厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第八章欧氏空间 §82标准正交基 在三维空间的解析几何中,取三个两两正交的向量作为直角坐标系,作为讨论问题的基础.受此启发 本节定义标准正交基的概念 定义8.2.1设欧氏空间V的一组向量a1,a2 m满足 (aa,aj)=0,(i≠j;i,=1,2,…,m) 则称为一正交向量组.若还满足 la=1(i=1,2,…,m), 则称为标准正交向量组 定理8.21欧式空间中的正交向量组必线性无关 am是V中一个正交向量组, a1a1+a202+…+amOm=0. 则对于任意的i(1≤i≤m),有 (a1a1+a2a2+…+amm,a)=0 而(a,a)=0,故a1(a3,a1)=0.因为a;≠0,故a1=0. 定义822欧氏空间V中一个两两正交的向量组构成的基称为正交基,若正交基的每个向量都是单位 向量,则称为标准正交基 例1在欧式空间Rn中,E1,E2,…,En是一个标准正交基.向量组E1,22,…,nEn是个正交基, 但不是一个标准正交基.向量组a1=(1,0,0,……,0),a2=(1,1,0,…,0)2,a3=(1,1,1,…,0)2, an=(1,1,1,…,1)是一个基,但不是正交基 在标准正交基下,向量的坐标可以用内积表示,即 a=(a,51)1+(a,52)2+…+(a,5n)n, 其中51,52,…,5n是n维欧氏空间V的一个标准正交基.事实上,设a=a151+a252+…+an5n.则 (51,a)=(s,a151+a252+…+an5n)=a1(i=1,2,……,n) 在标准正交基下,向量的内积有特别简单的表示式.设a=a151+a22+…+an5n,B=b151+ b252+…+bn5n,则 (a, B)=a1b1+a2b2 +..+anbn
,q 85$ T "R IP %Z 59.77.1.116; Ku gdjpkc.xmu.edu.cn Æ §8.2 O%_N#X)JA^6ggUR#3hi$YSj *i$n' #F~. V(B aURF#4z m 8.2.1 {_N V #=f3h α1, α2, · · · , αm oe (αi , αj ) = 0, (i 6= j;i, j = 1, 2, · · · , m), Q$= rw. Eoe |αi | = 1(i = 1, 2, · · · , m), Q$ krw. mu 8.2.1 {_N V ^#UR3hf17(: y α1, α2, · · · , αm V ^=6UR3hf a1α1 + a2α2 + · · · + amαm = 0. Q+IA# i(1 ≤ i ≤ m), G (a1α1 + a2α2 + · · · + amαm, αi) = 0. , (αi , αj ) = 0, 9 ai(αi , αi) = 0. C$ αi 6= 0, 9 ai = 0. ✷ m 8.2.2 {_N V ^=6ggUR#3hf8#F$URFURF#p63h) & 3hQ$ krp. v 1 O{_N R n ^ ε1, ε2, · · · , εn =6 aURF3hf ε1, 2ε2, · · · , nεn =6URF Æ=6 aURF3hf α1 = (1, 0, 0, · · · , 0)T , α2 = (1, 1, 0, · · · , 0)T ,α3 = (1, 1, 1, · · · , 0)T ,· · ·, αn = (1, 1, 1, · · · , 1)T =6F ÆURF O aURF+3h#j ^?EwG I α = (α, ξ1)ξ1 + (α, ξ2)ξ2 + · · · + (α, ξn)ξn, |^ ξ1, ξ2, · · · , ξn n %{_N V #=6 aURF α = a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn. Q (ξi , α) = (ξi , a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn) = ai(i = 1, 2, · · · , n). O aURF+3h#wGG O # α = a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, β = b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn, Q (α, β) = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn, 1
