厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第八章欧氏空间 §84正交变换,正交矩阵 定义8.4.1设φ是n维欧氏空间V的线性变换,如果φ保持内积不变,即对于任意的a,B∈V,有 (y(a),(6)=(a,B), 则称φ是正交变换 下面的定理给出n维欧氏空间V的正交变换的不同角度的刻画,从中也看出,欧氏空间Ⅴ的线性变 换φ是正交变换的充分必要条件是φ是V作为欧氏空间的自同构 定理8.41设φ是n维欧氏空间V的线性变换,则下列条件等价 (2)φ保持长度不变,即对于任意的a∈V,有|p(a)=la (3)φ将V的标准正交基变为标准正交基 (4)在V的标准正交基下的矩阵是正交阵 证明(1)→(2):对于任意的a∈V,有 (a),p(a)=(a,a), 两边开平方,得到|y(a)=|a (2)→(1):对于任意的a,B∈V (pla),p(a))=( ((6),g(6)=(B,B) ((o+B),(o+B))=(a+B, a+B) 将后面等式展开,得到(y(a),g(a)+(y(),()+2(9(a),9(B)=(a,a)+(,)+2(a,B).将前 两式代入,得到(y(a),yp()=(a,B) (1)→(3):设51,52,……·,5n是V的一个标准正交基.则 (y(),y(5)=(51,5)=6y,(i,j=1,2,…,m) 所以(51),g(52),…,g(5n)也是V的一个标准正交基 (3)→(4):设51,52,…,5n是V的一个标准正交基 g(51,52,…,5n)=(51,52,…,5n)Q 因为y(51),y(2),…,g(5n)也是V的标准正交基.所以Q是从标准正交基51,52,…,En到标准正交基 φ(51),g(￡2),…,g(En)的过渡矩阵,所以Q是正交矩阵
-q 47(!T #O IP )X 59.77.1.116; Ju gdjpkc.xmu.edu.cn vt~ |}{x §8.4 yuwyz fo 8.4.1 Æ ϕ n &|bO V '/3 GA ϕ zI K/G>' α, β ∈ V , E (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β), M ϕ rieh. ,s'*g9 n &|bO V 'TR G'"S,'aE [9_|bO V '/3 G ϕ TR G'4 8!P ϕ V %|bO'`"= fj 8.4.1 Æ ϕ n &|bO V '/3 GM,l!P(N (1) ϕ TR G (2) ϕ , K/G>' α ∈ V , E |ϕ(α)| = |α|; (3) ϕ Q V 'Æ^TRH %Æ^TRH (4) ϕ L V 'Æ^TRH,'\RTRR sk (1)⇒ (2): /G>' α ∈ V , E (ϕ(α), ϕ(α)) = (α, α), j ^}3&% |ϕ(α)| = |α|. (2)⇒ (1): /G>' α, β ∈ V , (ϕ(α), ϕ(α)) = (α, α), (ϕ(β), ϕ(β)) = (β, β), (ϕ(α + β), ϕ(α + β)) = (α + β, α + β). QDs(N^&% (ϕ(α), ϕ(α)) + (ϕ(β), ϕ(β)) + 2(ϕ(α), ϕ(β)) = (α, α) + (β, β) + 2(α, β). Q j! &% (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β). (1)⇒(3): Æ ξ1, ξ2, · · · , ξn V ':8Æ^TRHM (ϕ(ξi), ϕ(ξj )) = (ξi , ξj ) = δij , (i, j = 1, 2, · · · , n). = ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) 9 V ':8Æ^TRH (3) ⇒ (4): Æ ξ1, ξ2, · · · , ξn V ':8Æ^TRH ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)Q. % ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) 9 V 'Æ^TRH = Q Æ^TRH ξ1, ξ2, · · · , ξn %Æ^TRH ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) 'B-\R = Q TR\R 1
