厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第八章欧氏空间 本章讨论R上带有度量性质的线性空间:欧氏空间.§8.1介绍内积的概念,从而定义向量的长度和夹 角,以及单位向量和向量的正交,§8.2讨论欧氏空间的标准正交基,正交阵的性质和 Schmidt正交化方 法.对称变换和对称矩阵的性质在§83讨论,主结论是每个实对称矩阵都正交相似于对角阵.§8.4讨论正 交变换和正交矩阵,特别地,给出正交矩阵在正交相似下的标准形 §8.1欧氏空间,长度,夹角 本章讨论仅限于实数域武.第三章讨论的线性空间中向量有加法和数乘两种运算,但缺少许多度量性 质,如长度,夹角等.而度量性质在许多问题有特殊的意义所以,有必要引入度量的概念.从R3中我们 看到,度量性质可以通过向量的内积表示.将此抽象后,我们引进内积的概念 定义81.1设V是实数域R上的线性空间,映射(-,-):V×V→R称为内积如果对于任意的 a,B,Y∈V,c∈R,都有 (1)交换律:(a,B)=(8,a) (2)内积与加法的协调:(a+B,)=(a,0)+(,); (3)内积与数乘的协调:(ca,B)=c(a,B) 4)非负性:(a,a)≥0且等号成立的充要条件是a=0. 同时称V为关于内积(-,-)的 Euclid空间简称欧氏空间 显然,解析几何中向量的内积满足定义中的性质,所以构成欧氏空间.一般地,有 例1在实数城上的n维列向量空间Rn中,对于X=(a1,a2,…,an)2,Y=(b1,b2,…,bn)∈R 定义 (X, Y=XY=a1b1+a2b2+.+anbn 易见,(-,-)是一个内积.Rn关于以上定义的内积构成欧氏空间 例2在实数城上的n维列向量空间R中对于X=(a1,a2,…,an)2,Y=(b1,b2,…,bn)r∈Rn, X,Y)=a161+2a2b2 +.+nanb 易见,Rn关于以上定义的内积也构成欧氏空间 对同一个线性空间,关于不同的内积构成不同的欧氏空间.因此,欧氏空间的定义与内积的选取紧密相 关.所以,欧氏空间也称为内积空间.今后如无特别说明,欧氏空间R总指关于例1中的内积构成的欧氏 例3设Ca,b是R的闭区间l,b上连续函数全体构成的线性空间.对于∫(x),g(x)∈Ca,可,定 (f(a),g(a))=/f(a)g(r)dr 利用积分性质不难验证,这定义了一个内积.Cla,b在此内积下成为欧氏空间
=} K6% 'Y 4e IP &m 59.77.1.116; ` gdjpkc.xmu.edu.cn ( &'%# f-y R Z+sGp$GjR$jR §8.1 ℄J$5.)TBs$+P XQK 7BsBs$iW §8.2 -y$jR$ uiWIiWh$Gp Schimidt iWE1 0, G, h$Gp §8.3 -yt[y#|7 , h*iWA)℄,Xh §8.4 -yi W GiW h.&8iW h iWA)\;MAqBs$Jzy)Tq$Gp+Q9$jRP&Z Æ 1 '`$ n 6uBsjR R n q,℄ X = (a1, a2, · · · , an) T , Y = (b1, b2, · · · , bn) T ∈ R n, )T (X, Y ) = X T Y = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn. RT (−, −) #P7J R n ;℄Q)T$J9$jR Æ 2 '`$ n 6uBsjR R n q,℄ X = (a1, a2, · · · , an) T , Y = (b1, b2, · · · , bn) T ∈ R n, )T (X, Y ) = a1b1 + 2a2b2 + · · · + nanbn RT R n ;℄Q)T$JO9$jR ,3P7GjR;℄3$J93$$jRU$jR$)T_J$J_A ;+Q$jRO5JjR^D:.($jR R n xn;℄o 1 q$J9$$ jR Æ 3 C[a, b] # R $ ÆR [a, b] qI>'09$GjR,℄ f(x), g(x) ∈ C[a, b], ) T (f(x), g(x)) = Z b a f(x)g(x)dx. nXJ3GpLjg)TtP7J C[a, b] J<5$jR 1
