厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第8章 欧氏空间 §8.4 内积空间的同构，正交变换

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:;域名: gdjpkc. xmu.edu.cl 第八章欧氏空间 84内积空间的同构,正交变换 本节首先讨论欧氏空间的同构,即保持内积的线性空间的同构 定义8.4.1设VW是两个欧氏空间,φ:V→W是线性映射,如果φ是线性空间同构且保持内 积,即对于任意的a,B∈V,有 (y(a),y(6)=(a,B) 则称φ是欧氏空间的同构,并记为VW 命题8.41欧氏空间的同构关系满足(1)反身性,即VV;(2)对称性,即若vW,则WV; (3)传递性,即若V全W,WU,则VU 定理8.4.1任意n维欧氏空间都同构于欧氏空间Rn 证明设51,52,……,5n是V的一个标准正交基,E1,E2,…,En是Rn的标准正交基,令φ为如下定 义的线性映射V→Rn:φ(5)=E,1≤i≤n.则显然φ是线性空间的同构并且对任意a,B∈V, a=a151+a22+…+an5n,B=b151+b252+…+bn5n,有 (y(a),y(6)=(a1y(1)+a2y(52)+…+any(5n),b1y(51)+b2y(52)+……+bny(5n)) (a1-1+a2E2+…+anEn,b11+b2=2+…+bnEn) a1b1+a2b2+…+anbn (a,B) 因此φ是同构 定理8.4.2两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相等. 下面讨论正交变换 定义8.4.2设φ是n维欧氏空间V的线性变换,如果φ保持内积不变,即对于任意的a,B∈V,有 (y(a),y()=(a,B), 则称φ是正交变换 从下面的定理看出来,欧氏空间V的线性变换是正交变换的充分必要条件是φ是V作为欧氏空间 的自同构 定理8.4.3设φ是n维欧氏空间V的线性变换,则下列条件等价 (1)φ是正交变换 (2)保持长度不变,即对于任意的a∈V,有|(a)=|a (3)9将V的任意标准正交基变为另一个标准正交基;

*l 37(!Q M IP )V 59.77.1.116; Hq gdjpkc.xmu.edu.cn }z 
§8.4 ￾
|~ { S+iy\L';H wF'.2\L'; eu 8.4.1 V, W  8y\L ϕ : V → W .2A ? ϕ .2\L;~ w FH/F;' α, β ∈ V , D (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β), K ϕ  opkidrg, I" V ∼= W. nq 8.4.1 y\L';=(j_ (1) 22H V ∼= V ; (2) /2H V ∼= W, K W ∼= V ; (3) *2H V ∼= W, W ∼= U, K V ∼= U. el 8.4.1 ; n #y\L,;Fy\L R n. ym ξ1, ξ2, · · · , ξn  V '88Æ\QOE ε1, ε2, · · · , εn  R n 'Æ\QOEh ϕ ")+ <'.2A V → R n: ϕ(ξi) = εi , 1 ≤ i ≤ n. K, ϕ .2\L';~/; α, β ∈ V , α = a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, β = b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn, D (ϕ(α), ϕ(β)) = (a1ϕ(ξ1) + a2ϕ(ξ2) + · · · + anϕ(ξn), b1ϕ(ξ1) + b2ϕ(ξ2) + · · · + bnϕ(ξn)) = (a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, b1ε1 + b2ε2 + · · · + bnεn) = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn = (α, β). = ϕ ; ✷ el 8.4.2 8D-#y\L;'46Mm'#/( )oiQO D eu 8.4.2 ϕ  n #y\L V '.2 D? ϕ wF H/F;' α, β ∈ V , D (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β), K ϕ  xj h. )o'+_Z^y\L V '.2 D ϕ QO D'46M ϕ  V a"y\L '^; el 8.4.3 ϕ  n #y\L V '.2 DK)eM(K (1) ϕ QO D (2) ϕ - H/F;' α ∈ V , D |ϕ(α)| = |α|; (3) ϕ N V ';Æ\QOE "g88Æ\QOE 1

