厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第八章欧氏空间 §8.3对称变换,对称矩阵 首先讨论欧氏空间的线性变换在不同的标准正交基下的矩阵的联系 设51,2,…,5n和m,m2,…·,mn是n维欧氏空间v的标准正交基,从基m,m2,…,mhn到1,52,…,5n 的过渡矩阵为正交矩阵Q,即 设p是V的线性变换,φ在两个标准正交基下的矩阵分别是A,B,即 g(m,m2,…,mn)=(m1,n2 g(51,52,…,5n)=(51,2,…,n)B, 有B 定义8.3.1设A,B是武上n阶方阵,如果存在正交矩阵Q,使得 B=Q AQ=Q AQ, 则称A正交相似于B. 从上面的分析直接得到如下定理 定理8.3.1R上两个n阶方阵A,B正交相似的充分必要条件是它们为欧氏空间v上同一个线性变换 在不同的标准正交基下的矩阵 Rnxn上的正交相似关系满足 (1)反身性,即A正交相似于A (2)对称性,即若A正交相似于B,则B正交相似于A (3)传递性,即若A正交相似于B,B正交相似于C,则A正交相似于C 对于欧氏空间的线性变换,重要的任务是寻找正交相似下的标准形.下面讨论一类特殊的但重要的对称 变 定义8.32设φ是欧氏空间v上的线性变换,如果满足对于任意的a,B∈V,都有 (y(a),B)=(a,y(6) 则称φ是对称变换 定理8.3.2设φ是n维欧氏空间Ⅴ的线性变换,则下列条件等价: )φ是对称变换; (2)存在V的一个标准正交基51,52,…,5n,有使得(y(5),5)=(,φ(5)(i,j=1,2,…,m)
#j.1# L F IP $Q 59.77.1.116; An gdjpkc.xmu.edu.cn nkv tusq §8.3 omlpomrw $gpXG"&,>D " TKJ""SI"_! ξ1, ξ2, · · · , ξn : η1, η2, · · · , ηn n pXG V " TKJ η1, η2, · · · , ηn ξ1, ξ2, · · · , ξn "9(SIKJSI Q, B (ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (η1, η2, · · · , ηn)Q. ϕ V "&,> ϕ D`2 TKJ""SI0 A, B, B ϕ(η1, η2, · · · , ηn) = (η1, η2, · · · , ηn)A, ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)B, E B. l"0 OM! |"&\ \a 8.3.1 R `2 n N.I A, B KJ'"02HkpXG V 42&,> D " TKJ""SI R n×n "KJ'6!hV (1) -,B A KJ'> A; (2) ),B} A KJ'> B, E B KJ'> A; (3) %,B} A KJ'> B, B KJ'> C, E A KJ'> C. )>pXG"&,>S2"{ /GKJ'"" T*"lg4[ " S2") > \h 8.3.2 ϕ pXG V "&,>|8hV)>{7" α, β ∈ V , 'E"bH#F (1) ϕ )> (2) D V "42 TKJ ξ1, ξ2, · · · , ξn, <! (ϕ(ξi), ξj ) = (ξi , ϕ(ξj ))(i, j = 1, 2, · · · , n); 1
(3)在V的一个标准正交基下的矩阵是对称阵 证明(1)→(2)显然 (2)→(3)设51,52,…,5n为V的一个标准正交基,则 y(51,52,…,5n)=(51,52,…,5n)A, 记A=(a1)nxn,则 (51),5)=(a1i51+a2252+…+ann,5)=ani (52,2(5)=(51,a151+a22+…+an5n,5)=a 所以a=an(i,j=1,2,……,n),即A=A (3)→(2)设51,52,…,En为V的一个标准正交基 其中A=A.则 (y(1),5)=(a151+a22+……+an5n,51)=ai, (52,2(51)=(51,a151+a22+…+an/5n,5)=a1 所以((51),5)=(51,(51)(,j=1,2,……,m) (2)→(1)对于V的标准正交基51,52,…,5n,任取a,B∈V,a=a151+a252+…+an5n, B=b151+b252+…+bn5n,所以 ((a),B)=(a19(51)+a2y(52)+…+any(5n),b151+b252+……+bn5n) k=1∑1=1akbn(y(5k),51) 1∑B=1akb(5k,y(5) (a151+a22+…+ann,b1y(51)+b2(52)+…+bny(5n) (a,g(6) 从证明的过程中我们看到,在取定欧氏空间的一个标准正交基的前提下,对称变换和实对称矩阵是一一 对应的.下面讨论对称变换或对称矩阵在正交相似下的标准形 定理8.3.3设A是实对称阵,则A的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量在Rn中相互正 交 证明设 AX=AX 其中A∈C,X=(x1,x2,…,xn)≠0∈Cm.则从AX=X得到AX=AX,所以 X AX 另一方面,从X7A=AXT得到 XTAX=AXX 故有 AXTX=AXTX