也可以表示为( Parseval等式) (a,B)=(a,51)(B,51)+(a,52)(B,52)+…+(a,5n)(B,5n) 事实上,(a,B)=(a151+a252+…+ann,b151+b22+…+bnn)=∑=1b1(51,5)=∑a=12b 下面根据内积的特点来讨论构造标准正交基的方法 定理82.2( Schmidt正交化)对于欧氏空间V的一个线性无关向量组a1,a2,……,as,必存在标准正 交向量组1,72,…,7s,使得对于任意的r(1≤r≤s),总有 证明对于线性无关向量组a1,a2,…,as,进行 Schmidt正交化 B1 B2 (a2,B1) (B1,1) (ar, Bi)o(ar, B2) 4. 显然有 r)=(61,B2,……,Bn),(r=1,2,…,s) 下面证明1,B2,…,Bs两两正交,对r做数学归纳法 首先(,2)=(,2-倍33)=(a,a2)-{2ma)(a1,a1)=0 假设61,B2,…,月-1两两正交,则 (B,B2) 与B1,B2,……,Br-1两两正交.事实上,对任意j(1≤j≤r-1), (,B)=(3,a-∑=1 =(,0)-(1,=1,分) (;,B) (,3) (3,ar)-(ax,3) 根据归纳法,B1,B2,…,B。两两正交.再进行单位化, 则71,72,…,7s是标准正交向量组且对于任意的r,(r=1,2,…,s),有 )=(61,…,B-}=
<^? $ (Parseval $) (α, β) = (α, ξ1)(β, ξ1) + (α, ξ2)(β, ξ2) + · · · + (α, ξn)(β, ξn). (α, β) = (a1ξ1+a2ξ2+· · ·+anξn, b1ξ1+b2ξ2+· · ·+bnξn) = Pn i,j=1 aibj (ξi , ξj ) = Pn i=1 aibi . +s7\wG# 'an8P aURF#1/ mu 8.2.2(Schmidt ro) +I{_N V #=617(:3hf α1, α2, · · · , αs, O aU R3hf γ1, γ2, · · · , γs, Æ"+IA# r(1 ≤ r ≤ s), dG hα1, · · · , αri = hγ1, · · · , γri. y +I17(:3hf α1, α2, · · · , αs, Y6 Schmidt URD β1 = α1, β2 = α2 − (α2, β1) (β1, β1) β1, · · · βr = αr − (αr, β1) (β1, β1) β1 − (αr, β2) (β2, β2) β2 − · · · − (αr, βr−1) (βr−1, βr−1) βr−1, (r = 3, 4, · · · , s). .G hα1, α2, · · · , αri = hβ1, β2, · · · , βri, (r = 1, 2, · · · , s). +sVt β1, β2, · · · , βs ggUR+ r h8<v/ - (β1, β2) = (α1, α2 − (α2,β1) (β1,β1) β1) = (α1, α2) − (α2,α1) (α1,α1) (α1, α1) = 0. L β1, β2, · · · , βr−1 ggURQ βr = αr − Xr−1 i=1 (αr, βi) (βi , βi) βi J β1, β2, · · · , βr−1 ggUR +A j(1 ≤ j ≤ r − 1), (βj , βr) = (βj , αr − Pr−1 i=1 (αr,βi) (βi,βi) βi) = (βj , αr) − (βj , Pr−1 i=1 (αr,βi) (βi,βi) βi) = (βj , αr) − Pr−1 i=1 (αr,βi) (βi,βi) (βj , βi) = (βj , αr) − (αr,βj) (βj ,βj) (βj , βj ) = (βj , αr) − (αr, βj ) = 0 . 7\<v/ β1, β2, · · · , βs ggURNY6 &D γi = βi |βi | (i = 1, 2, · · · , s). Q γ1, γ2, · · · , γs aUR3hf+IA# r,(r = 1, 2, · · · , s), G hα1, · · · , αri = hβ1, · · · , βri = hγ1, · · · , γri. ✷ 2