(4)p在V的任意标准正交基下的矩阵是正交阵; (5)在V的某组标准正交基下的矩阵是正交阵 证明(1)→(2):对于任意的a∈V,有 (y(a),p(a)=(a,a) 两边开平方,得到|(a)=al (2)→(1):对于任意的a,B∈V ((a),yp(a)=(a,a) ((B),(6)=(,B), ((a+B),(a+B)=(a+B,a+B) 将后面等式展开,得到(y(a),p(a)+(y(B),(B)+2(y(a),(B)=(a,a)+(B,B)+2(a,B).将前 两式代入,得到(y(a),y()=(a,B) (1)→(3):设51,2,……,En是V的一个标准正交基,则 (y(51),y(5)=(5,51)=6 (3)→(4):设51,52,……,5n是V的一个标准正交基 y(51,52,……,5n)=(51,2,……,5n)A 因为φ(51),y(52),……,y(5n)也是V的标准正交基.所以A是从标准正交基51 5n到标准正交基 (51),g(￡2),…,(5n)的过渡矩阵,所以A是正交矩阵 (4)→(5):显然 (5)→(3):设51,52,…,5n是V的一个标准正交基 因为A是正交矩阵,所以y(1),y(52),……,y(5n)也是V的标准正交基 (3)→(1):设51,52,…,5n是V的一个标准正交基,y(51),y2(52),…,(n)也是V的标准正交 基对任意a,B∈V,a=a151+a252+…+an5n,B=b151+b252+……+bn5n,有(p(a),g(B) (a1y(51)+a2y(52)+…+any(5n),b1(51)+b2y(52)+…+bny(En)=a1b1+a2b2+…+anbn (a1E1+a22+…+anEn,b11+b2E2+…+bnEn)=(a,B) 命题8.4.2设n阶实矩阵A是正交阵,则 (1)detA=±1: (2)A的特征值的绝对值等于1 证明(1)显然 (2)设A是A的特征值,X是属于A的特征向量,则AX=AX.两边同取共轭转置,于是 =Xx,所以 XATAX=AXTAX 所以 XX=AA(XX

(4) ϕ J V ';Æ\QOE)'WOQOO (5) ϕ J V 't`Æ\QOE)'WOQOO ym (1)⇒ (2): /F;' α ∈ V , D (ϕ(α), ϕ(α)) = (α, α), Yz3&% |ϕ(α)| = |α|. (2)⇒ (1): /F;' α, β ∈ V , (ϕ(α), ϕ(α)) = (α, α), (ϕ(β), ϕ(β)) = (β, β), (ϕ(α + β), ϕ(α + β)) = (α + β, α + β). NBo(LY&% (ϕ(α), ϕ(α)) + (ϕ(β), ϕ(β)) + 2(ϕ(α), ϕ(β)) = (α, α) + (β, β) + 2(α, β). N} !&% (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β). (1)⇒(3): ξ1, ξ2, · · · , ξn  V '88Æ\QOEK (ϕ(ξi), ϕ(ξj )) = (ξi , ξj ) = δij . (3) ⇒ (4): ξ1, ξ2, · · · , ξn  V '88Æ\QOE ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A. =" ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) 7 V 'Æ\QOE: A Æ\QOE ξ1, ξ2, · · · , ξn %Æ\QOE ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) '.WO: A QOWO (4) ⇒ (5): , (5)⇒ (3): ξ1, ξ2, · · · , ξn  V '88Æ\QOE ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A. =" A QOWO: ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) 7 V 'Æ\QOE (3) ⇒ (1): ξ1, ξ2, · · · , ξn  V '88Æ\QOE ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) 7 V 'Æ\QO E/; α, β ∈ V , α = a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, β = b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn, D (ϕ(α), ϕ(β)) = (a1ϕ(ξ1) +a2ϕ(ξ2) +· · ·+anϕ(ξn), b1ϕ(ξ1) +b2ϕ(ξ2) +· · ·+bnϕ(ξn)) = a1b1 +a2b2 +· · ·+anbn = (a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, b1ε1 + b2ε2 + · · · + bnεn) = (α, β). ✷ nq 8.4.2 n R WO A QOOK (1) detA = ±1; (2) A 'PU'X/U(F 1. ym (1) , (2) λ  A 'PU X F λ 'P0dK AX = λX. ￾:b[XF XA¯ T = λ¯X¯ T , : XA¯ T AX = λ¯X¯ T λX, : X¯ T X = λλ¯ (X¯ T X). 2