下面讨论欧氏空间的基本性质 设V是关于内积(-,-)的欧氏空间则对于任意的a,a,B;∈V,C,a,b∈R(i=1,2,…,m;j 1,2,…,n),总有 (1)(0,a)=0.事实上,因为(0,a)=(0+0,a)=(0,a)+(0,a),所以(0,a)=0. 利用内积定义得到 (2)(a,B+7)=(a,B)+(a,7); (3)(a,c3)=c(a,B) ∑=1b;3)=∑:=1∑=1ab(a,月) 定义8.112设V是欧氏空间,a∈V.定义a的长度(或范数)为ya,a),记为la 因为内积的条件(4,(a,a)≥0,所以√a,a)有意义显然,只有零向量的长度为0,其余向量的长 度为正数.长度还满足 lca=cloak 其中a∈V,c∈R.事实上,leal=y(a,)=√a2(a,a)=|l 长度为1的向量称为单位向量对于任意非零向量a,易知是单位向量.从a得到单位向量曲 的过程,称为把a单位化 在欧氏空间R”中,向量X=(a1,a2,…,an)的长度是 (x, 下面介绍重要的不等式,它保证了向量夹角定义的合理性 定理81.1( Cauchy- Schwarz不等式)设V是欧氏空间,对于任意的a,B∈V,总有 (a,B)2≤(a,a)(B,B) 当且仅当a,B线性相关时,等号成立 证明若a=0,则左右两式均等零,则不等式的等号成立 若a≠0,考虑向量B-ta,有 0<(B-to, B-to)=(B, B)-2t(a, B)++2(a, a) 视上式为关于t的一元二次不等式,则判别式一定小于或等于零,即22(a,B)2-4(a,a)(B,B)≤0.故 (a,B)2≤(a,a)(8,B) 显然,当且仅当a=0或B-ta=0时等式成立.即当且仅当a,B线性相关时,等号成 在例1和例3的欧氏空间来看, Cauchy- Schwarz不等式就是下面例4和例5 例4对于任意的实数a,b1(i=1,2,……,n),总有 (a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a1+a2+…+a2)6+l+…+b)
oZvBs$+5 0, ^Bs$ +5i'+Fzy |cα| = |c||α|, q α ∈ V , c ∈ R. " |cα| = p (cα, cα) = p c 2(α, α) = |c||α|. +5 1 $Bs5 . ,℄S2vBs α, Rk α |α| # 7Bs α #" 7Bs α |α| $=5 α. $jR R n qBs X = (a1, a2, · · · , an) T $+# p (X, X) = q a 2 1 + a 2 2 + · · · + a 2 n. ! `! α = 0 H β − tα = 0 % pL! `! α, β GA; %?p ✷ o 1 o 3 $$jRkg Cauchy-Schwarz % b#<o 4 o 5. Æ 4 ,℄S$ ' ai , bi(i = 1, 2, · · · , n), xZ (a1b1 + a2b2 + · · · + anbn) 2 ≤ (a 2 1 + a 2 2 + · · · + a 2 n)(b 2 1 + b 2 2 + · · · + b 2 n). 2
例5对于f(x),g(x)∈C[a,b,总有 f(z)g(z)dx)2</f(=)2dr/g(z)2dr 因为|a,≤同l,所以-1≤≤1.故下面对于两个向量的夹角的定义是合理的 定义8.1.3在欧氏空间V中,定义非零向量a,B的夹角由以下式子决定 这样,欧氏空间的任意两个非零向量都有夹角6(0≤6≤m).当两个向量的夹角为时,很自然地称 它们是正交的.为了方便起见,定义零向量与任意向量都正交.这样我们可以用内积来定义向量的正交 定义8.1.4在欧氏空间V中,两个向量a,B称为正交,记为a⊥B,如果 有零向量和自已正交.在卫中,E1,2,…,En两两正交 在欧氏空间V中,如果a与a;正交(i=1,2,……,m),则对于a1,a2,…,am的线性组合a1a1+ 有(a 所以a与a1,a2,…,am的任意线性组合都正交 例6在R4中,求一单位向量与a1=(1,1,-1,1)2,a2=(1,-1,-1,1)2,a3=(2,1,1,3)均 正交 解设B=(x1,x2,x3,x4)与a1,a2,a3正交,则有 +x2-x3+x4=0 2r1+x2+x3+3x4=0 解之,得到 0 x1+x2+x3+x2=1 解之,得到 时, 当 时 0, 所以 B=±(-点,0