推论8.2.1有限维欧氏空间必有标准正交基 推论8.2.2有限维欧氏空间V的任意标准正交向量组都可扩为V的标准正交基 证明设51,2,…,5r是n(<m)维欧氏空间V的标准正交向量组,扩充成为V的一个基51,5 sr,ar+1,……,an.对这个基做正交化和单位化,这个过程中51,2,…,r不变,得到标准正交基 例2求与向量组a1=(1,1,1,1),a2=(1,-2,-3,-4)2,a3=(1,2,2,3)等价的一个标准正交 向量组 解先利用 Schmidt正交化方法求出与a1,a2,a3等价的正交向量组 B1=a1=(1,1,1,1)2 B2=02-(2Ba2=(1,-2,-3-47-1-2-3-4 (1,1,1,1) (B1,B1) 1+1+1+1 =(1,-2,-3,-4)+2(1,1,1,1)=(3,0 (a3,B1)a(a3,B2) B B2,B2) (1,2,2,3)2 (1,1,1,1)2 239-01+180-1-2=(0-7 再将B1,B2,B3单位化,得到 B1=-(1,1,1,1)2 2222 2 √h4√ 54 0, 4y42√ n1,72,73即是所求向量组 空间V的两个标准正交基,Q是从标准正交基51,52,…En到标准正交基,,…,m是n维欧氏 现在考虑n维欧氏空间V的两个标准正交基的联系.设!1 5n和 ,Tn的过渡矩阵 即 (m1,m2,…,m)=(51,2,…,5n)Q ∑k=1∑1=19kq(k,分)j51+g2+…+n5n) k 所以QQ=E
}x 8.2.1 G0%{_NG aURF }x 8.2.2 G0%{_N V #A aUR3hf)^`$ V # aURF y ξ1, ξ2, · · · , ξr n(r ^ ξ1, ξ2, · · · , ξr Æ"! aURF ξ1, · · · , ξr, ξr+1, · · · , ξn. ✷ v 2 J3hf α1 = (1, 1, 1, 1)T , α2 = (1, −2, −3, −4)T , α3 = (1, 2, 2, 3)T $M#=6 aUR 3hf s - E Schmidt URD1/J α1, α2, α3 $M#UR3hf β1 = α1 = (1, 1, 1, 1)T , β2 = α2 − (α2, β1) (β1, β1) β1 = (1, −2, −3, −4)T − 1 − 2 − 3 − 4 1 + 1 + 1 + 1 (1, 1, 1, 1)T = (1, −2, −3, −4)T + 2(1, 1, 1, 1)T = (3, 0, −1, −2)T , β3 = α3 − (α3, β1) (β1, β1) β1 − (α3, β2) (β2, β2) β2 = (1, 2, 2, 3)T − 1 + 2 + 2 + 3 1 + 1 + 1 + 1 (1, 1, 1, 1)T − 3 − 2 − 6 9 + 1 + 4 (3, 0, −1, −2)T = (1, 2, 2, 3)T − 2(1, 1, 1, 1)T + 5 14 (3, 0, −1, −2)T = ( 1 14 , 0, − 5 14 , 4 14 ) T . NQ β1, β2, β3 &D"! γ1 = 1 |β1| β1 = 1 2 (1, 1, 1, 1)T = (1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 ), γ2 = 1 |β2| β2 = 1 √ 14 (3, 0, −1, −2)T = ( 3 √ 14 , 0, − 1 √ 14 , − 2 √ 14 ), γ3 = 1 |β3| β3 = 14 √ 42 ( 1 14 , 0, − 5 14 , 4 14 ) T = ( 1 √ 42 , 0, − 5 √ 42 , 4 √ 42 ). γ1, γ2, γ3 I3hf /O℄m n %{_N V #g6 aURF#f* ξ1, ξ2, · · · , ξn η1, η2, · · · , ηn n %{ _N V #g6 aURF Q aURF ξ1, ξ2, · · · , ξn ! aURF η1, η2, · · · , ηn #>*[T I (η1, η2, · · · , ηn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)Q. K Q = (qij )n×n, Q δij = (ηi , ηj ) = (q1iξ1 + q2iξ2 + · · · + qniξn, q1j ξ1 + q2j ξ2 + · · · + qnj ξn) = Pn k=1 Pn l=1 qkiqlj (ξk, ξl) = Pn k=1 Pn l=1 qkiqlj δkl = Pn k=1 qkiqkj . ? QTQ = E. 3
定义823一个n阶实方阵Q称为正交阵如果QQ=E 定理8.23设51,52,…,5n和m1,m2,…,mn是n维欧氏空间V的两个向量组,满足 (m1,m2,…,mn)=(51,2,…,5n)Q 其中Q是n阶实方阵.则 (1)若51,52,…,5n和m,m,……,mn是V的标准正交基,则Q是正交矩阵,且是从标准正交基 1,52,……,5n到标准正交基n1,n,…,mn的过渡矩阵; (2)若51,52,…,5n是V的一个的标准正交基,Q是正交矩阵,则m,m2,……,mn也是V的一个标 准正交基 证明(1)由上面的讨论即得 (2)设Q是正交矩阵,即QQ=E.又因为(k,)=6k(k,=1,2,…,n),所以 (n,n) =(q1x51+22+…+qmnn,q1j51+gj52+…+qnn) 19(55) k=1 ki q i,j=1,2,…,n.所以m,,…,mn是个标准正交基, 定理82.4(1)正交阵是可逆阵且其逆矩阵也为正交阵; (2)两个正交阵的乘积还是正交阵; (3)一个n阶实方阵Q是正交阵的充分必要条件是QT=Q-1 记n阶正交阵Q=(X1,X2,…,Xn),因为QQ=E,所以X1x=61(,j=1,2,…,n) 故在欧氏空间Rn中,(X,X)=6(i,j=1,2,……,n).这样Q的列向量组是欧氏空间Rn的标 准正交基;反之,若X1,X2,……,Xn是R”的标准正交基,则(X,X)=6(,j=1,2,…,n),即 xx=6(,j=1,2,…,n)所以QQ=E,Q是正交阵同理,Q是正交阵的充分必要条件是Q 的行向量组是欧氏空间Rn的标准正交基 欧氏空间中向量组的正交可以推 设U是欧氏空间V的欧氏子空间,如果向量B与U中的所有向量正交,则称向量B与子空间U正 交,记为(B,U)=0.V中所有与U正交的向量构成的集合记为U-,即 B∈v|(,U)=0} 因为零向量与任意向量正交,所以0∈U,故U≠0.设B1,B2∈U-,c∈R.对于任意的a∈U,有 (B1,a)=0.(B2,a)=0.所以(1+B2,a)=(1,a)+(B2,a)=0.(c61,a)=c(1,a)=0.故 B1+B2∈U+,cB1∈U1.这样,U是V的子空间.子空间U称为U的正交补空间 定理8.2.5设U是欧氏空间V的有限维子空间,则 证明若a∈U∩U,则(a,a)=0,所以a=0,因此U∩U=0
m 8.2.3 =6 n U 1T Q $ r, = QTQ = E. mu 8.2.3 ξ1, ξ2, · · · , ξn η1, η2, · · · , ηn n %{_N V #g63hfoe (η1, η2, · · · , ηn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)Q, |^ Q n U 1TQ (1) ξ1, ξ2, · · · , ξn η1, η2, · · · , ηn V # aURFQ Q UR[T aURF ξ1, ξ2, · · · , ξn ! aURF η1, η2, · · · , ηn #>*[T (2) ξ1, ξ2, · · · , ξn V #=6# aURF Q UR[TQ η1, η2, · · · , ηn < V #=6 aURF y (1) Fs#nI" (2) Q UR[TI QTQ = E. HC$ (ξk, ξl) = δkl(k, l = 1, 2, · · · , n), ? (ηi , ηj ) = (q1iξ1 + q2iξ2 + · · · + qniξn, q1j ξ1 + q2j ξ2 + · · · + qnj ξn) = Pn k=1 Pn l=1 qkiqlj (ξk, ξl) = Pn k=1 Pn l=1 qkiqlj δkl = Pn k=1 qkiqkj = δij , i, j = 1, 2, · · · , n. ? η1, η2, · · · , ηn =6 aURF ✷ mu 8.2.4 (1) URT^yT|y[T<$URT (2) g6URT#GEURT (3) =6 n U 1T Q URT#3; P QT = Q−1 . K n UURT Q = (X1, X2, · · · , Xn), C$ QTQ = E, ? XT i Xj = δij (i, j = 1, 2, · · · , n). 9O{_N R n ^ (Xi , Xj) = δij (i, j = 1, 2, · · · , n). S: Q #j3hf{_N R n # aURF0X X1, X2, · · · , Xn R n # aURFQ (Xi , Xj) = δij (i, j = 1, 2, · · · , n), I XT i Xj = δij (i, j = 1, 2, · · · , n). ? QTQ = E, Q URT b Q URT#3; P Q #63hf{_N R n # aURF {_N^3hf#UR^? ; U {_N V #{b_N=3h β J U ^#G3hURQ3h β Jb_N U U RK$ (β, U) = 0. V ^GJ U UR#3h8#HBK$ U ⊥, I U ⊥ = {β ∈ V | (β, U) = 0}. C$k3hJA3hUR? 0 ∈ U ⊥, 9 U ⊥ 6= ∅. β1, β2 ∈ U ⊥, c ∈ R. +IA# α ∈ U, G (β1, α) = 0, (β2, α) = 0. ? (β1 + β2, α) = (β1, α) + (β2, α) = 0. (cβ1, α) = c(β1, α) = 0. 9 β1 + β2 ∈ U ⊥, cβ1 ∈ U ⊥. S: U ⊥ V #b_Nb_N U ⊥ $ U # rltq. mu 8.2.5 U {_N V #G0%b_NQ V = U ⊕ U ⊥. y α ∈ U ∩ U ⊥, Q (α, α) = 0, ? α = 0, C U ∩ U ⊥ = 0. 4
下面证明V=U+U-.对任意a∈V,由推论82.1知,必存在U的一个标准正交基￡1,E2……,5m 令 B=(a,1)51+(a52)2+…+(a,5m)5 则B∈U.又令=a-B,则对任意5(1≤i≤m,有(,)=(a,5)-(,5)=0.所以∈U, 而a=B+7.从而V=UU成立 利用标准正交基,容易讨论欧氏空间的同构.欧氏空间的同构映射除了保持线性运算外,自然要保持内 定求824设V,U是两个欧氏空间,φ:V→U是线性映射,如果φ是线性空间同构映射且满足: 对于任意的a,B∈V,有 (y(a),y(6)=(a,B) 则称φ是欧氏空间的同构映射,也称V,U是同构的欧氏空间,并记为VU. 欧氏空间的同构关系满足 (1)反身性,即VV (2)对称性,即若VW,则WV (3)传递性,即若VW,WU,则VU 定理8.2.6任意n维欧氏空间都同构于欧氏空间Rn 证明设51,52,…,5n是V的一个标准正交基,E1,E2,……,En是Rn的标准正交基,令φ为如下定 义的线性映射V→Rn:p(1)=i(i=1,2,……,n).则显然φ是线性空间的同构并且对任意a,B∈V, a=a151+a252+…+an5n,B=b151+b22+…+bnn,有 (y(a),g(6)=(a1(51)+a2(52)+…+any(n),b9(51)+b2y(52)+…+bny(En)) (a1E1+a22+…+anEn,b1=1+b2E2+…+bnEn) a,b1+a2 (a,B) 由定理8.2.6,自然有 定理8.27两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相等. 