因此 1.即|=1 引理8.4.1设A为n阶正交阵,A=a+b为A的一个复特征值(b≠0),X=a+B为对应 的特征向量,其中a,B∈Rn.则a和β正交且la=| 证明因为A(a+Bi)=(a+bi)(a+Bi),所以Aa=aa-b,AB=ba+a.从而 a2+b612-2ab(a,B) B2=(B,B) 2+a212+2ab(a,B) (1)-(2),得 (a,B)=(Aa,AB)=(a2-b2)(a,B)+ab(a2-|2) 由(3),(4),得 (a2-b2-1)(a2-|62)-4ab(a,B)=0 b(a|2-12)+(a2-b2-1)(a,B)=0 其可视为关于(l2-12)和(a,B)的方程组由于 2-b2-1-4ab (a2-b2-12+4a2b2=4b4+4a2b2=4b2(2 因此方程组只有零解,即la|2=12,且(a,B)=0. 因为A为正交阵,因此特征值模长为1,即a2+b2=1,可设a=cos6,b=-sin.这样 CoS bB=(a, B) AB=ba+aB=(a, B) B)=(a,B) 定理4.44设A为n阶正交阵,则存在n阶正交阵T,使 T-AT=T AT= diag(Er, -Es sIn a1 Cos a1 sIn aI COs( 其中 证明对阶数用数学归纳法 当n=1时,显然成立.设当阶数≤n时命题成立 当阶数为n时, (1)若A有一个实特征根λ0,则取其单位特征向量X1,扩为R的标准正交基X1,X2,……,Xn,则 λoB 这里A1是n-1阶方阵,B∈R-1.令T1=(X1,X2,…,Xn)则 Ao B

= λλ¯ = 1. H |λ| = 1. ✷ vl 8.4.1 A " n RQOO λ = a + bi " A '886PU￾ b 6= 0
X = α + βi "/? 'P0d{Y α, β ∈ R n. K α A β QO~ |α| = |β|. ym =" A(α + βi) = (a + bi)(α + βi), : Aα = aα − bβ, Aβ = bα + aβ. 0 |α| 2 = (α, α) = (Aα, Aα) = a 2 |α| 2 + b 2 |β| 2 − 2ab(α, β) (1) |β| 2 = (β, β) = (Aβ, Aβ) = b 2 |α| 2 + a 2 |β| 2 + 2ab(α, β) (2) (1) − (2), & (a 2 − b 2 − 1)|α| 2 + (b 2 − a 2 + 1)|β| 2 − 4ab(α, β) = 0 (3) 0 (α, β) = (Aα, Aβ) = (a 2 − b 2 )(α, β) + ab(|α| 2 − |β| 2 ) (4) C (3),(4), &  (a 2 − b 2 − 1)(|α| 2 − |β| 2 ) − 4ab(α, β) = 0 ab(|α| 2 − |β| 2 ) + (a 2 − b 2 − 1)(α, β) = 0 {["=F (|α| 2 − |β| 2 ) A (α, β) '3`CF     a 2 − b 2 − 1 −4ab ab a2 − b 2 − 1     = (a 2 − b 2 − 1)2 + 4a 2 b 2 = 4b 4 + 4a 2 b 2 = 4b 2 (b 2 + a 2 ) = 4b 2 6= 0, =3`WDfTH |α| 2 = |β| 2 , ~ (α, β) = 0. ✷ =" A "QOO=PUs" 1, H a 2 + b 2 = 1, [ a = cos θ, b = − sin θ. N5 Aα = aα − bβ = (α, β)  cos θ sin θ  , Aβ = bα + aβ = (α, β)  − sin θ cos θ  , A(α, β) = (α, β)  cos θ − sin θ sin θ cos θ  . el 4.4.4 A " n RQOOKJ n RQOO T , Æ T −1AT = T T AT = diag(Er, −Es,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sin αl cos αl  ) {Y r + s + 2l = n. ym /RB3>v1 $ n = 1 ,b $R ≤ n rb $R" n  (1)  A D88 P9 λ0, K￾{"$P0d X1, ℄" R n 'Æ\QOE X1, X2, · · · , Xn, K A(X1, X2, · · · , Xn) = (X1, X2, · · · , Xn)  λ0 β O A1  . N` A1  n − 1 R3O β ∈ R n−1 . h T1 = (X1, X2, · · · , Xn), K T −1 1 AT1 =  λ0 β O A1  = B. 3

