第三章导数的用 罗尔中值定理 推 中值定理 拉格朗日中值定理 泰勒公式 柯西中值定理 (第三节) 研究函数性质及曲线性态 应用 利用导数解决实际问题
中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广
3.1.1罗尔定理 设=f(x)是一条连续光滑的曲线，并且在点4、B处的纵坐标相 等，即f(@)=f(b),如图，那么我们容易看出，在弧AB上至小有一 点C(,f(),曲线在C点有水平切线。 由上述的讨论，我们可以得到如 下定理一罗尔(Rolle)定理。 定理1 设函数fx)满足条件： (1)在闭区间a,b]上连续； (2)在开区间(4，b)内可导； (3)f(a=f(b). 则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(5)=0 (a<5<b) 证因f(x)在闭区间Ia,b1上连续所以在Ia,b1上一定取到最大值M 和最小值m。 (1)若M=m则fc)在Ia,b上是常数； f(x)=M, x∈[a,bl
定理1 设函数 f (x)满足条件： 由上述的讨论，我们可以得到如 下定理——罗尔（Rolle）定理。 设 y= f (x)是一条连续光滑的曲线，并且在点A、B处的纵坐标相 等，即f (a) = f (b) ，如图，那么我们容易看出，在弧 AB 上至小有一 点C(ξ, f (ξ))，曲线在C点有水平切线。 （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3） f (a) = f (b) . 则在(a,b)内至少存在一点ξ ，使得 f ( ) 0 (a b). 证 因 f (x)在闭区间[a,b]上连续所以在[a,b]上一定取到最大值M 和最小值m。 (1)若M = m则 f (x)在[a,b]上是常数； f (x) = M， x∈ [a,b] y o x A C B a ξ b 3.1.1 罗 尔 定 理
从而f'(x)=0,因此，任取ξ∈(a,b)都有 f'(5)=0 (2)若M≠m,则M,m中至小有一个不等于f(a),不妨设f(a≠ M。因此，函数fc)在内(a,b)某一点处取到最大值M。我们来证 f'(5)=0。 由于fx)在飞处取最大值，所以不论△x为正或为负，总有 f(5+△x)-f(5)≤0 当△x>0时， f(5+△x)-f(5) ≤0 △x f'()=lim f5+△x)-f()≤0 4x>0* △x 同理， 当△x<0时，(5+Ax)=)≥0 △x f'(5)=lim f(5+△x)-f5)≥0 △x-→0 △x 因此必然有 '(5)=0
由于 f (x)在ξ处取最大值，所以不论△ x为正或为负，总有 当△ x >0时, (2)若M ≠ m ，则M , m中至小有一个不等于 f (a) ，不妨设 f (a) ≠ M 。因此，函数 f (x)在内(a,b)某一点ξ处取到最大值M 。我们来证 f ( ) 0。 f ( x) f ( ) 0 0 ( ) ( ) x f x f 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x f f x 同理，当△ x <0时, 0 ( ) ( ) x f x f 从而 ，因此，任取ξ ∈ (a,b)都有 f ( ) 0 f ( x ) 0 f ( ) 0 因此必然有 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x f f x
3.1.2拉格朗目中值定理 设函数fc)在区间[☑，b小上的图形 是一条连续光滑的曲线弧AB,显 然b)-(a) 是连接点A(a,f(a) b-a 和点B(b,fb)的孩B 的斜率，如 图所示，容易看出，在（α，b内至少 图 存在一点使露 上的点C(5,f(⑤) 的切线与孩B 平行。 由上述的讨论，我们可以得到如下定理一 拉格朗日(Lagrange) 中值定理
3.1.2 拉 格 朗 日 中 值 定 理 设函数 f (x)在区间[a,b]上的图形 是一条连续光滑的曲线弧 ，显 然 是连接点A(a, f (a)) 和点B(b, f (b))的弦 的斜率，如 图 所示，容易看出，在(a,b)内至少 存在一点ξ使弧 上的点C(ξ, f (ξ)) 的切线与弦AB 平行。 AB b a f b f a ( ) ( ) AB AB 图 y o x A C B a ξ b 由上述的讨论，我们可以得到如下定理——拉格朗日（Lagrange） 中值定理
定理2 设函数fx)满足条件： (1)在闭区间a,b上连续； (2)在开区间(a,b)内可导： 则在(a,b)内至少存在一点5，使得 f(b)-f(a）=f'(5) (a<5<b) b-a 或f(a)-f(b)=f'(5(b-a) (a<5<b) 分析：若f(a)=f(b)即为罗尔定理，不妨设f(a)≠f(b),证明的 思路是借助一个辅助函数把拉格朗日定理转化为已知的罗尔定理。 容易看出，弦AB的方程为 y-f(a)+f(b)-f(a)(x-a) b-a
( ) ( ) ( ) ( ) f a b b a f b f a 定理2 设函数 f (x)满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； 则在(a,b)内至少存在一点ξ ，使得 或 f (a) f (b) f ( )(b a) (a b) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a 分析：若 f (a) = f (b)即为罗尔定理，不妨设 f (a) ≠ f (b) ，证明的 思路是借助一个辅助函数把拉格朗日定理转化为已知的罗尔定理。 容易看出，弦 AB 的方程为
