厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 75初等因子 教学目的与要求:掌握矩阵的初等因子组的定义;熟练掌握初等因子组与不 变因子组的关系;熟练掌握初等因子组是矩阵相似的全系不变量;掌握初等因子 组的计算 初等因子组 设d1(入),d2(入),……,d4(入)是数域K上矩阵A的非常数不变因子,在K上把 d4(入)分解为不可约因子之积 d1()=m1()2()…p2(A d2()=n12(A22()…p2(入) dk(入)=n1*(入)p22()……p2( 其中p2(入)是首一的两两互素的不可约多项式,是非负整数,且0≤e1;≤e2≤ 定义1若上面分解式中的e>0,则称()为A的一个初等因子,A的 全体初等因子称为A的初等因子组 例1设9阶有理数域上的矩阵A的不变因子组为 1,…,1,(X1-1)(x2+1),(A-1)2(2+1)(x2-2 试分别从有理数域,实数域和复数域上求A的初等因子组. 解在有理数域上的初等因子组为A1-1,2+1,(X-1)2,A2+1,2-2; 在实数域上初等因子组为A1-1,(-12,+√2,A-√2,2+1,A2+1; 在复数域上初等因子组为A1-1,(-1)2,A+√2,入-√2,A+,A-,A+i,A-i 入o1 例2r阶矩阵J 的初等因子为(-0)7 证明J的行列式因子为1,……,1,(A-0),从而d()=(A-0),所以J 的初等因子为(X-0)y.口
j +-uG\I$%6WY$-5aG%6WY> 6WY$BaG%6WY\I! $v G%6W Y$L 0%6WY } d1(λ), d2(λ), · · · , dk(λ) ? K |\I A $7 6WC K | di(λ) 8X_B6WNJ d1(λ) = p e11 1 (λ)p e12 2 (λ)· · · p e1t t (λ) d2(λ) = p e21 1 (λ)p e22 2 (λ)· · · p e2t t (λ) · · · dk(λ) = p ek1 1 (λ)p ek2 2 (λ)· · · p ekt t (λ) rT pi(λ) 0$bbG $_B1"eij 7:Kt 0 ≤ e1j ≤ e2j ≤ · · · ≤ ekj , 1 ≤ j ≤ t. \ 1 z|m8XT$ eij > 0, D p eij j (λ) A $0=%6W A $ v%6W A $%6WY _ 1 } 9 W:`?|$\I A $ 6WY 1, · · · , 1,(λ1 − 1)(λ 2 + 1),(λ − 1)2 (λ 2 + 1)(λ 2 − 2), 8 :`??E9?|u A $%6WY ℄ C:`?|$%6WY λ1 − 1, λ2 + 1,(λ − 1)2 , λ2 + 1, λ2 − 2; C?|%6WY λ1 − 1,(λ − 1)2 , λ + √ 2, λ − √ 2, λ2 + 1, λ2 + 1; C9?|%6WY λ1−1,(λ−1)2 , λ+ √ 2, λ− √ 2, λ+i, λ−i, λ+i, λ−i. _ 2 r W\I Jλ0 = λ0 1 λ0 · · · · · · 1 λ0 $%6W (λ − λ0) r . e` Jλ0 $'d6W 1, · · · , 1 | {z } ,(λ − λ0) r , 2 dr(λ) = (λ − λ0) r , 3 Jλ0 $%6W (λ − λ0) r . 2 1