(4)→(3):设51,52,…,5n是V的一个标准正交基, g(51,2,……,5n)=(51,52,…,5n)Q 因为Q是正交矩阵,所以y(51),y(52),…,y(5n)也是V的标准正交基 (3)→(1):设51,52,…,5n是V的一个标准正交基,y(51),y(52),…,(En)也是V的标准正 交基对任意a=a151+a22+…+an5n,B=b151+b22+…+bn5n∈V,有(y(a),y(6) (a1y(51)+a2y(52)+…+any(5n),b1y(51)+b2(52)+…+bny(5n)=a1b1+a2b2+…+anbn (a11+a2E2+…+anEn,b11+b2=2+…+bnn)=(a,B) 定理8.4.2设n阶实矩阵A是正交阵,则 (1)detA=±1; (2)A的特征值的模长为1 证明(1)显然因为AA=E,两边取行列式即得 (2)设A是A的特征值,X是属于A的特征向量,则AX=AX.两边同取共轭转置,于是 XAT=XX,所以 ⅹAAX=XXAX. 所以 XX=AX(XX 因为X≠0,所以XX≠0.因此,Xλ=1.即|=1 引理8.4.1设A为n阶正交阵,A=a+b为A的一个复特征值(b≠0),X=a+B为对应 的特征向量,其中a,B∈R.则a和β正交且a|= 证明因为A(a+6i)=(a+bi)(a+Bi),所以Aa=aa-b6,AB=ba+a3.从而 a2=(a,a)=(Aa,Aa)=a2|a2+b2112-2ab( B2=(8,B)=(A8,AB)=b2|a2+a212+2ab(a 由(1)-(2),得 (a2-b2-1)|a2+(b2-a2+1)2-4ab(a,B)=0 而 (a,B)=(Aa,AB)=(a2-b2)(a,B)+ab(a2-1812) 由(3),(4),得 a2-b2-1)(|a|2-12)-4ab(a,B)=0 ab(al2-162)+(a2-b2-1)(a,B)=0 其可视为关于(a2-182)和(a,B)的线性方程组.由定理84.2知a2+b2=1,故 1/=(a2 1)2+4a2b2=4b+4a2b=4b(b2+a2)=4b2≠0 因此方程组只有零解,即la2=1P2,且(a,B)=0
(4)⇒ (3): Æ ξ1, ξ2, · · · , ξn V ':8Æ^TRH ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)Q. % Q TR\R = ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) 9 V 'Æ^TRH (3) ⇒ (1): Æ ξ1, ξ2, · · · , ξn V ':8Æ^TRH ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), · · · , ϕ(ξn) 9 V 'Æ^T RH/> α = a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, β = b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn ∈ V , E (ϕ(α), ϕ(β)) = (a1ϕ(ξ1) +a2ϕ(ξ2) +· · ·+anϕ(ξn), b1ϕ(ξ1) +b2ϕ(ξ2) +· · ·+bnϕ(ξn)) = a1b1 +a2b2 +· · ·+anbn = (a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, b1ε1 + b2ε2 + · · · + bnεn) = (α, β). ✷ fj 8.4.2 Æ n U\R A TRRM (1) detA = ±1; (2) A ' SW'w% 1. sk (1) .% AAT = E, j 2lK& (2) Æ λ A ' SW X G λ ' S1kM AX = λX. j " a 2 − b 2 − 1 −4ab ab a2 − b 2 − 1 = (a 2 − b 2 − 1)2 + 4a 2 b 2 = 4b 4 + 4a 2 b 2 = 4b 2 (b 2 + a 2 ) = 4b 2 6= 0, 3aYEmWK |α| 2 = |β| 2 , (α, β) = 0. ✷ 2
因为A为正交阵,因此特征值模长为1,即a2+b2=1,可设a=cos6,b=-sin6.这样 Aa=aa-bB=(a, B) cos e AB= bo+aB=(a, B) A=(0(c60) 定理8.43设A为n阶正交阵,则存在n阶正交阵Q,使 Q2-AQ=QAQ=diag(Er, -Es COs a1 -sIn al cos al -sIn al sIn a1 sIn o COS aI 其中r+8+2l=n 证明对阶数用数学归纳法 当n=1时,显然成立.当n=2时,由§8.2习题4,结论成立.假设当阶数<n时命题成立.讨论 A的阶数为n的情况 (1)若A有一个实特征根Ao,则取其单位特征向量X1,扩为R的标准正交基X1,X2,……,Xn,从 这里A1是n-1阶方阵,B∈R-1.令Q1=(X1,X2,…,Xn),则 Q1 AQ B 因为Q-1=QT,所以A-1=AT.