(3) ϕ D V "42 TKJ""SI)I j (1) ⇒ (2) %z (2) ⇒ (3) ξ1, ξ2, · · · , ξn V "42 TKJE ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A, D A = (aij )n×n, E (ϕ(ξi), ξj ) = (a1iξ1 + a2iξ2 + · · · + aniξn, ξj ) = aji, (ξi , ϕ(ξj )) = (ξi , a1j ξ1 + a2j ξ2 + · · · + anj ξn, ξj ) = aij , 6 aij = aji(i, j = 1, 2, · · · , n), B A = AT . (3) ⇒ (2) ξ1, ξ2, · · · , ξn V "42 TKJ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A, rR AT = A. E (ϕ(ξi), ξj ) = (a1iξ1 + a2iξ2 + · · · + aniξn, ξj ) = aji, (ξi , ϕ(ξj )) = (ξi , a1j ξ1 + a2j ξ2 + · · · + anj ξn, ξj ) = aij , 6 (ϕ(ξi), ξj ) = (ξi , ϕ(ξj ))(i, j = 1, 2, · · · , n). (2) ⇒ (1) )> V " TKJ ξ1, ξ2, · · · , ξn, {x α, β ∈ V , α = a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, β = b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn, 6 (ϕ(α), β) = (a1ϕ(ξ1) + a2ϕ(ξ2) + · · · + anϕ(ξn), b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn) = Pn k=1 Pn l=1 akbl(ϕ(ξk), ξl) = Pn k=1 Pn l=1 akbl(ξk, ϕ(ξl)) = (a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, b1ϕ(ξ1) + b2ϕ(ξ2) + · · · + bnϕ(ξn)) = (α, ϕ(β)) . ✷ Lm"9R kU Dx&pXG"42 TKJ"u")>:)SI44 )9""lg)>?)SIDKJ'"" T* \a 8.3.3 A )IE A "JPy v > JP"J)aD R n R';K J j AX = λX, rR λ ∈ C, X = (x1, x2, · · · , xn) T 6= 0 ∈ C n. E AX = λX ! AX = λX, 6 X T AX = λXT X. d4.l XT A = λXT ! X T AX = λXT X. 5< λXT X = λXT X. 2
因为X≠0,所以XX>0.这样X=A即A∈R 设A,是A的两个不同特征值,X,Y分别是属于λ,p的特征向量,即AX=XX,AY=pY.这 AX Y=X AY=uX Y 而入≠,于是XTY=0,即(X,Y)=0 定理8.34设A是R上n阶对称矩阵则存在正交阵T,使得T-14T=TAT为对角阵,对角 线元素为A的特征值 证明对A的阶数n作数学归纳法,当n=1时,结论显然成立.假设结论对n-1阶的对称矩阵成 立.考虑n阶对称阵A.由定理8.3.3,知A必有实特征值λ1和相应的特征向量X1,将X1单位化还记 成X1,并将X1扩为的标准正交基X1,X2,…,Xn.则 A(X 0A1 令Q1=(X1,X2,……,Xn)则Q1为正交阵,且 又因为AT=A,所以 A1 10 故a=0,A1=A1.根据归纳假设,存在正交阵Q2,使得 Q22 A1Q2=diag(A2, .. An) 令Q=Q1(10 则Q为正交阵,且有 Q-AQ=diag(A1, A2, 定理8.3.3和定理33.4用线性变换的语言来说,就是下面的结论 )设φ是n维欧氏空间V的对称变换,则φ的特征值全为实数,且属于不同特征值的特征向量相 互正交 (2)设φ是n维欧氏空间V上的对称变换,则存在V的一个标准正交基,使得φ在这个基下的矩阵 是对角阵,且这组基恰为φ的n个线性无关的特征向量 例1求正交矩阵Q,使QAQ为对角阵,其中 解 detE-A)=-2x-54|=(x-1)(-10
