厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn §5.8多元多项式 教学目的与要求掌握多元多项式的字典排列法和齐次排列法,理解多元多项式 与多元多项式函数的关系 定义 设K是一个数域,x1,r2,…,xn是未定元形如axx…xm的式子称为 单项式,其中,a称为单项顶式的系数.当a≠0时,k1+…+kn称为单项式的次 数.两个单项式除系数外其余相同,称为同类项. 有限个单项式的和 f(x1,x2,…,x)=∑a1-n…t 称为n元多项式,我们总假设n元多项式表达式中同类项已经合并.n元多项式 的次数是指系数非零的单项式的次数中最大的单项式的次数. 多元多项式的运算 两个多项式相等,如果所有同类项的系数全部相等.定义两个多项式加法,将 所有同类项系数相加.两个单项式a1x2…mm和br1n2…xh的乘法为 (ax1n2…xmn)(bar1z2…mn)=ab1+n2+2…xnm+m 两个多项式乘法即按分配律化为各单项式乘积之和.多项式的数乘定义为 c∑an2…)=∑m1n… 记K{x1,r2,…,xn为数域K上n元多项式的全体,则K[r1 r在上 面定义的加法,数乘,乘法运算构成带单位元的交换的κ-代数. 字典排列法与齐次排列法 字典排列法每个单项式ar1x2…n对应n元数组(i,i2,…,in).两个数组 (i1,i2,……,in),(ij2,…,jin).若满足:i1=ji,i2=j2,…,it-1=j-1,i>i,则称
?{!PA*$%_ 5k IP -s 59.77.1.116; d gdjpkc.xmu.edu.cn §5.8 4e4F l:4e4F ({.o7L o7ka4e4F b4e4F K$(H= U0Y K UB$ x1, x2, · · · , xn 70eJ axk1 1 x k2 · · · x kn ( z6 %F x a 6%F (=$& a 6= 0 k1 + · · · + kn 6%F ( $nB%F =$4 aE363jF _CB%F (L f(x1, x2, · · · , xn) = Xai1i2···in x i1 1 x i2 2 · · · x in n 6 n e4F 9||[ n e4F Æ x3jFV M n e4F ( $ t=$:p(%F ( $x (%F ( $ 64e4F (g) nB4F E)J*_3jF(=$E)0YnB4F Z7℄ *_3jF=$EZnB%F ax i1 1 x i2 2 · · · x in n L bxj1 1 x j2 2 · · · x jn n (76 (ax i1 1 x i2 2 · · · x in n )(bxj1 1 x j2 2 · · · x jn n ) = abxi1+j1 1 x i2+j2 2 · · · x in+jn n . nB4F 7V;tP6C%F UrL4F ($0Y6 c( Xai1i2···in x i1 1 x i2 2 · · · x in n ) = Xcai1i2···in x i1 1 x i2 2 · · · x in n . X K[x1, x2, · · · , xn] 6$ K n e4F (0i K[x1, x2, · · · , xn] h }0Y(Z7$7g)F"%8e(^Q( K- #$ {.o7b o7 Æ zB%F axi1 1 x i2 2 · · · x in n 2\ n e$~ (i1, i2, · · · , in). nB$~ (i1, i2, · · · , in),(j1, j2, · · · , jn). w} i1 = j1, i2 = j2, · · · , il−1 = jl−1, il > jl , i 1
(i1,i2,…,in)先于(i1,j2,…,jn),记(i1,i2,…,in)>(i1,j2, 这样就给所有 n元数组一个顺序,对应地给所有单项式一个顺序. 注字典排列法中首项系数未必次数最大,末项也未必次数最小 一个多项式f(x1,x2,…,xn)称为k次齐次多项式,如果它的每个单项式都是 k次,即 1x2…xm,其中1+12+…+in 两个次数相同的齐次多项式之和若非零,必仍为同次齐次多项式;任意两个齐次多 项式的乘积仍为齐次多项式 齐次排列法将多项式各次数相同的项放在一起,用次数高低表为若干个齐次多 项式之和 注当n=1时,不论是字典排列法或齐次排列法,与一元多项式的次数排列法 一致 四.多项式乘法的性质 引理若∫(x1,x2,…,xn)g(x1,m2,…,xn)且非零,按字典排列法,乘积f(x1,x2 ,rn)g(x1,r2,…,xn)的首项等于f(x1,x2,……,xn)与g(x1,x2,……,xn)的首项之 积 证明按字典排序法,设am1x2…m时f(x1,x2,…,xn)的首项,bx12x2…mn 是g(x1,x2,…,xn)的首项,c2…x是f(x1,x2,…,xn)的非首项的任一单 项式,d12…mn是g(x1,x2,…,xn)的非首项的任一单项式.则 (i1,i2,……,in)>(k1,k2,…,kn) >(r1,T 显然 (1+j1,i2+j2,…,in+jn)>(k1+r1,k2+r2,…,kn+rn) (i1+j1,i2+j2, n)>(i1+r1,i2+ (1+j1,2+j +jn)>(k1+ji,k2+j2, +n)
