厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 87.4有理标准型 教学目的与要求领会矩阵的有理标准型;掌握矩阵的极小多项式与不变因子 的关系;对数字矩阵,写出其有理标准型. Frobenius块 寻找一个比较简单的矩阵使它和给定的矩阵有相同的不变因子,矩阵A的特 征矩阵M-A的法式为 diag{1,……,1,d1(A),…,dk(),} 其中d(入)为首一非常数多项式,即 diag(入)≥1,i=1,…,k,且d(d+1(),A 的不变因子就是1,…,1,d1(入),…,dk(A) 00 0 10 0 引理下列r阶矩阵F1 0 00 的行列式因子等于1,…,1,f(入),其中有r-1个1,f(A)=A+a1-1+…+ar,F1 的不变因子组也是1,,1,f(入).这里的F1称为 Frobenius块 证明F1的r阶行列式因子就是它的特征多项式 入0 D=JAI-Fil 000 入0 1入 000 00 +0-1 0a-2
{T/ nB u IP & 59.77.1.116; V gdjpkc.xmu.edu.cn §7.4 K + 6=;4> diagdi(λ) ≥ 1, i = 1, · · · , k, [ di(λ)|di+1(λ), A -Ej 1, · · · , 1, d1(λ), · · · , dk(λ). ?8 zN r DF F1 = 0 0 · · · 0 −ar 1 0 · · · 0 −ar−1 0 1 · · · 0 −ar−2 · · · · · · 0 0 · · · 1 −a1 Nh- 1, · · · , 1, f(λ), X) r−1 0 1,f(λ) = λ r +a1λ r−1+· · ·+ar, F1 -0 j 1, · · · , 1, f(λ). L F1 v Frobenius J A: F1 r DNh-Ejrs!&}h Dfr = |λI − F1| = λ 0 · · · 0 ar −1 λ · · · 0 ar−1 0 −1 · · · 0 ar−2 · · · · · · 0 0 · · · −1 λ − a1 = λ λ 0 · · · 0 ar−1 −1 λ · · · 0 ar−2 0 −1 · · · 0 ar−3 · · · · · · 0 0 · · · −1 λ − a1 + 0 0 · · · 0 ar −1 λ · · · 0 ar−1 0 −1 · · · 0 ar−2 · · · · · · 0 0 · · · −1 λ − a1 r−1 1
1入 0 AD-1+(-1) 0 而对任意的k<r,M-F1总有一个k阶子式,其值为(-1),故Dk(入)=1.口 有理标准型 定理1设A是数域K上的n阶方阵,A的不变因子组为 d1(入),…,dk(入) FI 其中 diaga(入)=m;则A相似于下列分块对角阵F= F2 Fk 其中F的阶等于m,且F是形为引理74-1中的矩阵,F的最后一列由d4(入) 系数(除最高次项的负值组成 证明因为M-A的秩为n,所以由设A的不变因子组为 1(入),…,dk(入) 意味着M-A相抵于 d4() 而λI-A的第n个行列式因子即A的特征多项式|Ⅰ-A|,由行列式因子的相抵 不变性和首项系数为1可知|I-A=d1(入)d2()…dk(),而|-4为n次多 项式,所以m1+m2+…+mk=m,矩阵F的行列式因子为1,…,1,d1()),其中 共有m2-1个1,将M-A的法式做如下变动 diag{1,…,1,d1();1,…,1,d2(入),……,1,…,1,dk(入)}(*)
= λD]r−1 + (−1)rar −1 λ · · · 0 0 −1 · · · 0 · · · · · · 0 0 · · · −1 r−2 = λD]r−1 + ar = λ r + a1λ r−1 + · · · + ar. '$_Æ k A s!&}h |λI − A|, Nh-| 7l}ymv 1 I$ |λI − A| = d1(λ)d2(λ)· · · dk(λ), ' |λI − A| v n & }hq m1 + m2 + · · · + mk = n, F Fi Nh-v 1, · · · , 1, di(λ), X) 4 mi − 1 0 1, λI − A )h2az " diag{1, · · · , 1, d1(λ); 1, · · ·, 1, d2(λ), · · · , 1, · · · , 1, dk(λ)} (∗) 2
