厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第7章 相似标准型 §7.4 初等因子组、广义Jordan标准形（2012春季）

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu.edu. cn 第七章相似标准形 87.4初等因子组,广义 Jordan标准形 将n阶λ-方阵A()的不变因子d1(入),d2(),…,dm(从)在F上分解为不可约因式之积 d1()=p11(212()…p2() d2(从=p21(p2()…p2(A dm()=p1m1(入)p2m2()…pm2() 其中p1(入)是首一的两两互素的不可约多项式,i是非负整数,(0≤e1;≤e2;≤ 定义74.1若上面分解式中的e>0,则称P1()°为A(的一个初等因子,4(入)的全体初等因 子称为A(入)的初等因子组将n阶数字矩阵A的特征矩阵AE-A的初等因子称为A的初等因子,将 AE-A的初等因子组称为A的初等因子组 例1设9阶有理数域上的矩阵A的不变因子为 1,…,1,(X-1)(x2+1),(A-1)2(x2+1)(x2-2) 试分别写出A在Q,R,C上的初等因子组 解在Q上的初等因子组为入-1,12+1,(-1)2,2+1,A2-2; 在R上初等因子组为A-1,(A-1)2,A+V2,A-√2,2+1,A2+1 在C上初等因子组为A-1,(X-1)2,X+√2,A-√2,A+i,A-i,A+i,A-i 由定义,λ一矩阵的初等因子组由其不变因子唯一确定,反之,有 定理74.1A-矩阵A()的不变因子由其初等因子组和秩r(4(入)唯一确定 证明对给定的初等因子组p2(从).设r(A()=r·则对于不可约多项式P(A,初等因子组中含 n(中6不为零的个数小于或等于r.在初等因子组r(中适当增加一些(,=0则可将 这组初等因子按降幂排列如下 p(),n12(0),…,P(A,er1≥er-112…≥e1 2(入),……,pP22(),er2≥er-1,2≥…≥ p(),p-1(A,…,P212(入),ent≥er-1t≥…≥et d()=n1(A)()…P(,=1:() 1(入)=p1(p22()……p2(

f"2￾K  0, : pj (λ) eij Æ A(λ) &3 VWdi, A(λ) p , N Æ A(λ)  VWdij. H n L￾OR? A R? λE − A ,N Æ A ,N￾H λE − A ,NQ Æ A ,NQ \ 1 x 9 L0Y￾4vR? A  ,NÆ 1, · · · , 1,(λ − 1)(λ 2 + 1),(λ − 1)2 (λ 2 + 1)(λ 2 − 2), ~. A 8 Q, R, C v,NQ Z 8 Q v,NQÆ λ − 1, λ2 + 1,(λ − 1)2 , λ2 + 1, λ2 − 2; 8 R v,NQÆ λ − 1,(λ − 1)2 , λ + √ 2, λ − √ 2, λ2 + 1, λ2 + 1; 8 C v,NQÆ λ − 1,(λ − 1)2 , λ + √ 2, λ − √ 2, λ + i, λ − i, λ + i, λ − i. /#+￾ λ− R?,NQ/m ,N &q#￾+C￾0 X[ 7.4.1 λ− R? A(λ)  ,N/m,NQ=J r(A(λ)) &q# g^ &4#,NQ p eij j (λ). x r(A(λ)) = r. :&1W6'{ pj (λ), ,NQKQ,NIhl^t p er1 1 (λ), p er−1,1 1 (λ), · · · , p e11 1 (λ), er1 ≥ er−1,1 ≥ · · · ≥ e11 p er2 2 (λ), p er−1,2 2 (λ), · · · , p e12 2 (λ), er2 ≥ er−1,2 ≥ · · · ≥ e12 · · · · · · p ert t (λ), p er−1,t t (λ), · · · , p e1t t (λ), ert ≥ er−1,t ≥ · · · ≥ e1t D dr(λ) = p er1 1 (λ)p er2 2 (λ)· · · p ert t (λ), dr−1(λ) = p er−1,1 1 (λ)p er−1,2 2 (λ)· · · p er−1,t t (λ), · · · · · · · · · d1(λ) = p e11 1 (λ)p e12 2 (λ)· · · p e1t t (λ), 1

