厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第9章 二次型 §9.2 二次型的规范形,惯性定理（2012春季）

厦门大学高等代数教案网站P地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu. edu. cn 第九章次型 §92二次型的规范形,惯性定理 首先考虑C上二次型的规范形 定理921若A是C上n阶对称阵,且r(A)=r,则存在C上n阶可逆矩阵C,使得 00 式(5)称为C上对称矩阵在合同关系下的规 证明因为AT=A,故存在可逆矩阵C1 C1 AC1= diag(d1, d2, d3, .. dn) 因为r(A)=7,不妨设d≠0(i=1,2,…,r),d=0(=r+1,r+2,…,n).令 ag(√a,v√,…,√a,1,…,1) 记C=C1C2,则C可逆且 Er 0 用二次型的语言,就是:若f(x1,x2,…,xn)是C上秩为r的n元二次型,则必存在非退化线性替 换X=CY,使 f(x1,…,xn)=2+2+…+y2 推论9.21C上对称矩阵A合同于B的充分必要条件是r(4)=r(B) 现在讨论R上二次型的规范形 定理9.2.2若A是R上秩为r的n阶对称阵,则存在武上n阶可逆矩阵C,使得 En 0 0 000 其中p+q=r.式(6)称为R上对称矩阵在合同关系下的规范形 证明因为AT=A,故存在可逆矩阵C1,使 C1 AC1= diag(d1, d2, d3, ...,dn)

S 0nA |! IP ) 59.77.1.116; W gdjpkc.xmu.edu.cn IOT KGQ §9.2 KGQHNLR
MSJP mHP C e# 5& 2: 9.2.1 A k C e n B "￾℄ r(A) = r,  C e n BIXF" C, i C T AC =  Er 0 0 0  . (1) j (5) ~ C e F"8z3
 73B. E= ~ AT = A, 2IXF" C1, i C T 1 AC1 = diag(d1, d2, d3, · · · , dn). ~ r(A) = r, (f di 6= 0(i = 1, 2, · · · , r), dj = 0(j = r + 1, r + 2, · · · , n). O C2 = diag(p d1, p d2, · · · , p dr, 1, · · · , 1). = C = C1C2, C IX℄ C T AC =  Er 0 0 0  . ✷ # Æ￾Ek f(x1, x2, · · · , xn) k C e,~ r  n # ￾ ){:x ; X = CY , i f(x1, · · · , xn) = y 2 1 + y 2 2 + · · · + y 2 r . < 9.2.1 C e F" A 8z B *y?k r(A) = r(B). vQ R e# 5& 2: 9.2.2 A k R e,~ r  n B "￾  R e n BIXF" C, i C T AC =   Ep 0 0 0 −Eq 0 0 0 0   , (2) Z- p + q = r. j (6) ~ R e F"8z3
5& E= ~ AT = A, 2IXF" C1, i C T 1 AC1 = diag(d1, d2, d3, · · · , dn). 1

因为r(A)=T,不妨设d1>0(i=1,2,…,p),dk,考虑等式 v 由于X=BY且X=CZ,于是Z=C-1BY,令 C21C22 则 21=C1131+ C1232+.+ CInyn 22=c21y1+c22y2+…+C2nyn 由于P>k,在齐次线性方程组 C11y1 0 Ck191+ Ck292+.+ Cknn=0 yp+1=0

~ r(A) = r, (f di > 0(i = 1, 2, · · · , p), dj k, HPj y 2 1 + · · · + y 2 p − y 2 p+1 − · · · − y 2 r = z 2 1 + · · · + z 2 k − z 2 k+1 − · · · − z 2 r . (3)  X = BY ℄ X = CZ, k Z = C −1BY , O C −1B =   c11 c12 · · · c1n c21 c22 · · · c2n . . . . . . . . . cn1 cn2 · · · cnn   .    z1 = c11y1 + c12y2 + · · · + c1nyn z2 = c21y1 + c22y2 + · · · + c2nyn · · · · · · · · · zn = cn1y1 + cn2y2 + · · · + cnnyn .  p > k, ['Æ/    c11y1 + c12y2 + · · · + c1nyn = 0 · · · · · · · · · ck1y1 + ck2y2 + · · · + cknyn = 0 yp+1 = 0 · · · · · · · · · yn = 0 2