而曲线弧AB与弦AB的纵坐标之差为 f(x)-J(a)-f(b)-J(a)(x-a) b-a 它是x的函数，将其记为p(x),x∈[a,b]，显然函数满足罗尔定理的 条件。 证 作辅助函数 -a)--(s-a b-a (x∈[a,b] 显然p(x)在上Ia,b连续，在(a,b)可导，且 p(a)=p(b)=0 于是由罗尔定理，至少存在一点∈(4，b),使得 o'5)=(5)-)-fa=0 b-a 即 f(b)-fa)=f(5) (5∈(a,b) b-a
证 作辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a f x f a 即 而曲线弧 AB 与弦 AB 的纵坐标之差为 它是 x 的函数，将其记为 ，显然函数满足罗尔定理的 条件。 ( x), x [a, b] ( ) ( [ , ]) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a x a b b a f b f a x f x f a 0 ( ) ( ) ( ) ( ) b a f b f a f 显然(x) 在上[a,b]连续，在(a,b)可导，且 (a) (b) 0 于是由罗尔定理，至少存在一点ξ ∈ (a,b) ，使得 ( ) ( ( , )) . ( ) ( ) f a b b a f b f a
中雀凳滩韵演示 已知条件是y=f(x)，x∈[a,b].因此，可得到一条过曲线两个端点的直线 l:y-M(a)+(b)-f(a(x-a). b-a 而与曲线有关的直线应该是每点处的切线.我们来看看曲线的切线与直线1 存在什么样的关系？ 17 T与I平行 (b,f(b)) =f(x) y-M(a)+()x-a) 这样的ξ可能有好多 b-a (a,f(a)) a 5 b X Made by Huilai Li
? . ( ). ( ) ( ) ( ) [ , ]. 存在什么样的关系 而与曲线有关的直线应该是每点处的切线 我们来看看曲线的切线与直线 ： 已知条件是 （ ）， 因此，可得到一条过曲线两个端点的直线 l x a b a f b f a l y f a y f x x a b y f (x) (a, f (a)) (b, f (b)) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a O a b x y T l T 与 l 平行 这样的可能有好多
fb)-f(a=f'(5) (ξ∈(a,b). b-a f(b)-f(a)=f'(5)(b-a) 在区间[x,x+△x]上应用拉各朗日中值定理时， 结论可以写成 f(x+△x)-f(x)=f'(5)△x (x<5<x+△x)
f (b) f (a ) f ( )(b a ) ( ) ( ( , )) . ( ) ( ) f a b b a f b f a f ( x x ) f ( x ) f ( )x ( x x x ) 在区间 上应用拉各朗日中值定理时， 结论可以写成 [ x, x x ]
由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。 推论1 若函数fx)在(a,b)内任意点的导数f'(x)=0,则fx) 在(a,b)内是一个常数。 证 在(a,b)内任意取两点x1,x2,不妨设x1≤x2,显然fx)在 [a,上连续，在化1，x)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一 点∈(c1,2),使得 f(x2)-f(x)=f'(5)x2-x) 由条件知f'(5)=0,从而fc2)一f(x)=0。即f2)=fc)。由x1,x2 是(a,b)内的任意两点，于是我们就证明了fc)在(a,b)内恒为一个常数。 推论2 若函数fe),gc)在(a,b)内可导，且 f'(x)≡g'(x), tx∈(a,b) 则在(a,b)内，fc)与gc)最多相差一个常数，即 f(x)=g(x)+c,x∈(a,b)
由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。 证 在(a,b)内任意取两点 x1，x2，不妨设 x1< x2，显然 f (x)在 [a,b]上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一 点ξ∈ (x1，x2) ，使得 推论2 若函数 f (x)， g(x)在(a,b)内可导，且 推论1 若函数 f (x)在(a,b)内任意点的导数 ，则 f (x) 在(a,b)内是一个常数。 f ( x) 0 ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 f x f x f x x 由条件知 ，从而f (x2) － f (x1) = 0。即 f (x2) = f (x1)。由 x1，x2 是(a,b)内的任意两点，于是我们就证明了 f (x)在(a,b)内恒为一个常数。 f ( ) 0 f (x) g (x), x (a,b) f (x) g(x) c, x(a,b) 则在(a,b)内， f (x)与g(x)最多相差一个常数，即
其中c为常数。 事实上，因为[f(x)-g(x]'=f"(x)-g'(x)=0,x∈(a,b),由 推论1可知 f(x)-g(x)=c,x∈(a,b) f(x)=8(x)+C,x∈(a,b) 应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式
其中c为常数。 f (x) g(x) c, x(a,b) 事实上，因为 ，由 推论1可知 [ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) 0, x (a, b) f (x) g(x) c, x(a,b) 应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式