不变因子组与初等因子组互相唯一确定 命题1数字矩阵的初等因子组被其不变因子组唯一确定,反之亦然 证明必要性.由因式分解唯一性,即得. 充分性对给定的初等因子组P(),适当增加些1表示为P(),e=0 则可将这组初等因子按降幂排列如下: p2(入),p1=1(),……,p21(入),ck1≥ek-n1≥…≥e (),ek≥ek-12≥ 令 dk(入)=n11()p22()…p2(入), dk-1(入)=p1-1()2-12()…p2-12(), d1()=p21(A)p2()…p2(0) 则d4()2+1(入),1≤i≤k 因为|-A的第n个行列式因子为首一n次多项式,故A的不变因子为 1,…,1,d1(),d2(入),…,dk(入),其中1的个数为n-k,由不变因子的唯一性即知 由初等因子可唯一地确定A的不变因子 例3设A是一个12阶矩阵,初等因子组为 (X-1)2,(X-1)2,(X-1)2,(X+1),(X+1),(X-2,(X+12, 则A的不变因子组为 1,1,……,1,(9个1),(X-1)2,(X-1)2(A+1),(A-1)2(X+1)(A2+1) 定理1数域K上的两个矩阵A与B相似的充分必要条件是它们由相同的初 等因子组,即矩阵的初等因子组是矩阵相似关系的完全不变量. 三.初等因子组的计算(以下在复数域上考虑) 初等因子的计算有更方便的方法 引理1若(f(x),9(x)=1,且h(x川f(x),则(h(x),9(x)=1
3 6WY>%6WYG!0wab 1 X\I$%6WY r 6WY0w-5N4x e` -(968X0(K# 8(0>-$%6WY P eij j (λ), !EN0# 1(Æ P eij j (λ),eij = 0), D_RHY%6WSlqdy p ek1 1 (λ), p ek−1,1 1 (λ), · · · , p e11 1 (λ), ek1 ≥ ek−11 ≥ · · · ≥ e11 p ek2 2 (λ), p ek−1,2 2 (λ), · · · , pe12 2 (λ), ek2 ≥ ek−12 ≥ · · · ≥ e12 · · · · · · p ekt t (λ), p ek−1,t t (λ), · · · , p e1t t (λ), ekt ≥ ek−1t ≥ · · · ≥ e1t f dk(λ) = p ek1 1 (λ)p ek2 2 (λ)· · · p ekt t (λ), dk−1(λ) = p ek−1,1 1 (λ)p ek−1,2 2 (λ)· · · p ek−1,t t (λ), · · · d1(λ) = p e11 1 (λ)p e12 2 (λ)· · · p e1t t (λ), D di(λ)|di+1(λ), 1 ≤ i ≤ k − 1. 6 |λI − A| $* n ='d6W0 n 1"A A $ 6W 1, · · · , 1, d1(λ), d2(λ), · · · , dk(λ), rT 1 $= n − k, 9 6W$0(KM 9%6W_0(w- A $ 6W 2 _ 3 } A 0= 12 W\I%6WY (λ − 1)2 ,(λ − 1)2 ,(λ − 1)2 ,(λ + 1),(λ + 1),(λ − i) 2 ,(λ + i) 2 , D A $ 6WY 1, 1, · · ·, 1,(9 = 1),(λ − 1)2 ,(λ − 1)2 (λ + 1),(λ − 1)2 (λ + 1)(λ 2 + 1)2 . \^ 1 ? K |$b=\I A > B ! $8 -QÆk9!$ %6WYK\I$%6WY\I! B$v {%6WY$L (3C9?|^g) %6W$L :6 $64 d^ 1 z (f(x), g(x)) = 1, t h(x)|f(x), D (h(x), g(x)) = 1. 2
证理∫(x)u(x)+9(x)v(x)=1,f(x)=h(x)l(x),h(x)(l(x)(x)+9(x)(x)=1 列考2如在多项,f1(X),f2()都给91(),92(入)互便,即(f1,91)=(f1,g2) (f2,g1)=(f2,g2)=1,则 (f1(入)9(入),f2(入)g2(入)=(f1(入),f2(A)(91(),92() 证理令(1(9(入),f2(A)92()=d(入),(f1(入),2()=d1(x),(91(),2(入)= d2(),则d1(川)f1(入),所二d1(1(A91(入).常明d1(2()92().