厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 第六章特征值 §6.4特征值的估计 教学目的和要求了解关于矩阵特征值估计的第一圆盘定理和第二圆盘定理. 实际应用中常需要考虑矩阵的特征值是否在单位圆内或者特征值的实部是否小 于零等问题 第一圆盘定理设A∈Cx",A=(a1)nxm,则A的特征值必在下列圆盘(称戈 氏圆盘)中 2-ad|≤∑|al,1≤i≤n 证明设λ是A的特征值,X=(x1,x2,…,xn)为相应特征向量,则AX=AX 改写成线性方程组形式即为 alC1+a12C2+.+alnIn= Acl a21C1+a22C2+.+a2nIn= Ax2 an1C1+an2.22+.+annEn= AIn 对X,存在,使得|xl|=max1sysn|x,显然x;≠0.取上述线性方程组的第i个方 程,适当移项后再取绝对值,得 (-a4)l=∑叫≤∑l≤∑lz 而x1≠0,因此|-al≤∑a口 1.0-0.1-0.2-1.0 例1估计下列矩阵特征值的范围,其中A 3.0-0.21.1 0.10.1-4.00.2 0.20.20.0 解所求圆盘为D1:|z-1≤1.3,D2:|z-3≤1.4,D3:|z+4≤0.4 2≤
b&3 G = IP G 59.77.1.116; 7e gdjpkc.xmu.edu.cn kln mop §6.4 BF 8C Vb\QU ^ XI:4LA BF8C !)9j#R<!*9j#R |F01K $'N\LA BF.;9hA? BF | . 4Z Ref℄SY z A ∈ C n×n , A = (aij )n×n, < A BF;Y9j (Æ5 9j) K |z − aii| ≤ X j6=i |aij |, 1 ≤ i ≤ n. g[ z λ A BFX = (x1, x2, · · · , xn) ′ 0 B W< AX = λX, 1 #,O"~B a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = λx1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = λx2 · · · an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = λxn . & X, ; i, } |xi | = max1≤j≤n|xj |, t xi 6= 0. rx#,O ! i 6, + ?:rM&F |(λ − aii)xi | = | X j6=i aijxj | ≤ X j6=i |aij ||xj | ≤ X j6=i |aij ||xi |, ) xi 6= 0, / |λ − aii| ≤ P j6=i |aij |. 2 Z 1 8CYLA BF +lK A = 1.0 −0.1 −0.2 −1.0 0.1 3.0 −0.2 1.1 0.1 0.1 −4.0 0.2 −1.0 0.2 0.2 0.0 . W o9j D1 : |z − 1| ≤ 1.3, D2 : |z − 3| ≤ 1.4, D3 : |z + 4| ≤ 0.4, D4 : |z| ≤ 1.4. 1
注1由于∫A(入)=fA(入),因此A的特征值也必在下列圆盘中 z-a|≤∑|afl,1≤i≤n 注2第一圆盘定理仅告诉我们特征值一定在某个圆盘内,并未指出是否每个圆 盘一定存在特征值 若一个戈氏圆盘与另一个戈氏圆盘是相连的,则称这两个圆盘内的区域是连通 的.即所谓连通区域是指区域内任意两点可以用全部落在该区域内的折线连接起 来.如例1中,D1,D2,D4属同一连通区域,而D3为另一连通区域 第二圆盘定理设A的n个圆盘分成若干个连通区域.若其中一个连通区域由 k个圆盘组成,则该连通区域内有且只有k个特征值(若戈氏圆盘重合,则按重数 计;若特征值为重根,也按重数计) 证明设A的特征值为A1,A2,……,An,考虑带参数t的矩阵 au ta12 taln ta21 (22 11 则A(1)=A,而A(0) 22 A(0)的特征值就是a1,a2,…,ann, 即戈氏圆盘的圆心 注意到矩阵的特征值是连续依赖于矩阵元素的,因此A(k)的特征值连续依赖 于t,记作λ(t),1≤i≤n.易知λ(0)=a,λ(1)=λ所谓连续依赖就是当t变动 时,点A(t)在复平面上画出连续的曲线.考虑t在[0,1中变动,因此点入(t)画 出的连续曲线起点为λ(0)=an,终点为λ(1)是A的特征值.现设连通区域(记 作1)由k个戈氏圆盘组成.因此A(0)的k个特征值在其中.如果A(1)=A中没 有k个特征值在区域I中,则至少有一个,使得点从入(0)连续变动到A(1),而 点λ(1)在区域I之外.A(1)是A的一个特征值,则由第一圆盘定理,A(1)必 在另一个连通部分(记作I.那么从A1(0)到入(1)的连续曲线必有一部分既不在