即在每个d4(入)前配以m-1个1,(*)所示的矩阵仍与Ⅺ-A相抵,由引理知, M-F与(*)式所示矩阵相抵,于是M-A与-F相抵,即A与F相似 例1口据下列不变因子组写出有理标准型 (A+1),、(A+1)2,(A+1)3 解不变因子组可写为 1,1,1,(A+1),(2+2+1),(A3+32+3A+1) 变动后为 A+1);1(x2+2A+1);1,1,(32+3x2+3X+1) 有理标准型为 0 10-3 1-3 例2求下列矩阵的有理标准型 133 313 入-1-3-3 解M-A 3入+5 D1=1,A1=(X+2)2,A1 入+5 3(X+2), 3入-1 3入+5 (A+2) 入-1-3 入-1 3入+5 33|=34+2)
>S0 di(λ) ZW mi − 1 0 1,(∗) qiF ` λI − A | K$ λI − F (∗) hqiF | j λI − A λI − F | > A F |p 2 9 1 2GzN -0K + 1, 1, 1,(λ + 1),(λ + 1)2 ,(λ + 1)3 7 -0Iv 1, 1, 1,(λ + 1),(λ 2 + 2λ + 1),(λ 3 + 3λ 2 + 3λ + 1) "9v (λ + 1); 1,(λ 2 + 2λ + 1); 1, 1,(λ 3 + 3λ 2 + 3λ + 1) K +v −1 0 −1 1 −2 0 −1 1 0 −3 1 −3 . 9 2 \zNF K + 1 3 3 3 1 3 −3 −3 −5 . 7 λI − A = λ − 1 −3 −3 −3 λ − 1 −3 3 3 λ + 5 D1 = 1, A11 = (λ + 2)2 , A12 = −3 −3 3 λ + 5 = 3(λ + 2), A13 = −3 λ − 1 3 3 = −3(λ + 2), A21 = −3 −3 3 λ + 5 = −3(λ + 2), A22 = λ − 1 −3 3 λ + 5 = (λ + 2)2 , A23 = − λ − 1 −3 3 3 = 3(λ + 2), 3
3(A+2),A 入-1-3 3 =3(A+2) 入-1-3 3入-1 + 所以D2=A+2,D3=(-1)(A+2)2,故d1()=A+2,d2())=D3/D2 (入-1)(A+2),这样,A的不变因子组为 1,A+2,(A-1)(A+2) 即+2;1,2+A-2,故A的有理标准型为 02 极小多项式 00 0 10 引理2F1 0-a+-2的极小多项式是m(4)=/( X+a1-1+ 证明因为F1的特征多项式是f(入),因此F1适合多项式f(入),即f(入是 F1的零化多项式,则F1的极小多项式为f(入),若不然,有9()),使9(F)=0 且diag(A)< diag f(入),设9(从)=A+l1-1 9(F1)=F+ l1F1-1+…+l=0从而对任意a∈K都有g(F1)a=0,特别取a=e1,则 亦必须成立9(F1)e1=0,而Fe1=e2,Fe1=e3,…,Fie1=es+1,9(F1)e1= l。e1≠0,Vl2,i=1,…,s,矛盾. 定理2设数域K上n的阶矩阵A的不变因子为 1,…,1,d1()),…,dk(入) 其中d()|d+1()),=1,…,k-1,则A的极小多项式m(从)=d() 证明设A的有理标准型为 Fi F2 F F
A31 = −3 −3 λ − 1 −3 = 3(λ + 2), A32 = λ − 1 −3 3 −3 = 3(λ + 2) A33 = λ − 1 −3 −3 λ − 1 = (λ + 2)(λ − 4), q D2 = λ + 2, D3 = (λ − 1)(λ + 2)2 , 5 d1(λ) = λ + 2, d2(λ) = D3/D2 = (λ − 1)(λ + 2), A -0v 1, λ + 2,(λ − 1)(λ + 2) > λ + 2; 1, λ2 + λ − 2, 5 A K +v −2 0 2 1 −1 . =~&}h ?8 2 F1 = 0 0 · · · 0 −ar 1 0 · · · 0 −ar−1 0 1 · · · 0 −ar−2 · · · · · · 0 0 · · · 1 −a1 =~&}hj mF1 (λ) = fF1 (λ) = λ r + a1λ r−1 + · · · + ar. A: v F1 s!