厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第7章 相似标准型 §7.5 Jordan标准形（2012春季）

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第七章相似标准形 375 Jordan标准形 本节仅在C上讨论.因为多项式在复数域上总可以分解成为一次多项式的乘积.所以C上n阶方阵 A的初等因子形如(A-0)°,J(A-0)°)形为 1A0 J((-A0)°) 易见,J(A-)°)的行列式因子为 1,1,……,1(e-1个1),(A-A0)° 不变因子为 1,1,……,1(e-1个1),d1()=(A-A0)° 初等因子组为 (A-A0)° 我们称J((-A0)°)为属于λ0的e阶 Jordan块简记为J(λ,e).易见, ∫(oe)=mm(Aoe)=(X-o) 下面定理是本节的主结论,它由定理7.4.3直接得到 定理75.1设A是C上的矩阵且A的初等因子组为 (入-A1)°2,(入-A2)°2,…,(A 则A相似于分块对角阵 J(A1,e1) J(A2,e2) J(Ak, ek) 我们称为A的 Jordan矩阵,或称A的 ordan标准形 因为A的初等因子组是唯一确定的,所以在不考虑 jordan块的排列次序前提下,A的 jordan标准 形是唯一确定的.同时我们看到, ordan标准形和初等因子组互相唯一确定

pG{^5 h IP  59.77.1.116; K gdjpkc.xmu.edu.cn *+/ -,)0. §7.5 Jordan )0. 8; C WbF
jtZ ^W?:j}tZ,
` C W n 7 A ÆvU (λ − λ0) e , J((λ − λ0) e ) vj J((λ − λ0) e ) =   λ0 1 λ0 . . . . . . 1 λ0   , ￾2￾ J((λ − λ0) e ) wDZj 1, 1, · · · , 1(e − 1 1),(λ − λ0) e , j 1, 1, · · · , 1(e − 1 1), d1(λ) = (λ − λ0) e , Æj (λ − λ0) e . lH J((λ − λ0) e ) j\ λ0  e 7 Jordan , 1.j J(λ0, e). ￾2￾ fJ(λ0,e) = mJ(λ0,e) = (λ − λ0) e . oJB[89F￾aB 7.4.3 6
 7.5.1 X A [ C WE Jordan ANDzPdo￾ A  Jordan  v[i}T
gYlH=￾ Jordan v&Æ'si}T
1

例1上节例4中,A在C上初等因子组为 (A-2)2、(X+√2),(A-V2i),(-2)2,(X+√2)2,(A-V2)2 所以A的 Jordan标准形为 J(2,2)0 0J(2,2) J O 0000 0 J(√2i,1) J(√zi,2) 2 0 在同构的意义下,我们有 定理75.2设φ是C上n维线性空间v上的线性变换,则必存在V的一个基,φ在这个基下的矩 为 Jordan阵 现在考虑矩阵A的特征多项式和极小多项式与 ordan矩阵的关系 定理75.3设C上的n阶方阵A的不同特征值为A1,A2,……,A fA(A)=Dn(从)=91()92(X)…9n(A), 且等于A的所有初等因子组的乘积记 f4(A)=(A-A1)(A-A2)2…(A-A)2 则n;为所有特征值为A的 jordan块的阶数之和,等于初等因子组中(λ-A)的次幂之和 (2) mA(=9n() 且等于A的初等因子组中含不同的(A-A)方幂项中次幂最高项之积.记 mA()=(A-A1)1(A-A2)°2…(入-A)°, 则s1为所有特征值为λ的 Jordan块的最大的阶数,等于初等因子组中(A-A)的最高次幂项的次数 推论751设A是C上的n阶方阵,则下面叙述是等价的 (1)A相似于对角阵;

! 1 W8C 4 ￾ A C WÆj (λ − 2)2 ,(λ + √ 2i),(λ − √ 2i),(λ − 2)2 ,(λ + √ 2i) 2 ,(λ − √ 2i) 2 . ` A  Jordan vj J =   J(2, 2) 0 0 0 0 0 0 J(2, 2) 0 0 0 0 0 0 J(− √ 2i, 1) 0 0 0 0 0 0 J( √ 2i, 1) 0 0 0 0 0 0 J(− √ 2i, 2) 0 0 0 0 0 0 J( √ 2i, 2)   =   2 1 2 2 1 2 − √ 2i √ 2i − √ 2i 0 1 − √ 2i √ 2i 0 1 √ 2i   . g#
o￾lH  7.5.2 X ϕ [ C W n krx0 V Wrx)￾  V } +￾ ϕ  +oE< A  ÆtZ&-utZ Jordan < $n
 7.5.3 X C W n 7 A  g Æj λ1, λ2, · · · , λt, (1) fA(λ) = Dn(λ) = g1(λ)g2(λ)· · · gn(λ), Q A `Æ,
. fA(λ) = (λ − λ1) n1 (λ − λ2) n2 · · ·(λ − λt) nt , ni j` Æj λi  Jordan A7^&￾Æ (λ − λi) I&
(2) mA(λ) = gn(λ), Q A Æ% g (λ − λi) ItIt,
. mA(λ) = (λ − λ1) s1 (λ − λ2) s2 · · ·(λ − λt) st , si j` Æj λi  Jordan A7^￾Æ (λ − λi) It^
$" 7.5.1 X A [ C W n 7 ￾ oJy℄[/
(1) A s_4 2

(2)A的初等因子全是一次的 (3)mA(入)无重根 推论75.2设A是C上的n阶方阵,则下列命题等价 (1)A相似于CE; (2)mA(入)为次多项式; (3)A的初等因子全是一次且相同 习题 1.已知矩阵A的初等因子组如下,求矩阵A的 Jordan标准形 (1)(A+1)2,(A-2),(A-2)3 (2)(X+v22,(X+1),(+1)2,(X+1) 2.求下列矩阵的 Jordan标准形 -440 3.求下列矩阵的行列式因子,不变因子,初等因子组和 Jordan标准形 308 1-12 3-36 4.设C上三阶方阵 200 (1)求出A所有可能的 Jordan标准形; (2)给出A可对角化的充分必要条件 5.求矩阵 a00 0 0 aaa aaa 的 Jordan标准形,其中a≠

(2) A ÆS[} (3) mA(λ) m"
$" 7.5.2 X A [ C W n 7 ￾ oDLe/ (1) A s_ cE; (2) mA(λ) j}tZ (3) A ÆS[}Qsg
%# 1. ~< A ÆUo￾R< A  Jordan v
(1) (λ + 1)2 ,(λ − 2),(λ − 2)3 ; (2) (λ + √ 2)2 ,(λ + 1),(λ + 1)2 ,(λ + 1)3 . 2. RoD<  Jordan v
  0 1 0 −4 4 0 −2 1 2   ,   4 5 −2 −2 −2 1 −6 −1 1   3. RoD< wDZ￾ ￾Æ& Jordan v
  3 0 8 3 −1 6 −2 0 −5   ,   1 −1 2 3 −3 6 2 −2 4   4. X C WV7   2 0 0 a 2 0 b c 1   . (1) R A `?M Jordan v (2) ! A ?4( |f3
5. R<   a 0 0 · · · 0 a a 0 · · · 0 a a a · · · 0 . . . . . . . . . . . . a a a · · · a    Jordan v￾O a 6= 0. 3