厦门大学高等代数教案网站P地址:59.771.116;域名: gdjpkc. xmu.edu.cr 第九章次型 §9.3正定性 本节讨论实数域武上的二次型 定义9.31设f(x1,x2,…,xn)=X7AX是实二次型 (1)如果对任意X=(a1,a2,…,an)≠0,都有 f(ar )=X AX>0, 则称A为正定矩阵,称该二次型为正定二次型 (2)如果对任意X=(a1,a2,…,an)≠0,都有 f(a1,a2,…,an)=XAX≥0; 且存在X0=(b1,b2,…,bn)≠0,使得XAX0=0,则称A为半正定矩阵称该二次型为半正定二 (3)如果对任意X=(a1,a2,…,an)≠0.,都有 f(ay )=X1AX0,同时存在X2=(b1,b2,…,bn)≠0 使得X2AX2<0,则称A为不定矩阵,称该二次型为不定型 例1 (1)f(x1,x2…,xn)=x1+2n2+…+nx2是正定二次型; (2)f(x1,x2,…,xn)=a+2+…+x2,其中r≤n,是半正定二次型; (3)f(x1,x2,…,xn)=-1-22 x2是负定二次型 (4)f(x1,x x2,其中r≤n,是半负定二次型; (5)f(x1,x2)=x-n2是不定二次型 由此可以看出,从二次型的标准形或规范形容易判断二次型的正定性 命题9.3.1可逆线性替换不改变二次型的正定性
%j23 N F IP P 59.77.1.116; An gdjpkc.xmu.edu.cn z} |y~ §9.3 { PgA R '+ `s 9.3.1 f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX '+ (1) 9$: X = (a1, a2, · · · , an) T 6= 0, !> f(a1, a2, · · · , an) = XTAX > 0, E A u`ft, 1'+ u`a_q; (2) 9$: X = (a1, a2, · · · , an) T 6= 0, !> f(a1, a2, · · · , an) = X TAX ≥ 0; xD X0 = (b1, b2, · · · , bn) T 6= 0, XT 0 AX0 = 0, E A ℄u`ft, 1'+ ℄u`a _q; (3) 9$: X = (a1, a2, · · · , an) T 6= 0, !> f(a1, a2, · · · , an) = XTAX f(a1, a2, · · · , an) = XTAX ≤ 0; xD X0 = (b1, b2, · · · , bn) T 6= 0, XT 0 AX0 = 0, E A ℄ `ft, 1'+ ℄ `a _q; (5) D X1 = (a1, a2, · · · , an) T 6= 0, XT 1 AX1 > 0, D X2 = (b1, b2, · · · , bn) T 6= 0, XT 2 AX2 < 0, E A ^`ft, 1'+ ^`q. h 1 (1) f(x1, x2 · · · , xn) = x 2 1 + 2x 2 2 + · · · + nx2 n K '+ (2) f(x1, x2, · · · , xn) = x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 r , uS r ≤ n, K '+ (3) f(x1, x2, · · · , xn) = −x 2 1 − x 2 2 − · · · − x 2 n 0 '+ (4) f(x1, x2, · · · , xn) = −x 2 1 − x 2 2 − · · · − x 2 r , uS r ≤ n, 0 '+ (5) f(x1, x2) = x 2 1 − x 2 2 '+ =[8Y'+ V,C7*,9t#'+ K . kn 9.3.1 [r'.B 2 '+ K . 1
证明设二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX经过可逆线性替换X=CY化为f(x1,x2,…,xn) XAX=Y(CAC)y.因为C可逆,所以X≠0当且仅当Y≠0.这样,二次型X7AX和二次型 YT(CrAC)Y是同型(正定,或半正定,或负定,或半负定,或不定)的二次型 定理9.31实二次型f(x1;,x2,…,xn)=XAX正定的充分必要条件是p=n; 实二次型f(x1,x2,…,xn)=XAX半正定的充分必要条件是p=r0且q>0 推论9.3.1设A是n阶实对称矩阵.则下列命题等价 (1)A是正定阵; (2)A的特征值全大于零; (3)A合同于n阶单位阵E; (4)存在n阶可逆阵C,使得A=CC 证明A正定的充分必要条件是p=n,而p=n指的是A在合同下的标准形是E.A合同于E就是 存在n阶可逆阵C,使得A=CEC=CC.另一方面,考虑A在正交相似下的标准形,A的特征值 全大于零的充分必要条件是p 定义9.3.2设A是n阶矩阵,A的k阶子式 aii aini 12 aiain ai? Z12 11 aik ik 称为A的一个k阶主子式 A的k阶主子式 a11a12 a1k a21a22 akk 称为A的k阶顺序主子式 定理9.3.2n阶实对称阵A是正定阵的充分必要条件是它的n个顺序主子式全大于零 证明必要性.对于给定的k,1≤k≤n,记 BB 显然k阶顺序主子式Ak是k阶对称阵对于任意X1≠0∈R,令X Rn,则X≠0 因为A正定,从而00. 充分性,对n做数学归纳法 当n=1时,结论显然成立