Æ 5 ,℄ f(x), g(x) ∈ C[a, b], xZ ( Z b a f(x)g(x)dx) 2 ≤ Z b a f(x) 2 dx Z b a g(x) 2 dx. U5 |(α, β)| ≤ |α||β|, +Q −1 ≤ (α,β) |α||β| ≤ 1. :<,℄r7Bs$PX$)T#Bm$ 8.1.3 $jR V q)T2vBs α, β $ θ YQ< ve) cosθ = (α, β) |α||β| , 0 ≤ θ ≤ π. gM$jR$Sr72vBs*ZPX θ(0 ≤ θ ≤ π). !r7Bs$PX5 π 2 Cw& ,~#iW$5t1 T)TvBs_SBs*iWgM9~iQXJk)TBs$iW 8.1.4 $jR V qr7Bs α, β 5 , O5 α ⊥ β, < (α, β) = 0. oZvBswNiW R n q ε1,ε2, · · ·, εn rriW $jR V q< α _ αi iW (i = 1, 2, · · · , m), d,℄ α1, α2, · · · , αm $GzB a1α1 + a2α2+· · ·+amαm, Z (α, a1α1+a2α2+· · ·+amαm) = a1(α, α1)+a2(α, α2)+· · ·+am(α, αm) = 0. +Q α _ α1, α2, · · · , αm $SGzB*iW Æ 6 R 4 q P 7Bs_ α1 = (1, 1, −1, 1)T , α2 = (1, −1, −1, 1)T , α3 = (2, 1, 1, 3)T f iW β = (x1, x2, x3, x4) T _ α1, α2, α3 iWdZ x1 + x2 − x3 + x4 = 0 x1 − x2 − x3 + x4 = 0 2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 0 \l#" x1 = − 4 3 x4, x2 = 0, x3 = − 1 3 x4. \ x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 = 1. \l#" x4 = ± √ 3 26 . ! x4 = √ 3 26 x1 = − 4 √ 26 , x2 = 0 x3 = − 1 √ 26 ; ! x4 = − √ 3 26 x1 = 4 √ 26 , x2 = 0, x3 = 1 √ 26 . +Q β = ±( −4 √ 26 , 0, − 1 √ 26 , 3 √ 26 ) T . 3
最后,设U间角间V的子空间,则易见U关于V的内积也构成间角空间,称为然如时且欧 上题 1.设A向n阶间积八矩阵,定义映射(-,-):Rn×Rn→R氏下:(a,B)= aA AB.求 (-,-)亩一个内积,因而R对于(-,-)构成一个间角空间 2.求证:对于间角间V中的任意向量a,B,有 (1)|a+B2+|a-B2=2|a2+212; (2)(a,B)=a+2-H-2 (3)(三角不等第a+B≤la|+|6l 3.在R4中,求a,B的夹角 (1)a=(2,1,3,2),B=(1,2,-2,1); (2)a=(1,1,1,1),B=(0,1,0.0) 4.在间角间V中,定义两个向量a,B的距离为a-,求证 (1)当a≠B时,a-B>0 β 1B-a (3)la ≤|a-?+|- 5.在R4中,求与向量B=(1,-1,-1,1),7=(2,1,1,3)正交的所有向量 6.设1,2,…,n间n维间角间V的一个基,证定 (1)氏果a∈V长(a,i)=0i=1,2,…,n),那么a=0 2)氏果a1,a2∈V长(a1,)=(a2,)i=1,2,…,n),那么a1=a2
{D U #$jR V $vjRdRT U ;℄ V $JO9$jR5 . 1. A # n Z#i h)TW (−, −) : R n × R n → R 0; (2) |α − β| = |β − α|; (3) |α − β| ≤ |α − γ| + |γ − β|. 5. R 4 q _Bs β = (1, −1, −1, 1), γ = (2, 1, 1, 3) iW$+ZBs 6. ξ1, ξ2, · · · , ξn # n 6$jR V $P7Ij (1) < α ∈ V # (α, ξi) = 0(i = 1, 2, · · · , n), { α = 0; (2) < α1, α2 ∈ V # (α1, ξi) = (α2, ξi)(i = 1, 2, · · · , n), { α1 = α2. 4