故d1(入)d(入 常明d2(入)d(入) 方为(f1,9)=1,所二f(()+9((A)=1,f1()=d1()h(入).91() d2(从)k(入),所二d1(入)(h(入)()+d2(入)(k(入)v()=1,故(d1(),d2()=1,组对 步负d1(入d2(入)d(入) 又方为d(川(λ91(),复多项,的标教分字.,例令d()=f())9(),其中 ∫()f(入),g(λ)g1(入).域据(1(),91()=1,复非明知(f(),g()=1 方为(1(A),92()=1,复非明知(f(入),92()=1.方为d(A川J/2(A)9g2(入 复f(入川Jf2(入)g2(入)些f(入川2(入).从而f(入)d1(入).常明g(入)d2(入).又方为 f(入),9(A)=1,所二d(入从)d1(d2(入).高:d(入)=d1(入)d2(A).口 列考3设 A(入) f1()91(入) (A2(x),B( f2()91(入) 0 0 f1()92(入) 如在多项.f1(入),f2(A)都给91(),92()互便,则A(入),B(当行式 证理从然A(入),B(入)负当常些以子行引.方阶,而A(入),B(入)的对子行引 方阶分别为 d()=(f1(91(入),f2(92(入 d()=(2()91(),f1(入)g2(入 复上面的别论知,d(入),d(都等高d1(A)d2(入).方而A4()给B(入)也复当常的对 子行引.方阶,所二A()增B(入)等价式口
e` f(x)u(x)+g(x)v(x) = 1, f(x) = h(x)l(x), h(x)(l(x)u(x))+g(x)v(x) = 1. 2 d^ 2 yC1" f1(λ), f2(λ) /> g1(λ), g2(λ) G K (f1, g1) = (f1, g2) = (f2, g1) = (f2, g2) = 1, D (f1(λ)g1(λ), f2(λ)g2(λ)) = (f1(λ), f2(λ))(g1(λ), g2(λ)). e` f (f1(λ)g1(λ), f2(λ)g2(λ)) = d(λ), (f1(λ), f2(λ)) = d1(λ), (g1(λ), g2(λ)) = d2(λ), D d1(λ)|f1(λ), 3 d1(λ)|f1(λ)g1(λ). ` d1(λ)|f2(λ)g2(λ). A d1(λ)|d(λ). ` d2(λ)|d(λ). 6 (f1, g1) = 1, 3 f1(λ)u(λ) + g1(λ)v(λ) = 1,f1(λ) = d1(λ)h(λ). g1(λ) = d2(λ)k(λ), 3 d1(λ)(h(λ)u(λ))+d2(λ)(k(λ)v(λ)) = 1, A (d1(λ), d2(λ)) = 1, Y0 : d1(λ)d2(λ)|d(λ). ;6 d(λ)|f1(λ)g1(λ), 91"$ V8X_f d(λ) = f(λ)g(λ), rT f(λ)|f1(λ), g(λ)|g1(λ). ?℄ (f1(λ), g1(λ)) = 1, 97`M (f(λ), g(λ)) = 1. 6 (f1(λ), g2(λ)) = 1, 97`M (f(λ), g2(λ)) = 1. 6 d(λ)|f2(λ)g2(λ), 9 f(λ)|f2(λ)g2(λ) # f(λ)|f2(λ). 2 f(λ)|d1(λ). ` g(λ)|d2(λ). ;6 f(λ), g(λ) = 1, 3 d(λ)|d1(λ)d2(λ). g1(λ), g2(λ) G D A(λ), B(λ) !' e` x A(λ), B(λ) :!#3W'd6W2 A(λ), B(λ) $0W'd 6W8 d(λ) = (f1(λ)g1(λ), f2(λ)g2(λ) E de(λ) = (f2(λ)g1(λ), f1(λ)g2(λ) 9|m$hM d(λ), de(λ) /% B(λ) .9!$0 W'd6W 3 A(λ) E B(λ) %O 2 3