则d1(入)|d2+1(),(i=1,2,…,r-1).故d1(入),d2(A),…,d(入)是4()的不变因子 推论741数字矩阵A的不变因子由其初等因子组唯一确定 推论74.2矩阵A相似于B的充分必要条件是A,B有相同的初等因子组 例2设Q上12阶矩阵A在C上的初等因子组为 (-1)2(X-1)2,(X-1)2,(X+1),(X+1,、(X-i)2,(X+i)2, 则A在Q上的不变因子为 ,1,(9个),(-1)2,(X-1)2(+1),(A-1)2(A+1)(x2+1)2. 从上面的讨论知,从不变因子可以求得初等因子组.下面介绍的方法说明,只要将A()经过初等变换 化为对角阵,再对对角元素做多项式因式分解就可以了 引理7.4.1设 4(x)=((x1(X) 0 B() f2(入)g1() f2()g2() f1(A)g2() 如果 1(入),91()=(f1(),92()=(2(),91(从)=(f2(),92(A)=1, 则A(A)≈B(入) 证明显然A(,B()有相同的二阶行列式因子,而A(),B()的阶行列式因子分别为(f1(g1() 应2()g2()和(2()91(),f1(入)g2().根据第五章复习题6,知上面的两式均等于 (f1(入),f2(A)(g1(),92(从) 因而A(A)与B(入)也有相同的阶行列式因子,所以A()≈B(A 定理7.3.2设 h2(入) A() han(入) 且 h2(x)=p2()2()…p“(), 其中p;是首1的两两互素的不可约多项式(=1,2,…,t)且≥0(i=1 (从)|ei>0,i=1,2,……,m:j=1,2,…,母 是A()的初等因子组 证明先对p1(入)的方幂进行讨论.令 g1(从)=p22(32()…P"())

: di(λ)|di+1(λ),(i = 1, 2, · · · , r − 1). 7 d1(λ), d2(λ), · · ·, dr(λ) | A(λ)  ,N ✷ `℄ 7.4.1 ￾OR? A  ,N/m,NQ &q# `℄ 7.4.2 R? A 1 B .$ G| A, B 0,NQ \ 2 x Q v 12 LR? A 8 C v,NQÆ (λ − 1)2 ,(λ − 1)2 ,(λ − 1)2 ,(λ + 1),(λ + 1),(λ − i) 2 ,(λ + i) 2 , : A 8 Q v ,NÆ 1, 1, · · · , 1,(9 3),(λ − 1)2 ,(λ − 1)2 (λ + 1),(λ − 1)2 (λ + 1)(λ 2 + 1)2 . vi B￾ ,NW)o,NQiNw,*
j￾H$H A(λ) P; A Æ&J?￾7&&J5S'{,{.MQW)℄ e[ 7.4.1 x A(λ) =  f1(λ)g1(λ) 0 0 f2(λ)g2(λ)  , B(λ) =  f2(λ)g1(λ) 0 0 f1(λ)g2(λ)  , t: (f1(λ), g1(λ)) = (f1(λ), g2(λ)) = (f2(λ), g1(λ)) = (f2(λ), g2(λ)) = 1, : A(λ) ≃ B(λ). g^ r A(λ), B(λ) 0)L^{,N￾( A(λ), B(λ) &L^{,N.Æ (f1(λ)g1(λ), f2(λ)g2(λ)) = (f2(λ)g1(λ), f1(λ)g2(λ)). 5S =0 6, Bvi\{T1 (f1(λ), f2(λ))(g1(λ), g2(λ)). ,( A(λ) 3 B(λ) %0&L^{,N￾) A(λ) ≃ B(λ). ✷ X[ 7.3.2 x A(λ) ≃   h1(λ) h2(λ) . . . hn(λ)   n hi(x) = p ei1 1 (λ)p ei2 2 (λ)· · · p eit t (λ), mK pj | 1 \\?W6'{ (j = 1, 2, · · · , t) n eij ≥ 0(i = 1, 2, · · · , n; j = 1, 2, · · · , t). : {p eij ij (λ) | eij > 0, i = 1, 2, · · · , n; j = 1, 2, · · · , t} | A(λ) ,NQ g^ & p1(λ) ,hO a gi(λ) = p ei2 2 (λ)p ei3 3 (λ)· · · p eit t (λ), 2