&}hj f(λ), F1 k8&}h f(λ), > f(λ) j F1 O;&}h F1 =~&}hv f(λ), b ^ g(λ), g g(F1) = 0, [ diagg(λ) < diagf(λ), e g(λ) = λ s + l1λ s−1 + · · · + ls, s < r, g(F1) = F s 1 + l1F s−1 1 + · · · + lsI = 0 '$_Æ α ∈ K # g(F1)α = 0, s ℄ α = e1, M g(F1)e1 = 0, ' F1e1 = e2, F2 1 e1 = e3, · · · , Fs 1 e1 = es+1, g(F1)e1 = es + l1es−1 + · · · + lse1 6= 0, ∀li , i = 1, · · · , s, R% 2 58 2 em K d n DF A -v 1, · · · , 1, d1(λ), · · · , dk(λ) X) di(λ)|di+1(λ), i = 1, · · · , k − 1, A =~&}h m(λ) = dk(λ). A: e A K +v F = F1 F2 . . . Fk , 4
因相似矩阵有相同的极小多项式,故只需证明F的极小多项式是dk(入)即可.但 是F为分块对角阵,由第六章知识知道F的极小多项式是诸F极小多项式的最 小公倍式,而F的极小多项式正如引理所示恰为d4(入),又因为d1(入)d2+1(入),故 诸d1(入)的最小公倍式等于dk() 例3设矩阵A的所有特征值互异,求证A的特征多项式与极小多项式相等, 并求A的有理标准型 证明设A的特征矩阵-A的行列式因子为D1(入),D2(A),…,Dn(),不 变因子为d1(A),d2(入),……,dn(入),则d()|d+1(),d1(A)d2(X)…dn(A)=Dn(入) (A-A1)(A-入2)…(A-入n) 若dn-1(入)≠1,则dn(入)=dn-1()9(入),Dn()=d1-1()9(A)d1(入)d2( d2-2())与设Dn()=(A-A1)(A-A2)…(A-An)=∏(A-入),A≠入,≠j矛 盾所以d1(入)=d2()=…=dn-1(A)=1,dn(A)=Dn(A)=X+a11-1+…+a 故A的有理标准型为 0100 001.0 000 作业:P245,1(1),2(1),3,4,6. 思考:P245,5,7.P20,1
|pF |t=~&}h5'#U F =~&}hj dk(λ) >I j F v,J$A Q $f$ F =~&}hj* Fi =~&}h1 ~3h' Fi =~&}h"aKqiYv di(λ), v di(λ)|di+1(λ), 5 * di(λ) 1~3h dk(λ). 2 9 3 eF A qs!%:\# A s!&}h=~&}h| \ A K + A: e A s!F λI − A Nh-v D1(λ), D2(λ), · · · , Dn(λ), -v d1(λ), d2(λ), · · · , dn(λ), di(λ)|di+1(λ), d1(λ)d2(λ)· · · dn(λ) = Dn(λ) = (λ − λ1)(λ − λ2)· · ·(λ − λn) b dn−1(λ) 6= 1, dn(λ) = dn−1(λ)g(λ), Dn(λ) = dn−1(λ)g(λ) d1(λ)d2(λ) · · · dn−2(λ) e Dn(λ) = (λ−λ1)(λ−λ2)· · ·(λ−λn) = Qn i=1 (λ−λi), λi 6= λj , i 6= j R %q d1(λ) = d2(λ) = · · · = dn−1(λ) = 1, dn(λ) = Dn(λ) = λ n+a1λ n−1+· · ·+an. 5 A K +v 0 0 · · · 0 −an 1 0 · · · 0 −an−1 0 1 · · · 0 −an−2 · · · · · · 0 0 · · · 1 −a1 . 3 P245, 1(1), 2(1), 3, 4, 6. oH P245, 5, 7. P266, 1. 5