vj '+ f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX T:[r'.B X = CY A f(x1, x2, · · · , xn) = XT AX = Y T (C T AC)Y . 0 x q > 0. oi 9.3.1 A n O$ VIE$bo I (1) A K I (2) A JO|? (3) A >? n O!I E; (4) D n O[rI C, A = C T C. vj A K -4K p = n, & p = n Q A D>$ V, E. A >? E U D n O[rI C, A = C T EC = C T C. d6+lZf A DKL($ V, A JO |? -4K p = n. ✷ `s 9.3.2 A n OVI A k OW A i1 i2 · · · ik i1 i2 · · · ik = ai1i1 ai1i2 · · · ai1ik ai2i1 ai2i2 · · · ai2ik . . . . . . . . . aiki1 aiki2 · · · aikik A 64 k dwxl. A k OTW A 1 2 · · · k 1 2 · · · k = a11 a12 · · · a1k a21 a22 · · · a2k . . . . . . . . . ak1 ak2 · · · akk A k dmrwxl. `g 9.3.2 n O$ I A K I -4K n 41TW |? vj 4.$?5 k, 1 ≤ k ≤ n, G A = Ak B1 BT 1 B2 . &~ k O1TW Ak k O$ I$?: X1 6= 0 ∈ R k , e X = X1 0 ∈ R n, E X 6= 0. 0. -.$ n \28p( n = 1 Qg&~Æ^ 2
设结论对于n-1成立.考虑n阶对称阵A. 记 其中An-1是A的第n-1个顺序主子式,a∈Rn-1.因为A的顺序主子式大于零,所以An-1的所 有顺序主子式也大于零.由归纳假设,An-1是正定阵.所以An-1合同于En-1,即而存在n-1阶可逆 阵C1,使C1An-1C1=En-1.令 C (9)(a)()-( En-1 Ci 再令 En 3C2 AC2C3=CT(En-1 cTa (23)(z2=m)( En-j aCcI a 因为dtA>0,所以ann-aC1Ca>0.故A是正定阵 例2求a的取值范围,使 f(x1,x2,x3,x4)=a2+ax2+an2+x2+2x1x2+x1x3-2x2x3 为正定二次型 解由该二次型的矩阵是 1 0 0 0001 要使A为正定阵,A的顺序主子式均需大于零.考虑detA1=a>0,detA2=a2-1>0,detA 3-3a-2>0.detA=a3 2>0.解得a>2 所以当a>2时,该二次型是正定二次型 注意对于实对称阵A,若所有顺序主子式≥0,则A未必是半正定例如A=00 例3设A是R上n阶对称阵.证明:当a充分大时,aE+A正定
Qg$? n − 1 Æ^Zf n O$ I A. G A = An−1 α α T ann , uS An−1 A n − 1 41TW α ∈ R n−1 . 1TW 5? =8pH An−1 K I8 An−1 >? En−1, F&D n − 1 O[r I C1, C T 1 An−1C1 = En−1. e C2 = C1 O O 1 , E C T 2 AC2 = C T 1 O O 1 An−1 α α T ann C1 O O 1 = En−1 C T 1 α α T C1 ann , Ce C3 = En−1 −C T 1 α O 1 E C T 3 C T 2 AC2C3 = C T 3 En−1 C T 1 α α T C1 ann C3 = En−1 O −α T C1 1 En−1 C T 1 α α T C1 ann En−1 −C T 1 α O 1 = En−1 O O ann − α T C1C T 1 α . 0, 8 ann − α T C1C T 1 α > 0. 6 A K I ✷ h 2 y a zO* f(x1, x2, x3, x4) = ax2 1 + ax2 2 + ax2 3 + x 2 4 + 2x1x2 + x1x3 − 2x2x3 K '+ e =1'+ VI A a 1 1 2 0 1 a −1 0 1 2 −1 a 0 0 0 0 1 . 4 A K I A 1TW X/? Zf detA1 = a > 0, detA2 = a 2 − 1 > 0, detA3 = a 3 − 3a − 2 > 0, detA = a 3 − 3a − 2 > 0. R a > 2. 8 a > 2 1'+ K '+ U:$?$ I A, >1TW ≥ 0, E A K ℄ A = 0 0 0 −1 . h 3 A R n O$ ILm a - aE + A K 3
