厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第七章相似标准形 872A-矩阵的法式 为讨论入一矩阵在相抵关系的标准形,先给出如下引理 引理721设A()=(a()mxn为一非零入-矩阵,则A(入)必相抵于矩阵B(入)=(b1;(入)mx 其中b1()≠0且b1(从整除B()中的任意元素b() 证明因为A(A)≠0,我们总可以经过A一矩阵的互换变换使得第(1,1)元素非零.我们不妨设 11())≠0.现在对dega1()做数学归纳证明结论 当 degal()=0时,a11(为非零常数,必整除所有元素,结论成立 假设当dega()<t时,结论成立.考虑dega1(A)=t情况,若a1()整除A(入中任意元素 a(入),则结论成立.我们设存在a(A)不能被a11(入)整除 (1)若j=1,即A(入)的第一列中有一个元素an1(),满足 a1()=a11)q(A)+r(入), 其中degr(从)< degang(A).将A()的第一行乘以一q(x)加到第i行,再将第行和第i行互换,得到的 A-矩阵中第(1,1)元素是r(x),满足degr(从)<t.对得到的矩阵利用归纳假设得到结论 (2)若i=1,与情况(1)同理可证 (3)若a1()整除第一行和第列的所有元素,用消法变换,可得 0b2() A(入) 0bm2(入) 若a1()整除所有的b()(i=2,3,…,m;j=2,3,…,m),则结论成立.若存在ast(从)(2≤s≤ m;2≤t≤n)不能被a1()整除,将第t列加到第一列,归结于情况(1) 定理721设A(入)是一个n阶A-矩阵且r(4()=r,则 A(入)≈diag(d1(入),d2(入),……,d(,0.……,0), 其中d4(入)为首一多项式(i=1,2,……,r),且d()d2+1()(i=1,2,……,r-1) 证明由引理71.1 A()≈B(从=(b(入)mxn, 其中b1(A)≠0且b1(从)整除B()中的所有元素b().设b(A)=b11(A)93(入),将B(X)的第 列乘以-q1j(加到第j列,j=2,3,…,n,再将第行乘以-q1(加到第i列,i=2,3,…,m
tN}+g= o IP 59.77.1.116; R gdjpkc.xmu.edu.cn 038 65.:7 §7.2 λ− 29/14 pkL λ− Ax.r {u-℄sF ,% 7.2.1 ` A(λ) = (aij (λ))m×n p'J λ− A A(λ) x A B(λ) = (bij (λ))m×n, V b11(λ) 6= 0 W b11(λ) B(λ) \ h bij (λ). -' p A(λ) 6= 0, qO D0 λ− A233b (1, 1) h'JqO &` a11(λ) 6= 0. v! dega11(λ) "g}/SQ?L dega11(λ) = 0 a a11(λ) p'J gi h?L H 8` dega11(λ) λ− AW r(A(λ)) = r, A(λ) ≃ diag(d1(λ), d2(λ), · · · , dr(λ), 0, · · · , 0), V di(λ) pf"y (i = 1, 2, · · · , r), W di(λ)|di+1(λ)(i = 1, 2, · · · , r − 1). -' F 7.1.1, A(λ) ≃ B(λ) = (bij (λ))m×n, V b11(λ) 6= 0 W b11(λ) B(λ) i h bij (λ). ` bij (λ) = b11(λ)qij (λ), ; B(λ) IÆ −q1j(λ) 7 j I j = 2, 3, · · · , n, Æ; |Æ −qi1(λ) 7 i I i = 2, 3, · · · , m, 1