中,有n个未知数但只有n-(-k)0,但前k个方程确定了 z=0(=1,2,……,k).故(6)式右边≤0,矛盾.故P≤k.同理k≤p.因此P=k. 我们称定理中的P为实对称矩阵A的正惯性指数,q为A的负惯性指数,s=p-q为A的符号差 同时也分别称为A的二次型的正惯性指数,负惯性指数和符号差.显然,实对称阵的正惯性指数等于它的 正特征值的个数,负惯性指数等于它的负特征值的个数.在四个数P,q,T,s中,若确定其中两个数,其余两 个数就确定了.所以有 推论9.2.2若A,B是R上n阶对称矩阵,则下列条件等价 (1)A合同于B; (2)A与B有相同的正惯性指数和负惯性指数; (3)A与B有相同的秩与符号差; (4)A与B的正特征值的个数相同,负特征值的个数相同 例1试分别在R和C上判断下列矩阵是否合同?相似?相抵? 010 30 010 010 =|-3-20 2 解因为A,B,C均为可逆阵,所以在C上和在R上A,B,C都相抵,在C上A,B,C合同 因为A,B的正惯性指数是2,负惯性指数是1,而C的正惯性指数是1,负惯性指数是2,所以在R 上A,B合同,A,B不合同于C 经计算知,C的特征值是-2,13,-√13.因为A,B,C的特征值互不相等,所以在C上和在R上 A,B,C都互不相似 例2设A是C上n阶对称阵,且r(4)=r.证明A可分解为n个秩为1的对称矩阵之 证明因为A=A,所以存在C上n阶可逆矩阵C使得 Er 0 00 E11+E22+…+E 对任意的i(1≤i≤r),令A1=CEC,则r(A1)=1,41=A1,且A=A1+A2+…+Ar 例3设二次型f(x1,x2,x3)=ax2+an2+(a-1)x3+2x1x3-2x2x3 (1)求二次型f(x1,x2,x3)的所有特征值; (2)若二次型的规范形为+2,求a的值 解(1)二次型的矩阵是 A 因为det(AE-A)=(A-a)(X-a+2)(A-a-1),所以A的三个特征值是A1=a,A2

-￾ n 1&n￾+ n−(p−k) 0, \ k 1'Æ_L zi = 0(i = 1, 2, · · · , k). 2 (6) j ≤ 0, R!2 p ≤ k. zJ k ≤ p.  p = k. ✷ ￾T J- p ~h F" A  D6CF>, q ~ A  56CF>, s = p − q ~ A  481, zg* ~ A #  D6CF>, 56CF> 7 481. `￾h "$4*nu $w#(1n￾.4*nu.w#(1np1n p, q, r, s -￾ _Z-K1n￾ZK 1nE_Lt  (1) A 8z B; (2) A  B z$4*n7.4*n (3) A  B z,,6 (4) A  B $w#(1nz￾.w#(1nz ; 1 l*  R 7 C eYMF"k+8zq A =   −1 0 0 0 1 0 0 0 2   , B =   1 0 0 0 1 0 0 0 −2   , C =   2 −3 0 −3 −2 0 0 0 −2   9 ~ A, B, C G~IX"￾t C e7 R e A, B, C ￾ C e A, B, C 8z ~ A, B $4*nk 2 ￾.4*nk 1, " C $4*nk 1 ￾.4*nk 2, t R e A, B 8z￾ A, B 8z C. D<s&￾ C w#(k −2, √ 13, − √ 13. ~ A, B, C w#(9￾t C e7 R e A, B, C 9q ; 2 f A k C e n B "￾℄ r(A) = r. %V A I*C~ n 1,~ 1  F"'7 E= ~ AT = A, t C e n BIXF" C i A = C T  Er 0 0 0  C. "  Er 0 0 0  = E11 + E22 + · · · + Err. a i(1 ≤ i ≤ r), O Ai = C T EiiC, r(Ai) = 1, AT i = Ai , ℄ A = A1 + A2 + · · · + Ar. ; 3 f# f(x1, x2, x3) = ax2 1 + ax2 2 + (a − 1)x 2 3 + 2x1x3 − 2x2x3. (1) ^# f(x1, x2, x3) tw#( (2) # 5&~ y 2 1 + y 2 2 , ^ a ( 9 (1) # F"k A =   a 0 1 0 a −1 1 −1 a − 1   . ~ det(λE−A) = (λ−a)(λ−a+2)(λ−a−1), t A d1w#(k λ1 = a, λ2 = a−2, λ3 = a+1. 3

(2)由二次型的规范形知A有两个特征值是正实数,一个特征值为零.所以a=2. 习题 1.设A为C上对称阵,则当detA≠0时,A*,A-1均与A合同 2.设A为n阶复对称矩阵,且A的秩为r,求证:A必可分解为A=BTB,其中B是秩为r的 n阶矩阵. 3.确定二次型f(x,y,z)=ayz+bzr+cry的秩和符号差 4.设A是n阶实可逆阵,求 B 0 A 的正负惯性指数 5.设A为n阶可逆实对称矩阵.A是A中的元素a的代数余子式,(,j=1,2,…,n).考虑 二次型 f(x1,x2,…,n)=∑ detA i=1j= (1)写出该二次型的矩阵,并证明它是A-1 (2)二次型g(x1,x2,…,xn)=(x1,x2,…,xn)A(x1,x2,…,xn)2与f(x1,x2,…,xn)的规范形 是否合同?说明理由

(2) # 5&& A K1w#(k$hn￾1w#(~Nt a = 2. A? 1. f A ~ C e "￾  detA 6= 0 g￾ A∗ , A−1 G A 8z 2. f A ~ n B- F"￾℄ A ,~ r, ^% A I*C~ A = BT B, Z- B k,~ r  n BF" 3. _# f(x, y, z) = ayz + bzx + cxy ,7,6 4. f A k n BhIX"￾^ B =  0 A AT 0  $.4*n 5. f A ~ n BIXh F" Aij k A -r aij n.j￾ (i, j = 1, 2, · · · , n). HP # f(x1, x2, · · · , xn) = Xn i=1 Xn j=1 Aij detA xixj . (1) /# F"￾ %Vuk A−1 ; (2) # g(x1, x2, · · · , xn) = (x1, x2, · · · , xn)A(x1, x2, · · · , xn) T  f(x1, x2, · · · , xn) 5& k+8zoVJ 4