i=1,2,……,n.则h1()=1“(A)91(),i=1,2,…,n,而且(P21(),91(从)=1,i,j=1,2,……,n 如果相邻的一对指数满足en1>e+11,则将p2(入)与p1+2()对调位置,而其余因式保持不动,根据 引理74.1, iag(n2()9(A),p1+(A)9+1(X)diag(P1+1()91(A),p2()92+1(A), 所以A(入)相抵于 diag(p21(A)g1(),……,p21+(A91(),n2(A)92+1(),……,p(A9n(入) 继续如上的讨论,直到对角阵主对角线元素所含P1(入的方幂是按递升排列为止依次对P2(),p3(入),…,P() 的次幂作同样处理,最后便得到与A(入)相抵的对角矩阵,它的主对角线元素所含每个相同的P2(X)的方幂 都是按升幂排列的.这时对角元素就是A的不变因子, P(A)|6i>0,i=1,2,…,n;j=1,2,……,t 就是A(入)的初等因 例3设 (A-1)2(X+2) AE=AN (入+2) 则A的初等因子组为(A-1),(A+2),(入+2),(A-1) 利用初等因子组,我们可以构造n阶方阵A的广义 jordan标准形 引理7.4.2设p()是数域F上m次不可约多项式,F(p(入)是关于p()的 Frobenius块.令 01 是m阶方阵,则sm阶方阵 F(p(入)00 CF(p(入)0 0 00…F(p(入)0 00 F(p(入) 的行列式因子和不变因子是1,…,1(sm-1个1),P(入),初等因子组是p(入) 证明AE-J的一个次对角线的元素乘积是1.因此对于任意的k(1≤k<sm),AE-J有一个k 阶子式为1.因为det(A-F)=p(),所以D=m()=95m(入)=p5( 引理74.2中矩阵J称为关于p3(入)广义 Jordan块,记为J(p°(入)

i = 1, 2, · · · , n. : hi(λ) = p ei1 1 (λ)gi(λ), i = 1, 2, · · · , n, (n (p ei1 1 (λ), gj (λ)) = 1, i, j = 1, 2, · · · , n. t:_&&F￾dP ei1 > ei+1,1, :H p ei1 1 (λ) 3 p ei+1,1 1 (λ) &"I￾(m2,{$￾5S -Y 7.4.1, diag(p ei1 1 (λ)gi(λ), p ei+1,1 1 (λ)gi+1(λ)) ∼= diag(p ei+1,1 1 (λ)gi(λ), p ei1 1 (λ)gi+1(λ)), ) A(λ) 1 diag(p e11 1 (λ)g1(λ), · · · , p ei+1,1 1 (λ)gi(λ), p ei1 1 (λ)gi+1(λ), · · · , p en1 1 (λ)gn(λ)). E!tv ￾D&J?L&J53 A(λ) &JR?￾L&J5z&J5Q| A  ,N￾ {pj(λ) eij | eij > 0, i = 1, 2, · · · , n; j = 1, 2, · · · , t} Q| A(λ) ,NQ ✷ \ 3 x λE − A ≃   1 (λ − 1)2 (λ + 2) (λ + 2) 1 (λ − 1)   , : A ,NQÆ (λ − 1),(λ + 2),(λ + 2),(λ − 1)2 . Z.,NQ￾gW)69 n L,? A 9+ Jordan M e[ 7.4.2 x p(λ) |￾4 F v m W6'{￾ F(p(λ)) |81 p(λ)  Frobenius Xa C =   0 · · · 0 1 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . 0 · · · 0 0   | m L,?￾: sm L,? J =   F(p(λ)) 0 0 · · · 0 0 C F(p(λ)) 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · F(p(λ)) 0 0 0 0 · · · C F(p(λ))   ^{,N= ,N| 1, · · · , 1(sm − 131), ps (λ), ,NQ| p s (λ). g^ λE − J &3&J5ÆC| 1. ,&1s* k(1 ≤ k < sm), λE − J 0&3 k LN{Æ 1. ,Æ det(λ − F) = p(λ), ) Dsm(λ) = gsm(λ) = p s (λ). ✷ -Y 7.4.2 KR? J Æ81 p s (λ) 9+ Jordan X￾DÆ J(p s (λ)). 3