h 1 24 fA(λ) = fA′(λ), / A BF(;Y9jK |z − aii| ≤ X j6=i |aji|, 1 ≤ i ≤ n. h 2 !)9j#RJ4 BF)#;f69jh H.a69 j)#; BF w)659j5[)659j U UHm PvS 1 K D1, D2, D4 )U p6) D3 [)U p6 RTf℄SY z A n 69j-w26U p6wlK)6U p62 k 69jO<M Cw BFM7(MC). g[ z A BF λ1, λ2, · · · , λn. N\ t LA A(t) = a11 ta12 · · · ta1n ta21 a22 · · · ta2n · · · · · · · · · · · · tan1 tan2 · · · ann < A(1) = A, ) A(0) = a11 a22 . . . ann . A(0) BFK a11, a22, · · · , ann, B59j 9! N.LA BFU%*Q4LA8 / A(k) BFU%*Q 4 t, DP λi(t), 1 ≤ i ≤ n. -D λi(0) = aii, λi(1) = λi . U%*QK t $ {" λi(t) ;/kdxU% qN\ t ; [0, 1] K$/" λi(t) U%qm" λi(0) = aii, L" λi(1) A BFzU p6 (D P I) 2 k 659jO/ A(0) k 6 BF;lKv; A(1) = A K` 3 k 6 BF;p6 I K<Jy3)6 i, } " λi(0) U%$ λi(1), ) " λi(1) ;p6 I EÆ λi(1) A )6 BF<2!)9j#R λi(1) ;[)6U - (DP II). g_ λ1(0) λi(1) U%q3) -E ; 2
区域Ⅰ中,也不在区域Ⅱ中,也不在第一圆盘定理所述其他圆盘组成的连通区域 内.即有to,0<t<1,使得λ(0)不在所有圆盘|2-a≤∑/la,1≤i≤n 中.但λ(to)是A(to)的特征值,由第一圆盘定理,A(o)的特征值必落在某个圆 盘|-als∑|o,1≤i≤n中.而圆盘|2-o≤∑/|toa落在圆盘 12-ad|≤∑≠lo引中,与()不落在任何圆盘|-al≤∑lo1≤i≤n 中矛盾.所以A(1)=A在区域I中不可能有少于k个的特征值.同理可证,区域 Ⅰ也不可能有多于k个特征值.故区域I中只能有k个特征值 例1中,由D1,D2,D4组成一个连通区域,该区域内有3个特征值,而D3独 立组成另一个连通区域,因此此区域中有一个特征值 作业P291,2,3 思考题P2494 选做题P20
p6 I K( ;p6 II K( ;!)9j#Rl 9jO U p6 hB3 t0, 0 < t0 < 1, } λi(t0) ;39j |z − aii| ≤ P j6=i |aij |, 1 ≤ i ≤ n K λi(t0) A(t0) BF2!)9j#R A(t0) BF℄;f69 j |z − aii| ≤ P j6=i |t0aij |, 1 ≤ i ≤ n K)9j |z − aii| ≤ P j6=i |t0aij | ℄;9j |z − aii| ≤ P j6=i |aij | K5 λi(t0) ℄;u=9j |z − aii| ≤ P j6=i |aij |, 1 ≤ i ≤ n K^', A(1) = A ;p6 I K Oi3y4 k 6 BF ROCp6 I ( Oi3(4 k 6 BF9p6 I KIi3 k 6 BF 2 S 1 K2 D1, D2, D4 O)6U p60p6h3 3 6 BF) D3 % TO[)6U p6/p6K3)6 BF jd P249 1, 2, 3. _X` P249 4. ai` P250 13. 3