8 X 6= 0, 6 XT X > 0. H1 λ = λ, B λ ∈ R. λ, µ A "`2 JP X, Y 0 > λ, µ "J)aB AX = λX, AY = µY . H 1 λXT Y = X T AY = µXT Y. + λ 6= µ, > XT Y = 0, B (X, Y ) = 0. ✷ \a 8.3.4 A R n N)SIEDKJI T , ! T −1AT = T TAT )KI)K &B A "JP j ) A "N n Y .7o, n = 1 Pg%z^EPg) n − 1 N")SI ^Vf n N)I A. ;&\ 8.3.3, M A "0ZÆR"l"Pg (1) ϕ n pXG V ")>E ϕ "JPy v > JP"J)a' ;KJ (2) ϕ n pXG V ")>ED V "42 TKJ! ϕ DH2""SI )KIvHWt ϕ " n 2&, 6"J)a b 1 wKJSI Q, QTAQ )KIrR A = 2 2 −2 2 5 −4 −2 −4 5 . ` det(λE − A) = λ − 2 −2 2 −2 λ − 5 4 2 4 λ − 5 = (λ − 1)2 (λ − 10), 3
因此A下特征值是A1=1,A2=1,A3=10. 向A=10,求解齐次线性学程组(10E-A)X=0,得到语础解系 51=( 向入=1,求解齐次线性学程组(E-A)X=0,得到语础解系(0,1,1)与(2,-1.0),正征有设再 单位有设得 52=(0 √n8√18√ 因此 0-(1实 则 1000 Q AQ 010 001 同例子组以看出有实向称阵A为向正有下学性时 (1)计算A下特征多项式det(AE-A),求出所有一设是在卫中实 (2)向每个不同下特征值λ,解线性学程组(AE-A)X=0,得到特征子空间下一个语逝行 Schmidt 正征有设单位有设得到特征子空间下一个标准正征语实 (3)阵不同特征子空间下标准正征语凑素R下标准正征语m1,72,…,m,令Q=(7, Q1AQ为向正矩阵设向正元素言别是向应于m1,2,…,7n下全数特征值A1,A2,…,A 我们用解个例子来值束本节 例2设A是3阶实向称矩阵设A下特征值为2,1,1.已知属于特征值2下特征向理X1=(1,1,0) 又向理X2=(1,-1,0)是属于特征值1下特征向理设求矩阵A 解由线定8.3.3知A有一个属于特征值1下特征向理与X1,X2相正征.设之为X3=(x1,x2,x3)2 得 1-x2=0 解得X3=(0,0,1).阵X1,X2,X3单位有设得 ,0),y3=(0 在
8 A "JP λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = 10. ) λ = 10, wQs&,.W (10E − A)X = 0, ! Q! ξ1 = (− 1 3 , − 2 3 , 2 3 ) T . ) λ = 1, wQs&,.W (E − A)X = 0, ! Q! (0, 1, 1)T ? (2, −1, 0)T , KJ γ1, γ2, · · · , γn "y JP λ1, λ2, · · · , λn. k:`2℄UZP O b 2 A 3 N)SI A "JP 2, 1, 1. 5M >JP 2 "J)a X1 = (1, 1, 0)T , =)a X2 = (1, −1, 0)T >JP 1 "J)awSI A. ` ;&\ 8.3.3 M A JP 1 "J)a? X1, X2 'KJN X3 = (x1, x2, x3) T , ! x1 + x2 = 0 x1 − x2 = 0 Q! X3 = (0, 0, 1)T . I X1, X2, X3 <! Y1 = ( 1 √ 2 , 1 √ 2 , 0)T , Y2 = ( 1 √ 2 , − 1 √ 2 , 0)T , Y3 = (0, 0, 1)T . D Q = (Y1, Y2, Y3) = √ 1 2 √ 1 2 0 √ 1 2 − √ 1 2 0 0 0 1 , 4