定理743设A的初等因子组为p1(),p2(),…,pm()),则A相似于分块对角阵 J(P2() J(P2() J(m() 我们称J为A的广义 Jordan阵,或称A的广义 ordan标准形 证明因为A与J有相同的初等因子组 因为A的初等因子组是唯一确定的,所以在不考虑广义 jordan块的排列次序,A的广义 Jordan标 准形是唯一确定的.同时我们看到,广义 Jordan标准形和初等因子组互相唯一确定 例4设有理数域Q上的10阶方阵A的不变因子为 1,(X-2)2(x2+2),(-2)2(2+2) 则A的广义 jordan标准形为 J(X-2)2) 0 0 J((A-2) J(x2+2) J(x2+2)2) 0 0-2 习题 1.已知A()在Q上的不变因子为1,…,1,A,A(2-2),(2-2)2(2+1),A2(2-2)4(2+ 1)2(A-9),写出4()在C上的初等因子组 2.已知5阶入一矩阵A()的秩为4,初等因子组为入,A2,2,A+1,A-1,A-1,(X+1)3.求A(入 的行列式因子和不变因子 3.求下列矩阵的初等因子组 1 2+入 2入+1

X[ 7.4.3 x A ,NQÆ p e1 1 (λ), p e2 2 (λ), · · · , pemm (λ), : A 1.X&J? J =   J(p e1 1 (λ)) J(p e2 2 (λ)) . . . J(p emm (λ))   . g J Æ A  Y Jordan f, B A  Y Jordan Uhb. g^ ,Æ A 3 J 0,NQ ✷ ,Æ A ,NQ| &q#￾)8Vb9+ Jordan Xl^ ￾ A 9+ Jordan M| &q#zgU￾9+ Jordan M=,NQ? &q# \ 4 x0Y￾4 Q v 10 L,? A  ,NÆ 1, · · · , 1,(λ − 2)2 (λ 2 + 2),(λ − 2)2 (λ 2 + 2)2 . : A 9+ Jordan MÆ J =   J((λ − 2)2 ) 0 0 0 0 J((λ − 2)2 ) 0 0 0 0 J(λ 2 + 2) 0 0 0 0 J((λ 2 + 2)2 )   =   2 1 2 2 1 2 0 −2 1 0 0 −2 1 0 1 0 −2 1 0   . a_ 1. (B A(λ) 8 Q v ,NÆ 1, · · · , 1, λ, λ(λ 2 − 2), λ(λ 2 − 2)2 (λ 2 + 1), λ 2 (λ 2 − 2)4 (λ 2 + 1)2 (λ − 9),  A(λ) 8 C v,NQ 2. (B 5 L λ− R? A(λ) JÆ 4, ,NQÆ λ, λ2 , λ2 , λ+ 1, λ−1, λ−1,(λ+ 1)3 . o A(λ) ^{,N= ,N 3. o^R?,NQ   λ 1 λ 1 λ 1 λ   ,   λ − 2 1 −1 −2 λ − 2 1 −1 −2 λ + 1   ,   λ 2 + λ λ (λ + 1)2   . 4

4.设 A(入)= A-1),B()=(2-1 求A()和B(A)的初等因子组,问A()是否相抵于B(入) 5.写出例2中矩阵A分别在Q上和C上的 Frobenius标准形和广义 Jordan标准形 6.写出例4中矩阵A在C上的 Frobenius标准形和广义 ordan标准形

4. x A(λ) =  λ + 1 λ − 1  , B(λ) =  λ 2 − 1 1  , o A(λ) = B(λ) ,NQ￾ A(λ) |/1 B(λ). 5. [ 2 KR? A .8 Q v= C v Frobenius M=9+ Jordan M 6. [ 4 KR? A 8 C v Frobenius M=9+ Jordan M 5