证明对于实对称阵A,存在正证阵Q,使得A= Q- diag{A1,A2,…,A}Q,其中λ,1≤i≤n 是A围特征值如解a=maxl+1,显然(aE+A)=aE+A,且 因为a+A1>0,1≤i≤n,所以aE+A是正未阵如 例4设实二次型∫(x1,x2,x3)=XAX主意正证替换X=QY于化为式准形f=2+v,且Q 围第三列为(,0,2)2 (1)求A (2)证明A+E是正未阵如 解(1)因为 100 所以A围特征值为h1=A2=1,A3=0.Q围第三列为(,0,2),所以A围属于A3围特征值为 3=(￥,0.2).因为实对称阵围属于是同特征值围特征向量是正证围,解线性型程组 √2 得同 (0,1,0 它们是正证围,且是属于特征值λ1=A2=1围特征向量如由 得同 A=( 0)( 2)A+E是对称阵且特征值是2,2,1,全大于零,所以A+E是正未阵如 1.判断下面二次型是否为正未二次型如 (1)f(x1,x2)=a1+a2-x1x2; 3)f(x1,x2)=+n2-3x1x2 2.当a去由值时,下面二次型是正未二次型如 x21+4x2+n3-2 3.问当a1,a2,…·,an例足什么条正时,二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2
vj $?$ I A, DKLI Q, A = Q−1diag{λ1, λ2, · · · , λn}Q, uS λi , 1 ≤ i ≤ n, A JOe a = maxi |λi | + 1, &~ (aE + A) T = aE + A, x aE + A = Q −1 {a + λ1, a + λ2, · · · , a + λn}Q, 0, 1 ≤ i ≤ n, 8 aE + A K I h 4 '+ f(x1, x2, x3) = XT AX T:KLB X = QY ?A V, f = y 2 1 + y 2 2 , x Q b ( √ 2 2 , 0, √ 2 2 ) T . (1) y A; (2) Lm A + E K I e (1) < Q −1AQ = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 , 8 A JO λ1 = λ2 = 1, λ3 = 0. Q b ( √ 2 2 , 0, √ 2 2 ) T , 8 A ? λ3 JO α3 = ( √ 2 2 , 0, √ 2 2 ) T . < $ I ? JO J*` KL R'.+Z √ 2 2 x1 + √ 2 2 x2 = 0 α1 = (0, 1, 0)T , α2 = (−1, 0, 1)T , k KL x ?JO λ1 = λ2 = 1 J*`= A(α1, α2, α3) = (α1, α2, 0), A = (α1, α2, 0)(α1, α2, α3) −1 = 1 2 0 − 1 2 0 1 0 −1 2 0 1 2 . (2) A + E $ IxJO 2, 2, 1, |? 8 A + E K I pn 1. t#$l'+ . K '+ (1) f(x1, x2) = x 2 1 + x 2 2 − x1x2; (2) f(x1, x2) = x 2 1 + x 2 2 − 2x1x2; (3) f(x1, x2) = x 2 1 + x 2 2 − 3x1x2. 2. a {=O$l'+ K '+ x 2 1 + 4x 2 2 + x 2 3 − 2ax1x2 + 10x1x3 + 6x2x3 3. " a1, a2, · · · , an hYiK'+ f(x1, x2, · · · , xn) = (x1 + a1x2) 2 + (x2 + a2x3) 2 + · · · + (xn−1 + an−1xn) 2 + (xn + anx1) 2 4
是正定矩阵 4.(1)设A,B为n阶正定阵,则A+B是正定阵,ABA也是正定阵 (2)设A为正定阵,c>0,则cA为正定阵; (3)A正定,则A-1,A正定 5.A正定,则A中绝对值最大元必在主对角线上 6.设A是n阶正定阵,求证|A+E>0. 复习题 1.证明:实二次型 f(x1,n2,…,xn)=∑(nx1+b2x2+ i=1 的秩等于下面矩阵B的秩 1 2.一个实二次型可分解为两个实系数的一次齐次多项式之积的充分必要条件是或者二次型的秩等于1 或者二次型的秩等于2且符号差为0. 3.设A是n阶正定阵,在R中,定义 证明(-,-)是一个内积,从而定义了一个欧氏空间 4.实对称阵A是正定的充分必要条件是A的所有主子式大于零 5.设A是R上n阶对称阵,则下列条件等价: (1)A正定; (4)存在单位上三角阵B,使A=BDB,其中D是正定对角阵 (5)存在正对角元的上三角阵C,使得A=CC 6.设A∈RmXn.求证对于任意的t>0∈R,tE+AA是正定矩阵 7.设对称阵A=(a1)∈Rnx是正定的,证明存在正定阵B,使得A=B2 8.设A是R上n阶对称阵.则下列叙述是等价的 (1)A为半定阵; (2)对任意a>0,aE+A正定; (3)存在秩为r的n阶实矩阵B,r<n,使A=BTB (4)A的所有主子式≥0 9.A,B为正定阵,且AB=BA,则AB正定