因为T-1=T,所以A-1=A.值视B-1=B1,即B是正阵阵然故 a=(aA)()=(+A)=(bE 得+BB=1,A14=E.向1=1,因此B=0,A1A1=E.即 Al 其中A1是正阵阵.由归引在设然存在n-1阶正阵阵T2,使 T2 A1T2=dingEr, -E sIn a1 OS aI sIn at COs al 令T=T1 1 则T为n阶正阵阵然且 r1=gE-E,(mem)…( COs al 因为A0=±1,命题数立 (2)若A无实特征根.设A=a+b是其特征根然a+Bi为相应特征向量然则由引理8.4.1,a与B 正阵然且且|a2=12.因|=1,故可设入=cosa+ z sIna.取a,B的为位由向量X1,X2,则有 AX1=cosaX1+sina X2=(X1, X2) AX2=-sinaX1+cos aX2=(X1,X2)( 这X1,X2扩为R的使准正阵基X1,X2,…,Xn,则 Xn) n o cOs Q 令T=(X1,X2,……,Xn),则T1是正阵阵且 COS O T1 AT1= sina c SIn a COS O B 因T1,A为正阵阵然所以B为正阵阵.故 E2 O sIn a COS Q 所以(a-sina )(0m0)+C=B,AC=0山=E=2数故 是正阵阵然且C=O,即 cos a -sIn o

=" T −1 = T T , : A−1 = AT . U8 B−1 = BT , H B QOOvJ J n − 1 RQOO T2, Æ T −1 2 A1T2 = diag{Er, −Es,  cos α1 − sin α1 sinα1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sin αl cos αl  } h T = T1  1 T2  , K T " n RQOO~ T −1AT = diag{λ0, Er, −Es,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sin αl cos αl  }. =" λ0 = ±1, rb (2)  A ' P9 λ = a + bi {P9 α + βi "/?P0dKC>_ 8.4.1, α G β QO~~ |α| 2 = |β| 2 . = |λ| = 1, <[ λ = cos α + isinα. ￾ α, β '"$C0d X1, X2, KD AX1 = cos αX1 + sinαX2 = (X1, X2)  cos α sin α  , AX2 = − sinαX1 + cos αX2 = (X1, X2)  − sinα cos α  . N X1, X2 ℄" R n 'Æ\QOE X1, X2, · · · , Xn, K A(X1, X2, · · · , Xn) = (X1, X2, · · · , Xn)    cos α − sinα sin α cos α  C O A2   . h T1 = (X1, X2, · · · , Xn), K T1 QOO~ T T 1 AT1 =    cos α − sinα sin α cos α  C O A2   = B. = T1, A "QOO: B "QOO<    cos α − sinα sin α cos α  C O A2      cos α − sinα sin α cos α T O C T AT 2   =  E2 O O En−2  . :  cos α − sinα sinα cos α   cos α − sinα sin α cos α T + CCT = E2, A2C T = O, A2AT 2 = En−2. < A2 QOO~ C = O, H B =    cos α − sinα sin α cos α  O O A2   . 4