进而B-1=BT,即B是正交阵,故 BBT Xo 0 A2+BTB BTAA 10 得+BB=1,A141=E.而1=1,因此B=0,A141=E.即 B 其中A1是正交阵,由归纳假设,存在n-1阶正交阵Q2,使 Q2 A1Q2-diag(Ep -, sin a cos a COs QI SInaI Cosal 令Q=a1(1 Q2),则Q为n阶正交阵,且 Q-AQ=diag(o, Ep, -Ea. cos a1 -sin al COS Ql al sin a1 COS C1 sin al 因为A0=±1,命题成立 (2)若A无实特征根设A=a+b是其一个复特征根,a+Bi为相应特征向量,则由引理8.4.1,a 与B正交,且|a2=12.因|=1,故可设A=cosa- 2 sIna.取a,B的单位化向量X1,X2,则有 AX1=cosa X1+sina X2=(X1, X2)
% A %TRR SWw% 1, K a 2 + b 2 = 1, `Æ a = cos θ, b = − sin θ. Q7 Aα = aα − bβ = (α, β) cos θ sin θ , Aβ = bα + aβ = (α, β) − sin θ cos θ , A(α, β) = (α, β) cos θ − sin θ sin θ cos θ . fj 8.4.3 Æ A % n UTRRM L n UTRR Q, Q −1AQ = Q T AQ = diag(Er, −Es, cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1 , · · · , cos αl − sin αl sin αl cos αl ) ~[ r + s + 2l = n. sk /UC4y1 $ n = 1 .i$ n = 2 D §8.2 * 4, VoiMÆ$U BBT = λ0 β T 0 A1 λ0 0 β AT 1 = λ 2 0 + β T β βT AT 1 A1β A1AT 1 = 1 0 0 En−1 & λ 2 0 + β T β = 1, A1AT 1 = E. 0 λ 2 0 = 1, β = 0, A1AT 1 = E. K B = λ0 0 0 A1 , ~[ A1 TRRDyMÆ L n − 1 UTRR Q2, Q −1 2 A1Q2 = diag(Ep, −Eq, cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1 , · · · , cos αl − sinαl sin αl cos αl ) n Q = Q1 1 Q2 , M Q % n UTRR Q −1AQ = diag(λ0, Ep, −Eq, cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1 , · · · , cos αl − sinαl sin αl cos αl ). % λ0 = ±1, v i (2) A ) S:Æ λ = a + bi ~:86 S: α + βi %0B S1kMDAg 8.4.1, α H β TR |α| 2 = |β| 2 . |λ| = 1, >`Æ λ = cos α − isinα. α, β '"'F1k X1, X2, ME AX1 = cos αX1 + sinαX2 = (X1, X2) cos α sin α , 3
AX2=-sinaX1 +cosa X2=(X1, X2) COs O 将X1,X2扩为R的标准正交基X1,X2,…,Xn,则 COS O A(X1,x2,…,Xn)=(X1,x2…,xn)((sima 其中C是2×(n-2)实矩阵,A1是n-2阶实方阵.令Q1=(X1,X2,……,Xn),则Q1是正交阵且 -SIn o COS Ok 0 因为Q1,A为正交阵,所以B为正交阵故 ( cos a cos a -sIn o E2 0 SIn o CoS a SIn Q COS o A sin a cosa ) sis a cosn +CC=E2,A2C=0,A242=En-2 故A2是正交阵,且C=0,即 由归纳假设,存在n-2阶正交矩阵Q2,使得 Q2A2Q2= diag(Er, -Es COs a1 sIn a1 oS aI -sIna sIn a1 COs C1 E2 0 令Q=Q1(002),则Q为正交阵且 Q+1=d(0a0c0),E-E,(01.m0)…(amm) 定理8.4.3按照线性变换的语言来说,就是 设φ是n维欧氏空间V的正交变换,则存在一个标准正交基,使得φ在此基下的矩阵是 diag(E,一E COs a1 sIn a1 sIn aI COs al 其中r+s+2l=n 习题