则 A=Q ∞(3:)(2,)(京 001 例3设三阶实对称阵A的各行元素之和为3,向量a1=(-1,2,-1),a2=(0,-1,1)2是线性方 程组AX=0的两个解 (1)求A的特征值和特征向量 (2)求正交矩阵Q和对角阵B,使得Q-1AQ=Q74Q=B; (3)求A和(A-是E)° 解(1)因为向量a1=(-1,2,-1)2,a2=(0,-1,1)是线性方程组AX=0的两个线性无关的 解.所以A的属于特征值0的特征向量为k1a1+k2a2,其中k1,k2为不全为零的常数 因为A的各行元素之和为3,所以 所以A的属于特征值3的特征向量为ka3=k3(1,1,1)2,其中k3为非零常数; (2)对a1,a2做正交化,得到 B2 1,0,1) 单位化得到 (-1,2,-1)7,2=1 (-1,0,1),8=(1,1,1) 令Q=(1,72,3),则 000 Q AQ=Q AQ=B 000 003 (3)因为 A(a1,a2,a3)=(0,0,3a3) 111 A=00,3a3)(a1,a2,a3)-1=111 记P=(a1,a2,a3),则 000 A=P000|P 所以 P 0 00
E A = Q 2 1 1 Q T = √ 1 2 √ 1 2 0 √ 1 2 − √ 1 2 0 0 0 1 2 1 1 √ 1 2 √ 1 2 0 √ 1 2 − √ 1 2 0 0 0 1 . b 3 ~N)I A "3+BN: 3, )a α1 = (−1, 2, −1)T , α2 = (0, −1, 1)T &,. W AX = 0 "`2Q (1) w A "JP:J)a (2) wKJSI Q :)KI B, ! Q−1AQ = QT AQ = B; (3) w A : (A − 3 2E) 6 . ` (1) 8)a α1 = (−1, 2, −1)T , α2 = (0, −1, 1)T &,.W AX = 0 "`2&, 6" Q6 A " >JP 0 "J)a k1α1 + k2α2, rR k1, k2 y "Æ 8 A "3+BN: 3, 6 A 1 1 1 = 3 1 1 1 . 6 A " >JP 3 "J)a k3α3 = k3(1, 1, 1)T , rR k3 / Æ (2) ) α1, α2 XKJ<! β1 = α1 = (−1, 2, −1)T , β2 = 1 2 (−1, 0, 1)T . <! γ1 = 1 √ 6 (−1, 2, −1)T , γ2 = 1 √ 2 (−1, 0, 1)T , γ3 = 1 √ 3 (1, 1, 1)T . e Q = (γ1, γ2, γ3), E Q −1AQ = Q T AQ = B = 0 0 0 0 0 0 0 0 3 . (3) 8 A(α1, α2, α3) = (0, 0, 3α3). 6 A = (0, 0, 3α3)(α1, α2, α3) −1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . D P = (α1, α2, α3), E A = P 0 0 0 0 0 0 0 0 3 P −1 . 6 (A − 3 2 E) 6 = P −3 2 0 0 0 −3 2 0 0 0 3 2 6 P −1 = (3 2 ) 6E. 5
习题 1.求正交矩阵Q,使QAQ为对角阵,其中A为 0-23 324 24 2.已知A1=6,A2=A3=3是实对称阵的三个特征值.且对应于A2=A3的特征向量为 a2=(-1.0,1)2,a3=(1,-2,1),求A的对应于A1的特征向量及A 3.设φ是n维欧氏空间V上的对称变换,2=idv,且φ≠idv,p≠(-1)idv,则存在V的 个标准正交基,使得φ在此基下的矩阵为diag(1,……,1,-1,……,-1) 4.设A1,A2,……,An是7个有序实数, 入r(n)是A,A2,…,An的一个排列,则 ,An)正交相似于dag((1),(2), 5.设A,B是实对称阵.求证下列条件是等价的 (1)A正交相似于B (2)A和B有相同的特征多项式; (3)A和B有相同的特征值 6.设φ是n维欧氏空间V上的对称变换,U是φ-不变子空间,则U-也是-不变子空间
fe 1. wKJSI Q, QT AQ )KIrR A (1) A = 1 −2 0 −2 2 −2 0 −2 3 ; (2) A = 3 2 4 2 0 2 4 2 3 . 2. 5M λ1 = 6, λ2 = λ3 = 3 )I"~2JPv)9> λ2 = λ3 "J)a α2 = (−1, 0, 1)T , α3 = (1, −2, 1)T , w A ")9> λ1 "J)aA A. 3. ϕ n pXG V ")> ϕ 2 = idV , v ϕ 6= idV ,ϕ 6= (−1)idV , ED V "4 2 TKJ! ϕ D""SI diag(1, · · · , 1, −1, · · · , −1). 4. λ1, λ2, · · · , λn n 2 diag(λσ(1), λσ(2), · · · , λσ(n)). 5. A, B )IwL"bH#F" (1) A KJ'> B; (2) A : B U ϕ− UXGE U ⊥ 3 ϕ− UXG 6