由归纳假设,存在n-2阶正交矩阵T2,使得 T2 A212=diag(Er, -Es COS a1 -sIno Cos al -sin ap SIn Q1 COs a SIn a1 Cos aI 令T=(EO o E 则T为正交阵且 T AT= diag COs O COs QL sin al COs al 定理8.4.4设φ是n维欧氏空间V的正交变换,则存在一组标准正交基,使得φ在此基下的矩阵是 diag(Er, -Es (caca)…( COS al 其中r+s+2l=m 习题 1.写出§8.1的例1和例2中Rn作为不同两种内积的不同的欧氏空间之间的同构映射 2.(1)设A是奇数阶正交矩阵,且detA=1,则1是A的一个特征值; (2)设A是n阶正交矩阵,且detA=-1,则-1是A的一个特征值 3设7是n维欧氏空间V中一单位向量,定义y(a)=a-2(m,a)n,证明 )是正交变换(称为镜面反射) (3)存在V的一个标准正交基,使得φ在这个标准正交基下的矩阵 4.如果Ⅴ上的正交变换φ以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间Ⅴ1的维数为 那么φ是镜面反射 5.设a,B是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明存在一镜面反射φ,使得φ(a)=B 6.证明:n维欧氏空间中任意正交变换都可以表为一系列镜面反射的乘积 7.设φ是n维欧氏空间V上的线性变换,对于任意的a,B∈V,都有(y(a),(6)=(a,B).证 明:φ是线性变换,因而是正交变换 复习题 1.设a1,a2,……,am和B1,B2,…,Bm是欧氏空间V的两组向量,满足 (a;ay)=(B,), 1≤i,j≤m.证明 span(a1,a2,…,am)span(1,B2,…,Bm) 1x、2.设A∈Rmxn,b∈Rm.求证:线性方程组AX=b有解的充分必要条件是b与线性方程组 X=0的解空间在Rn中正交

C>vJ J n − 2 RQOWO T2, Æ& T −1 2 A2T2 = diag(Er, −Es,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sinαl cos αl  ). h T = T1  E2 O O T2  , K T "QOO~ T −1AT = diag( cos α − sinα sin α cos α  , Er, −Es,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sinαl cos αl  ). el 8.4.4’ ϕ  n #y\L V 'QO DKJ8`Æ\QOEÆ& ϕ JE)'WO diag(Er, −Es,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sin αl cos αl  ), {Y r + s + 2l = n. tq 1. 1 §8.1 'a 1 Aa 2 Y R n a" ZwF''y\LTL';A  2. (1) A |RQOWO~ detA = 1, K 1  A '88PU (2) A  n RQOWO~ detA = −1, K −1  A '88PU 3. η  n #y\L V Y8"$0d+< ϕ(α) = α − 2(η, α)η. Rp (1) ϕ QO D ("Vo2 ); (2) ϕ 2 = idV ; (3) J V '88Æ\QOEÆ& ϕ JN8Æ\QOE)'WO  −1 O O En−1  . 4. ? V 'QO D ϕ : 1 a"88PU~FPU 1 'P℄\L V1 '#" n − 1, uk ϕ Vo2  5. α, β  n #y\L V Y 8'"$0dRpJ8Vo2 ϕ, Æ& ϕ(α) = β; 6. Rp n #y\LY;QO D,[:"8(eVo2 'F 7. ϕ  n #y\L V '.2 D/F;' α, β ∈ V , ,D (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β). R p ϕ .2 D=0QO D ftq 1. α1, α2, · · · , αm A β1, β2, · · · , βm y\L V ' `0dj_ (αi , αj ) = (βi , βj ), 1 ≤ i, j ≤ m. Rp span(α1, α2, · · · , αm) ∼= span(β1, β2, · · · , βm). 2. A ∈ R m×n, b ∈ R m. R.23` AX = b DT'46M b G.23` AT X = 0 'T\LJ R n YQO 5