AX2 = − sinαX1 + cos αX2 = (X1, X2) − sinα cos α . Q X1, X2 d% R n 'Æ^TRH X1, X2, · · · , Xn, M A(X1, X2, · · · , Xn) = (X1, X2, · · · , Xn) cos α − sinα sin α cos α C 0 A2 , ~[ C 2 × (n − 2) \R A1 n − 2 U3Rn Q1 = (X1, X2, · · · , Xn), M Q1 TRR Q T 1 AQ1 = cos α − sinα sin α cos α C 0 A2 = B. % Q1, A %TRR = B %TRR> cos α − sinα sin α cos α C O A2 cos α − sinα sin α cos α T 0 C T AT 2 = E2 0 0 En−2 . = cos α − sin α sinα cos α cos α − sinα sinα cos α T + CCT = E2, A2C T = 0, A2A T 2 = En−2. > A2 TRR C = 0, K B = cos α − sinα sin α cos α 0 0 A2 . DyMÆ L n − 2 UTR\R Q2, & Q −1 2 A2Q2 = diag(Er, −Es, cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1 , · · · , cos αl − sinαl sin αl cos αl ). n Q = Q1 E2 0 0 Q2 , M Q %TRR Q −1AQ = diag( cos α − sinα sin α cos α , Er, −Es, cos α1 − sin α1 sinα1 cos α1 , · · · , cos αl − sinαl sin αl cos αl ). *g 8.4.3 P/3 G'I5e[ Æ ϕ n &|bO V 'TR GM L:8Æ^TRH& ϕ L H,'\R diag(Er, −Es, cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1 , · · · , cos αl − sinαl sin αl cos αl ), ~[ r + s + 2l = n. nm 4
1.(1)设Q是奇数阶正交矩阵,且detQ=1,则1是Q的一个特征值 (2)设Q是n阶正交矩阵,且detQ=-1,则-1是A的一个特征值 2.设T是n维欧氏空间V中一单位向量,定义p(a)=a-2(7,a).证明 (1)φ是正交变换(称为镜面反射); (2)2=id (3)存在V的一个标准正交基,使得φ在这个标准正交基下的矩阵为 3.如果Ⅴ上的正交变换φ以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间V的维数为n-1 那么φ是镜面反射 4.设φ是n维欧氏空间V上的变换,对于任意的a,B∈V,都有(y(a),y(6)=(a,B).证明 φ是线性变换,因而是正交变换 5.设φ是欧氏空间V上的正交变换,U是-不变子空间,则U-也是y-不变子空间 复习题 1.设a1,a2,…,am和B1,B2,…,Bm是n维欧氏空间V的两个向量组.证明存在正交变换y2使 得y(a;)=B,1≤i≤m的充分必要条件是(a,a)=(B1,1),1≤i,j≤m 2.设a1,a2,……,an是欧氏空间的n个向量,行列式 nI, a 02. a (an, a1(an, a2)..(an, an) 称为a1,a2,……,an的Gram行列式,证明:G(a1,a2,…,an)=0的充分必要条件是a1,a2,……,an 线性相关 3.设a1,a2,…,On是欧氏空间的n个线性无关的向量,1,n2,……,n是这组向量经过正交化所 得到的向量组.求证: G(a1,a2,……,an)=G(1,n2,…,m)=(1,m1)(72,2)……(mn,Tn) 1.设A∈Rmx,B∈Rm.求证线性方程组AX=B有解的充分必要条件是B与线性方程组 X=0的解空间在正交 5.设U是n维欧氏空间V的子空间,由V=U⊕U,对于任意的a∈V,a=B+7,其中 B∈U称为a在U的正射影,∈U1.求证:对于U中任意的B≠B,有 la-b< la-B'l 6.证明:在R3中向量(x0,v0,20)到平面 U=[(r, 3, x)ER Iar+by+cz=0)