最后用几个例子结束本节 例3设A是实数域上m×n矩阵,U是A的行向量的转置生成的子空间,V是线性方程组AX=0 的解空间,则V=U-,且Rn=UV 证明设A的行向量为a,a2,…,amn,即a1∈Rn,(1≤i≤m),且 U 对于AX=0的任意解B,因为AB=0,即(a2B)=0i=1,2,…,m).所以V≤U.反之,设 B∈U,则(,a)=0(i=1,2,…,m).故A8=0.所以UgV.这样V=U 由定理8.2.5知Rn=U⊕V 例4设B是秩为2的5×4矩阵,a1=(1,1,2,3)2,a2=(-1,1,4,-1),a3=(65,-1,-8,9) 是齐次线性方程组BX=0的解向量.求BX=0解空间的一个标准正交基
+sVt V = U +U ⊥. +A α ∈ V , F n 8.2.1 W O U #=6 aURF ξ1, ξ2, · · · , ξm. l β = (α, ξ1)ξ1 + (α, ξ2)ξ2 + · · · + (α, ξm)ξm, Q β ∈ U. Hl γ = α − β, Q+A ξi(1 ≤ i ≤ m), G (γ, ξi) = (α, ξi) − (β, ξi) = 0. ? γ ∈ U ⊥, , α = β + γ. , V = U ⊕ U ⊥ e ✷ E aURFn{_N# 8{_N# 8D i17M! ;w G m 8.2.4 V, U g6{_N ϕ : V → U 17D = ϕ 17_N 8D oe +IA# α, β ∈ V , G (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β), Q ϕ {_N# |nz, < V, U 8#{_N K$ V ∼= U. {_N# 8:*oe (1) 0 7I V ∼= V ; (2) +7I V ∼= W, Q W ∼= V ; (3) &7I V ∼= W, W ∼= U, Q V ∼= U. mu 8.2.6 A n %{_N) 8I{_N R n. y ξ1, ξ2, · · · , ξn V #=6 aURF ε1, ε2, · · · , εn R n # aURFl ϕ $+( B#17D V → R n: ϕ(ξi) = εi(i = 1, 2, · · · , n). Q. ϕ 17_N# 8 +A α, β ∈ V , α = a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, β = b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn, G (ϕ(α), ϕ(β)) = (a1ϕ(ξ1) + a2ϕ(ξ2) + · · · + anϕ(ξn), b1ϕ(ξ1) + b2ϕ(ξ2) + · · · + bnϕ(ξn)) = (a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, b1ε1 + b2ε2 + · · · + bnεn) = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn = (α, β). C ϕ 8 ✷ F(b 8.2.6, G mu 8.2.7 g6G0%{_N 8#3; Pr#%2$ gCEJ6dbWV v 3 A K m×n [TU A #63h#`\ #b_NV 171f AX = 0 #X_NQ V = U ⊥, R n = U ⊕ V . y A #63h$ α T 1 , αT 2 , · · · , αT m, I αi ∈ R n ,(1 ≤ i ≤ m), U = hα1, α2, · · · , αmi. +I AX = 0 #AX β, C$ Aβ = 0, I (αi , β) = 0(i = 1, 2, · · · , m). ? V ⊆ U ⊥. 0X β ∈ U ⊥, Q (β, αi) = 0(i = 1, 2, · · · , m). 9 Aβ = 0. ? U ⊥ ⊆ V . S: V = U ⊥. F(b 8.2.5 W R n = U ⊕ V . v 4 B ℄$ 2 # 5 × 4 [T α1 = (1, 1, 2, 3)T , α2 = (−1, 1, 4, −1)T , α3 = (5, −1, −8, 9)T }171f BX = 0 #X3h BX = 0 X_N#=6 aURF 5