定理2首先用初等变换化特征矩阵A-A为对角形式,然后将主对角线上的 元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,则所有这些一次因式的方幂(相同的 按出现的次数计算)就是A的全部初等因子 证明设M-A已用初等变换化为对角型 h1(入) ha1(入) D(入)= han(入) 其中每个h(x)的最高项系数都为1,将h2(x)分解成互不相同的一次因式方幂的 乘积 ha(x)=(A-A1)21(A-A2)2…(A-A),1≤i≤m, 要证明的是,对于每个相同的一次因式的方幂(X-入)23,(-)=3,…,(-)), 1≤j≤n在D(的主对角线上按递升幂次排列后,得到的新对角矩阵D(入)与 D(入)等价.此时D(就是-A的标准型且所有不为1的(X-与)就是A 的所有初等因子 为方便起见,先对入-A1的方幂进行讨论,令 91(入)=(A-入2)(A-A3)23…(A-A)tt=1,2,…,n 于是h1()=(X-A1)9(),1≤i≤n,而且每个(A-A1)2都与9(入)( 1,2,…,m)互素.如果由相邻的一对指数e>ei+1,则在D(中将(A-A1)21 与(λ-λ)+1对调位置,而其余因式保持不动,根据引理 (A-入1)g:(入 0 A-A1)2+119+1(入) 与 (入-A1)“+19(入) (A-A1)=92+1() 价,从而D(入)与对角阵
\^ 2 8% IHJ\I λI − A 0T&xFRU0T |$ A 8XG!$0 66l$JD :H#0 6$6l (!$ $ L ) [ A $v%6W e` } λI − A 28% IH0T% D(λ) = h1(λ) h1(λ) . . . hn(λ) rTi= hi(x) $Z;"/ 1, R hi(x) 8XG!$0 66l$ J hi(x) = (λ − λ1) ei1 (λ − λ2) ei2 · · ·(λ − λt) eit , 1 ≤ i ≤ n, -Ln$0 D(λ) %O De(λ) [ λI − A $ V%t : 1 $ (λ − λj ) eij [ A $ :%6W 6 sP 0 λ − λ1 $6lY'hf gi(λ) = (λ − λ2) ei2 (λ − λ3) ei3 · · ·(λ − λt) eit i = 1, 2, · · · , n. gj (λ) (j = 1, 2, · · · , n) G yC9!e$00Q ei1 > ei+11, DC D(λ) TR (λ − λ1) ei1 > (λ − λ1) ei+11 0,S2r=6.?℄7` (λ − λ1) ei1 gi(λ) 0 0 (λ − λ1) ei+11 gi+1(λ) > (λ − λ1) ei+11 gi(λ) 0 0 (λ − λ1) ei1 gi+1(λ) %O 2 D(λ) >0TI 4
D1(入) (A-入1)191(入) (λ-入1)+19:(入) (A-入1)g2+1() A-A1)=n9n(入) 等价,然后对D1作如上的讨论,如此继续进行,直到对角阵主对角线上元素所含 (A-A1)的方幂是按递升排列为止,依次对(A-A2),…,(入-A)作同样处理,最 后便得到与D(入)等价的对角矩阵D(),它的主对角线上所含每个相同的一次因 式的方幂都是按升幂次排列的.口 (A-1)2(+2) 例4设-A经初等变换后为 (入+2) 则其初等因子为(-1),(+2),(X+2),(A-1)2.口 作业:P2481.(1)2.(2)
D1(λ) = (λ − λ1) e11g1(λ) . . . (λ − λ1) ei+11 gi(λ) (λ − λ1) ei1 gi+1(λ) . . . (λ − λ1) en1 gn(λ) %OxF0 D1 [y|$hy M)Y'O"0TIU0T |A D (λ − λ1) $6l+~qdR1 0 (λ − λ2), · · · ,(λ − λt) [,`Z F #"> D(λ) %O$0T\I De(λ), Æ$U0T | Di=!$0 6 $6l/~l qd$ 2 _ 4 } λI −A Z% IF 1 (λ − 1)2 (λ + 2) (λ + 2) 1 (λ − 1) , Dr%6W (λ − 1),(λ + 2),(λ + 2),(λ − 1)2 . 2 [/ P248 1. (1) 2. (2) 5