1. (1) Æ Q UTR\R detQ = 1, M 1 Q ':8 SW (2) Æ Q n UTR\R detQ = −1, M −1 A ':8 SW 2. Æ η n &|bO V [:"'1k*? ϕ(α) = α − 2(η, α)η. Ut (1) ϕ TR G (%Zs2 ); (2) ϕ 2 = idV ; (3) L V ':8Æ^TRH& ϕ LQ8Æ^TRH,'\R% −1 0 0 En−1 . 3. A V 'TR G ϕ = 1 %:8 SWG SW 1 ' S_bO V1 '&% n − 1, xp ϕ Zs2 4. Æ ϕ n &|bO V ' G/G>' α, β ∈ V , +E (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β). Ut ϕ /3 G0TR G 5. Æ ϕ |bO V 'TR G U ϕ− _bOM U ⊥ 9 ϕ− _bO gnm 1. Æ α1, α2, · · · , αm C β1, β2, · · · , βm n &|bO V 'j81kaUt LTR G ϕ & ϕ(αi) = βi , 1 ≤ i ≤ m '4 8!P (αi , αj ) = (βi , βj ), 1 ≤ i, j ≤ m. 2. Æ α1, α2, · · · , αn |bO' n 81k2l G(α1, α2, · · · , αn) = (α1, α1) (α1, α2) · · · (α1, αn) (α2, α1) (α2, α2) · · · (α2, αn) . . . . . . . . . (αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn) % α1, α2, · · · , αn ' Gram 2lUt G(α1, α2, · · · , αn) = 0 '4 8!P α1, α2, · · · , αn /30? 3. Æ α1, α2, · · · , αn |bO' n 8/3)?'1k γ1, γ2, · · · , γn Qa1kYBTRF &%'1kaU G(α1, α2, · · · , αn) = G(γ1, γ2, · · · , γn) = (γ1, γ1)(γ2, γ2)· · ·(γn, γn). 4. Æ A ∈ R m×n, β ∈ R m. U/33a AX = β EW'4 8!P β H/33a AT X = 0 'WbOLTR 5. Æ U n &|bO V '_bOD V = U ⊕ U ⊥, /G>' α ∈ V , α = β + γ, ~[ β ∈ U % α L U ' rlq, γ ∈ U ⊥. U/G U [>' β ′ 6= β, E |α − β| < |α − β ′ |. 6. UtL R 3 [1k (x0, y0, z0) %}s U = {(x, y, z) ∈ R 3 | ax + by + cz = 0} 5
的最短距离等于 laTo +byo + col 7.设A是n阶实可逆阵.求证:A=QT,其中Q是正交阵,T是上三角阵且对角线元素大于零 进一步,证明这种表示方法是唯 8.已知a1=(1,-2,1)r,a2=(-1,a,1)依次是三阶不可逆实对称阵A的属于特征值1 1,A2=-1的特征向量.求 (1)A; (2)420108,其中B=(1,1,1) 9.设三阶实对称阵A的特征值A1=1,A2=2,A3=-2,又a1=(1,-1,1)是A的属于A1的 一个特征向量,记B=45-4A3+E (1)验证a1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值和特征向量 B=(1,1,-2).已知线性方程组AX=B有解但不唯一.试求 (1)a的值; (2)正交矩阵Q,使得QAQ为对角矩阵 11.设 201 A 02a 已知a=(1,1,1)2是A的特征向量 求a,b的值及特征向量a所对应的特征值; 求A的全部特征值和特征向量 间A是否可对角化?若是,求正交矩阵Q,使得Q-1AQ为对角阵 12.设φ是n维欧氏空间V上的线性变换.证明:y是对称变换的充分必要条件是有n个两两 正交的特征向量 13.证明n维欧氏空间的两个对称变换y2,v有公共的由它们的特征向量组成的标准正交基的充要条件 14.设A,B是R上n阶对称阵,且AB=BA.求证:存在正交阵Q,使得Q-AQ,Q-1BQ同 时为对角阵 15.设A1,A2,…,Am是m个n阶实对称阵且两两乘积可交换,求证存在正交阵Q,使QA1Q(i 1,2,…,m)都是对角阵 17.(1)设5,是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明存在一镜面反射φ,使得φ(5)=7; (2)证明:n维欧氏空间中任意正交变换都可以表为一系列镜面反射的乘积
'b.℄f(G |ax0 + by0 + cz0| √ a 2 + b 2 + c 2 . 7. Æ A n U`{RU A = QT , ~[ Q TRR T SR/S/K Gm X:UtQ\31$:' 8. TR G+`=%:+lZs2 'I 6
18.设Q是正交矩阵.证明:存在正交矩阵S,使得Q=S
18. Æ Q TR\RUt LTR\R S, & Q = S 3 . 7