解r(B)=2,所以解空间的维数是2.经验证,a1,a2线性无关,可作为解空间的一个基.运用正交 化方法,令 B1) 4210_T 再经过单位化,得到 (1,1,2,3)2,=-(-2,1,5,-3)2 则m,n2是BX=0解空间的一个标准正交基 习题 1.已知a1=(0,2,1,0),a2=(1,-1,0,0),a3=(1,2,0,-1),a4=(1,0,0,1)是欧氏空间R4的 一个基.对这个基做 Schmidt正交化,求R4的一个标准正交基 2.求齐次线性方程组 x1-x3+x4=0 的解空间的标准正交基,并求与解空间正交的所有向量 3.设Ⅵ1,V2是n维欧氏空间v的子空间 (1)(V)=V (2)v∈V,则VgⅥ (3)(v1+V)=Ⅵ∩V2 (4)(V1∩v2)=Ⅵ+V 4.(1)实对角阵是正交阵,则其对角元为±1; (2)上(下)三角阵是正交阵,则其为对角阵且对角元为±1 (3)(cs )(cm6m)正交 (4)设Q是二阶正交阵,则Q只能是(3)中出现的两种形式 5.设a1,a2,…,am是欧氏空间V中的非零正交向量组,a是V中的任一向量,证明下面的 Bessel 不等式 ksI lox/2/a/2 且等号成立的充分必要条件是 6.写出§8.1的例1和例2中Rn作为不同两种内积的不同的欧氏空间之间的同构映射 7.证明V的子空间U的正交补空间是唯一的,即若V=U⊕W,且对于任意的a∈U和任意的 B∈W,都有(a,B)=0,则W=U
s r(B) = 2, ?X_N#% 2. Z9V α1, α2 17(:^i$X_N#=6FMEUR D1/l β1 = α1 = (1, 1, 2, 3)T , β2 = α2 − (α2, β1) (β1, β1) β1 = (−1, 1, 4, −1)T − 1 3 (1, 1, 2, 3)T = (− 4 3 , 2 3 , 10 3 , −2)T . NZ> &D"! γ1 = 1 √ 15 (1, 1, 2, 3)T , γ2 = 1 √ 39 (−2, 1, 5, −3)T . Q γ1, γ2 BX = 0 X_N#=6 aURF ~{ 1. >W α1 = (0, 2, 1, 0), α2 = (1, −1, 0, 0), α3 = (1, 2, 0, −1), α4 = (1, 0, 0, 1) {_N R 4 # =6F+S6Fh Schimidt URD R 4 #=6 aURF 2. }171f x1 − x3 + x4 = 0 x2 − x4 = 0 #X_N# aURF JX_NUR#G3h 3. V1, V2 n %{_N V #b_N (1) (V ⊥ 1 ) ⊥ = V1; (2) V1 ⊆ V2, Q V ⊥ 2 ⊆ V ⊥ 1 ; (3) (V1 + V2) ⊥ = V ⊥ 1 ∩ V ⊥ 2 ; (4) (V1 ∩ V2) ⊥ = V ⊥ 1 + V ⊥ 2 . 4. (1) +STURTQ|+SL$ ±1; (2) (+) STURTQ|$+ST+SL$ ±1; (3) cos θ − sin θ sin θ cos θ , cos θ sin θ sin θ − cos θ URT (4) Q -UURTQ Q [x (3) ^/#g_5 5. α1, α2, · · · , αm {_N V ^#2kUR3hfα V ^#=3hVt+s# Bessel Æ$ Xm k=1 |(α, αk)| 2 |αk| 2 ≤ |α| 2 ; $?e#3; P α ∈ hα1, α2, · · · , αmi. 6. 4 §8.1 #d 1 d 2 ^ R n i$Æ g_wG#Æ #{_NXN# 8D 7. Vt V #b_N U #UR _N#=#I V = U ⊕ W, +IA# α ∈ U A# β ∈ W, )G (α, β) = 0, Q W = U ⊥. 6