(入)B(入)Q(A)=diag{d2(入,d3(入),……,d1(入),0,…,0} 且d()|d2+1(),1≤i≤r-1,其中P(入,Q()可写为有限个初等入一矩阵之积 于是 d1(X)0 10 0P(入) 0B(x)八(0Q(X) =diag{d1(入),d2(入),…,d(),0,……,O}, 10 且(0Px)(0ax)可写为若干个n阶初等x-矩阵之积只需证明 d1()2()即可.实际上d1()3(),所以P(C(A)Q(从中任一元也可被d1(从 整除. 注1定理中的diag{d1(),d2(入),…,d(),0,…,0}称为A())的法式 注2r称为A(入)的秩 注3r=m推不出A()可逆 注4A())可逆令→A(入)的法式为Ⅰ←→A()相抵于Ⅰ 推论1任一n阶可逆λ-矩阵都可以表示为有限个初等λ-矩阵之积

*, 1 ^ A(λ) . n A λ− D￾ A(λ) x$> diag{d1(λ), d2(λ), · · · , dr(λ), 0, · · · , 0}, T# di(λ) p(Kd%ya￾U di(λ)|di+1(λ), 1 ≤ i ≤ r − 1. 6. $ n e
1Q'
 n = 1, BMuYI
v^ A(λ) p n A λ− D 
ÆH A(λ) ∼= B(λ) = (bij (λ)), T# b11(λ)|bij (λ),(∀i, j), zX! 1 ￾! 1 J￾ B(λ) −→   b11(λ) 0 · · · 0 0 b ′ 22(λ) · · · b ′ 2n (λ) · · · · · · · · · · · · 0 b ′ m2 (λ) · · · b ′ mn(λ)   =  b11(λ) 0 0 C(λ)  . b11(λ)|b ′ ij (λ), ^ c p b11(λ) dyse￾: d1(λ) = c −1 b11(λ), B(λ) = c −1C(λ). Æ 1Q<^ P(λ), Q(λ), ` P(λ)B(λ)Q(λ) = diag{d2(λ), d3(λ), · · · , dr(λ), 0, · · · , 0}, U di(λ)|di+1(λ), 1 ≤ i ≤ r −1, T# P(λ), Q(λ) F|pw. λ− D8￾   1 0 0 P(λ)   d1(λ) 0 0 B(λ)   1 0 0 Q(λ)  = diag{d1(λ), d2(λ), · · · , dr(λ), 0, · · · , 0}, U  1 0 0 P(λ)  ,  1 0 0 Q(λ)  F|p\,. n A λ− D8￾ ￾O d1(λ)|d2(λ) 9F
_;℄ d1(λ)|b ′ ij (λ), i P(λ)C(λ)Q(λ) #ZF d1(λ) 
7 1 "H# diag{d1(λ), d2(λ), · · · , dr(λ), 0, · · · , 0} p A(λ) 'a
7 2 r p A(λ) "
7 3 r = n n  A(λ) FS
7 4 A(λ) FS ⇐⇒ A(λ) 'ap I ⇐⇒ A(λ) x I. 1- 1 Z n AFS λ− D#Fbpw. λ− D8
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证明设4()是n阶可逆入一矩阵,则存在P(入),Q(A),使得 P(入)A(A)Q(入)=diag{d1(入),d2(入),…,d-(入),0.…,O} 因为P(入),Q()为有限个初等入一矩阵之积,所以上式左边为可逆矩阵,故行列 式为非零常数,所有右边行列式需为非零常数,故r=n且d4(入)=d4(非零数 这样,A())=P-1( a)diag{d1,d2,…,dn}Q-1(A) 因为初等λ-矩阵的逆为初等A一矩阵,故dag{d1,d2,……,dn}可表为n个 初等矩阵P(d)之积 推论2设A∈K×n,则 A- ae diag{1,…,1,d1()),d2(),…,dk(从)} 其中d2(首一且d2(入)d+1(入),1≤i≤k-1 证明由定理知,A-A=diag{c1(入,…,Gr(入),0,……,0},其中c(入)首 且c()|c+1(),1≤i≤r-1.因为|-A|=fA()≠0.所以左式的行列式也 非零,故r=m,且∫A(入)=c1(入)…cn(入),比较次数,即得结论 注5推论中k=n←→deg(d()=1←→d1()=d2()=…=dn(入 入-加0←→>M-AM-I→A相似于入I←→A=01 作业:P239:1(1),2(1),3,4

6. ^ A(λ) n AFS λ− D￾ P(λ), Q(λ), ` P(λ)A(λ)Q(λ) = diag{d1(λ), d2(λ), · · · , dr(λ), 0, · · · , 0}, p P(λ), Q(λ) pw. λ− D8￾i℄a' pFSD￾0J ap(Ke￾i Ja￾p(Ke￾0 r = n U di(λ) = di((Ke). ￾ A(λ) = P −1 (λ)diag{d1, d2, · · · , dn}Q−1 (λ), p λ− DSp λ− D￾0 diag{d1, d2, · · · , dn} Fp n . D Pi(di) 8
1- 2 ^ A ∈ Kn×n ,  λI − A ∼= diag{1, · · · , 1, d1(λ), d2(λ), · · · , dk(λ)} T# di(λ) dU di(λ)|di+1(λ), 1 ≤ i ≤ k − 1. 6. Æ"H￾ λI − A ∼= diag{c1(λ), · · · , cr(λ), 0, · · ·, 0}, T# ci(λ) d￾ U ci(λ)|ci+1(λ), 1 ≤ i ≤ r − 1. p |λI − A| = fA(λ) 6= 0. i'aJa (K￾0 r = n, U fA(λ) = c1(λ)· · · cn(λ), e￾9BM
7 5 nM# k = n ⇐⇒ deg(di(λ)) = 1 ⇐⇒ d1(λ) = d2(λ) = · · · = dn(λ) = λ − λ0 ⇐⇒ λI − A ∼= λI − λ0I ⇐⇒ A xg λ0I ⇐⇒ A = λ0I. ( P239 : 1(1), 2(1), 3, 4. 3