3.设U是n维欧氏空间V的子空间,由V=U由U-,我们可定义v上的线性变换如下:对于 +B∈U由U,y(a+B)=a (1)φ是欧氏空间V上的幂等线性变换,即y2=p.这个线性变换称为从V到U的正投影 (2)idv-是V到U-的正投影 3)对任意a,B∈V,都有(y(a),B)=(a,9() 4.设A是n阶实可逆阵.求证:A=TQ,其中T是正交阵,Q是上三角阵且对角线元素大于零 5.设φ是n维欧氏空间V上的线性变换.证明:φ是对称变换的充分必要条件是9有n个两两正 交的特征向量 6.设A,B是R上n阶对称阵,且AB=BA.求证:存在正交阵T,使得T-14,T-1BT同时 为对角阵. 7.设A,1≤i≤m是m个n阶实对称阵且两两乘法可交换,求证:存在正交阵T,使TAT, 1≤i≤m都是对角阵 8.设三阶实对称阵A的特征值A=1,A2=2,A3=-2,又a1=(1,-1,1)是A的属于A1的 一个特征向量,记B=A5-4A3+E (1)验证a1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值和特征向量; (2)求矩阵B 9.设矩阵A=1a1,B=(1,1,-2)y.已知线性方程组AX=B有解但不唯一试求 (1)a的值; (2)正交矩阵T,使得TAT为对角矩阵 10.设A=02a|,已知a=(1,1,1)是A的特征向量 11b (1)求a,b的值及特征向量a所对应的特征值 (2)求A的全部特征值和特征向量 (3)问A是否可对角化?若是,求正交矩阵T,使得T-1AT为对角阵

3. U  n #y\L V '℄\LC V = U ⊕ U ⊥, &m[+< V '.2 D ϕ )/F α + β ∈ U ⊕ U ⊥, ϕ(α + β) = α. (1) ϕ y\L V 'n(.2 DH ϕ 2 = ϕ. N8.2 D" V % U ' xsw; (2) idV − ϕ  V % U ⊥ 'Q (3) /; α, β ∈ V , ,D (ϕ(α), β) = (α, ϕ(β)). 4. A  n R [xOR A = T Q, {Y T QOO Q PO~/P.I Ff 5. ϕ  n #y\L V '.2 DRp ϕ / D'46M ϕ D n 8 Q O'P0d 6. A, B  R  n R/O~ AB = BA. RJQOO T , Æ& T −1AT , T −1BT  "/PO 7. Ai , 1 ≤ i ≤ m  m 8 n R /O~ 1[ODRJQOO T , Æ T TAiT , 1 ≤ i ≤ m ,/PO 8. R /O A 'PU λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −2, E α1 = (1, −1, 1)T  A 'F λ1 ' 88P0dI B = A5 − 4A3 + E. (1) 4R α1 WO B 'P0d B '
PUAP0d (2) WO B. 9. WO A =   1 1 a 1 a 1 a 1 1  , β = (1, 1, −2)T . 9S.23` AX = β DT#!8 (1) a 'U (2) QOWO T , Æ& T T AT "/PWO 10. A =   2 0 1 0 2 a 1 1 b  , 9S α = (1, 1, 1)T  A 'P0d (1)  a, b 'UGP0d α /?'PU (2)  A '
PUAP0d (3) % A 5[/PCQOWO T , Æ& T −1AT "/PO 6