得到 c2n(入) A(A)≈ 0cm2(入) cmn(入) 其中G1(从)=b;/(从-/()ba1()(=2, 项系数为1,且记 为d1(入).则易见d1(从e()(i=2,3,…,m;j=2,3,……,n).记 c22(X) C1(A) cmn(入) 则Ci1(λ)是(m-1)×(n-1)的λ-矩阵.对C1(λ)重复上面的步骤,可使第二行第二列除第(2,2)个 元素d2(入)外其余全为零,且d2()整除其余所有元素.易知,d1()|d2(入).不断做下去,直到除第(i,i) 元素外的其它元素均为零.与数字矩阵情形一样,做λ-矩阵的初等变换不改变矩阵的秩所以对角元素有 r个不等于零 定理中的dag(d1(),d2(A),…,d(A),0,…,0)称为A(X)的法式 推论72.1任一n阶可逆A一矩阵都可以表示为有限个初等入一矩阵之积 证明设A(是n阶可逆入一矩阵,则存在P(入),Q(入),使得 P(A)4()Q(=diag(d1(入),d2(),…,d+(入),0,…,O), 其中P(入),Q()是有限个初等入一矩阵的乘积因为A(入)可逆,r(4()=n.做入-矩阵的初等变 换不改变矩阵的秩,所以T=n.且d4()为非零常数(i=1,2,……,n).因为d(A)首项系数为一,所以 d1(A)=1(i=1,2,…,n).这样,A()=P(A)-Q()-1.因为初等-矩阵的逆为初等入-矩阵 所以4(A)可表为有限个初等λ一矩阵之积 习题 1.用A一矩阵的初等变换的方法求下列矩阵的法式 入2入-1A A-1-21 A2+1x2+A-1-A2 0A+2 2.设(f()),9()=1.证明 g(入)0 09( 0f(入) 0f(入)9() 3.设A∈Fn×n.证明: (AE-A)≈diag(d1(入),d2(入) () 其中d()(j=1,2,……,n)首项系数为1,d1(入)|d2+1(X)(t=1,2,…,n-1),且∫A()=d1(d2(X)…dn(入) (2)上式中degd1(x)≠0的充分必要条件是A=aEn
A(λ) ≃ b11(λ) 0 · · · 0 0 c22(λ) · · · c2n(λ) . . . . . . . . . 0 cm2(λ) · · · cmn(λ) , V cij (λ) = bij (λ) − qij (λ)bi1(λ)(i = 2, 3, · · · , m; j = 2, 3, · · · , n). &` b11 fyrgp 1, W6 p d1(λ). 9 d1(λ)|cij (λ)(i = 2, 3, · · · , m; j = 2, 3, · · · , n). 6 C1(λ) = c22(λ) · · · c2n(λ) . . . . . . cm2(λ) · · · cmn(λ) , C1(λ) e (m − 1) × (n − 1) λ− A! C1(λ) )_P Db #| #I (2, 2) , h d2(λ) nV [pJW d2(λ) V i h d1 (λ)|d2(λ). "sZ (i, i) hnVj hBpJ g AX{~" λ− A3 *Ai!DU λ− A Ddpw, λ− A4 -' ` A(λ) e n >DU λ− A P(λ), Q(λ), b P(λ)A(λ)Q(λ) = diag(d1(λ), d2(λ), · · · , dr(λ), 0, · · · , 0), V P(λ), Q(λ) ew, λ− AÆ4p A(λ) DU r(A(λ)) = n. " λ− A 3 *Ai r = n. W di(λ) p'J g (i = 1, 2, · · · , n). p di(λ) fyrgpi di(λ) = 1(i = 1, 2, · · · , n). ~ A(λ) = P(λ) −1Q(λ) −1 . p λ− AUp λ− A i A(λ) Dpw, λ− A4 ✷ +) 1. λ− A3%$YsIA$ 1 − λ 2λ − 1 λ λ λ2 −λ λ 2 + 1 λ 2 + λ − 1 −λ 2 , λ − 1 −2 1 0 λ − 1 −1 0 0 λ + 2 . 2. ` (f(λ), g(λ)) = 1. Q f(λ) 0 0 g(λ) ≃ g(λ) 0 0 f(λ) ≃ 1 0 0 f(λ)g(λ) . 3. ` A ∈ F n×n . Q (1) (λE − A) ≃ diag(d1(λ), d2(λ), · · · , dn(λ)), V dj (λ)(j = 1, 2, · · · , n) fyrgp 1, di(λ)|di+1(λ)(i = 1, 2, · · · , n−1), W fA(λ) = d1(λ)d2(λ)· · · dn(λ). (2) _ degd1(x) 6= 0 (l:e A = aEn. 2