K VI 4. (1) A, B n OK IE A + B K I ABA 5 K I (2) A K I c > 0, E cA K I (3) A K E A−1 , A∗ K 5. A K E A SW$O[BDT$M' 6. A n OK IyL |A + E| > 0. bpn 1. Lm'+ f(x1, x2, · · · , xn) = X k i=1 (bi1x1 + bi2x2 + · · · + binxn) 2 R ?$lVI B R B = b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n · · · · · · · · · bk1 bk2 · · · bkn 2. 64'+[-R _4# 6v%) NE -4K CG'+ R ? 1, CG'+ R ? 2 x/; 0. 3. A n OK ID R n S ; (X, Y ) = XT AY, Lm (−, −) 64qE& ;a64s \J 4. $ I A K -4K A >TW ? 5. A R n O$ IE$bK I (1) A K (4) D!MI B, A = BT DB, uS D K $MI (5) DK$MB MI C, A = C T C. 6. A ∈ R m×n. yL$?: t > 0 ∈ R, tE + AT A K VI 7. $ I A = (aij ) ∈ R n×n K LmDK I B, A = B2 . 8. A R n O$ IE$b0Æ I (1) A I (2) $: a > 0, aE + A K (3) DR r n OVI B, r TW ≥ 0. 9. A, B K Ix AB = BA, E AB K 5
10.设 as A 1a2 a2 其中a≠a,1≤i≠j≤s.若B=AA是正定阵,求s的值 11.已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x2+(1-a)2+2n3+2(1+a)x1x2的秩为2 (2)求正交替换X=QY,把f(x1,x2,x3)化成标准形; (3)求方程f( 12.设A是n阶反对称矩阵求证A必合同于dag{S,…,S.0,…,0},其中S=(01 且若r(A)=2r,则有r个S 11.实反对称矩阵的行列式总是非负实数 3.设A=(a1)是R上n阶正定阵求证:二次型 a1 a21a22 是负定二次型 B 是实对称阵,其中a11<0,B是n-1阶正定阵.求证: (1)B-a1i1aa是正定矩阵 (2)A的符号差为n-2 )A A=(a4,a3)称为基a1,a2,…,an的度量矩阵 1)在取定n维欧氏空间V的一个基的前提下,内积与度量矩阵互相唯一确定; (2)度量矩阵是实对称阵; (3)n维欧氏空间V的不同基下的度量矩阵是合同的; (4)当基a1,a2,……,an是正交基时,度量矩阵是对角阵;当基a1,a2,……,an是标准正交基时,度 量矩阵是单位阵E
10. A = 1 1 · · · 1 a1 a2 · · · as a 2 1 a 2 2 · · · a 2 s · · · · · · · · · · · · a n−1 1 a n−1 2 · · · a n−1 s , uS ai 6= aj , 1 ≤ i 6= j ≤ s. B = AT A K Iy s O 11. 7M'+ f(x1, x2, x3) = (1 − a)x 2 1 + (1 − a)x 2 2 + 2x 2 3 + 2(1 + a)x1x2 R 2. (1) y a O (2) yKLB X = QY , f(x1, x2, x3) AÆ V, (3) y+ f(x1, x2, x3) = 0 R 12. A n O)$ VIyL A >? diag{S, . . . , S, 0, . . . , 0}, uS S = 0 1 −1 0 x r(A) = 2r, E> r 4 S. 11. )$ VI -b X ,0 13. A = (aij ) R n OK IyL'+ g(x1, x2, · · · , xn) = a11 a12 · · · a1n x1 a21 a22 · · · a2n x2 . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann xn x1 x2 · · · xn 0 0 '+ 14. A = a11 α T α B $ IuS a11 (α, β) = x1, x2, · · · , xn A y1 y2 · · · yn , A = ((αi , αj ))i,j D α1, α2, · · · , αn "`VI (1) Dz n s \J V 64D w$qE"`VI( 6} (2) "`VI $ I (3) n s \J V D$ "`VI > (4) D α1, α2, · · · , αn KLD"`VI $MID α1, α2, · · · , αn VKLD" `VI !I E. 6