(i1, i2, · · · , in) ` (j1, j2, · · · , jn), X (i1, i2, · · · , in) > (j1, j2, · · · , jn). nQdD*_ n e$~UB&N2\,D*_%F UB&N {.o7x#F=$7 $ FS7 $G UB4F f(x1, x2, · · · , xn) 6 k 4F J,(zB%F 1 k V f(x1, x2, · · · , xn) = Xai1i2···in x i1 1 x i2 2 · · · x in n , xi1 + i2 + · · · + in = k. nB $E3( 4F rL:p 63 4F XnB 4 F (U6 4F Æ ℄4F C $E3(F9hU ℄ $+Æ6?B 4 F rL & n = 1 u {.o7S o7bUe4F ( $o7 Uv '4F 7(Lw f(x1, x2, · · · , xn),g(x1, x2, · · · , xn) :p{.o7U f(x1, x2, · · · , xn)g(x1, x2, · · · , xn) (#F)` f(x1, x2, · · · , xn) b g(x1, x2, · · · , xn) (#Fr U {.N7 axi1 1 x i2 2 · · · x in n f(x1, x2, · · · , xn) (#Fbxj1 1 x j2 2 · · · x jn n g(x1, x2, · · · , xn) (#F cx k1 1 x k2 2 · · · x kn n f(x1, x2, · · · , xn) (:#F(U% F dxr1 1 x r2 2 · · · x rn n g(x1, x2, · · · , xn) (:#F(U%F i (i1, i2, · · · , in) > (k1, k2, · · · , kn) (j1, j2, · · · , in) > (r1, r2, · · · , rn) A (i1 + j1, i2 + j2, · · · , in + jn) > (k1 + r1, k2 + r2, · · · , kn + rn) (i1 + j1, i2 + j2, · · · , in + jn) > (i1 + r1, i2 + r2, · · · , in + rn) (i1 + j1, i2 + j2, · · · , in + jn) > (k1 + j1, k2 + j2, · · · , kn + jn) 2
所以(ab)1+2+…m+n是f(x1,x2,…,xn)g(x1,x2,…,xn)的首项 命题若f(x1,x2,……,xn)≠0,g(x1,x2,…,xn)≠0,则 ∫(x1,x2,…,xn)g(x1,x2,……,xn)≠0. 证明因为∫(x1,n2,…,xn)与9(x1,x2,…,x)的首项不为0,故f(x1,x2,…, xn)9(x1,x2,……,xn)的首项不为0,所以f(x1,x2,…,xn)9(x1,x2,……,xn)≠0. 推论若h(x1,x2,……,xn)≠0,若 f( 1,t )h(x1,x2,…,xn)=9(x1,x2 nh (x1,2, ) 则 ∫(x1,x2,……,xn)=9(x1,x2,……,xn) 五.多元多项式与多元多项式函数的关系 引理设0≠f(x1,x2,…,xn)∈K{1,2,……,],则必存在a1,a2,…,an∈K 使得f(a1,a2,…,an)≠0. 证明对未定元个数n作归纳法.当n=1时,f(x)在K上最多只有m个 根,故总存在a∈K,使f(a)≠0 现设对n-1个未定元的多项式结论成立,将f(x1,x2,…,xn)表为未定元rn 的多项式: )=bm In+b, +bltn t bo 其中b=b1(x1,x2,……,xn-1)∈K{x1,x2,…,xn-l].因f(x1,x2,…,xn)≠0,故可设 bm(x1,…,xn-1)≠0.由归纳假设知存在a1,a2,…,an-1,使bn(a1,…,an-1)≠0 因而 an-1)xm++…+bo(a1,a2, 是以xn为未定元的一元m次非零多项式,故存在an∈K,使f(a1,a2,…,an-1,an)≠
*W (ab)x i1+j1 1 x i2+j2 2 · · · x in+jn n f(x1, x2, · · · , xn)g(x1, x2, · · · , xn) (#F 2 f(x1, x2, · · · , xn) 6= 0, g(x1, x2, · · · , xn) 6= 0, i f(x1, x2, · · · , xn)g(x1, x2, · · · , xn) 6= 0. Z6 f(x1, x2, · · · , xn) b g(x1, x2, · · · , xn) (#F6 0, G f(x1, x2, · · · , xn)g(x1, x2, · · · , xn) (#F6 0, *W f(x1, x2, · · · , xn)g(x1, x2, · · · , xn) 6= 0. 2 h(x1, x2, · · · , xn) 6= 0, f(x1, x2, · · · , xn)h(x1, x2, · · · , xn) = g(x1, x2, · · · , xn)h(x1, x2, · · · , xn), i f(x1, x2, · · · , xn) = g(x1, x2, · · · , xn). ;4e4F b4e4F K$(H= 0 6= f(x1, x2, · · · , xn) ∈ K[x1, x2, · · · , xn], i h a1, a2, · · · , an ∈ K, ' f(a1, a2, · · · , an) 6= 0. 270eB$ n I7& n = 1 f(x) h K 4u_ m B EG| h a ∈ K, f(a) 6= 0. B2 n − 1 B70e(4F `um℄ f(x1, x2, · · · , xn) Æ670e xn (4F f(x1, x2, · · · , xn) = bmx m n + bm−1x m−1 n + · · · + b1xn + b0, x bi = bi(x1, x2, · · · , xn−1) ∈ K[x1, x2, · · · , xn−1]. Z f(x1, x2, · · · , xn) 6= 0, Gh bm(x1, · · · , xn−1) 6= 0. ^I[q h a1, a2, · · · , an−1, bm(a1, · · · , an−1) 6= 0. Z5 f(a1, a2, · · · , an−1, xn) = bm(a1, a2, · · · , an−1)x m n + + · · · + b0(a1, a2, · · · , an−1) W xn 670e(Ue m :p4F G h an ∈ K, f(a1, a2, · · · , an−1, an) 6= 0. 2 3
必不设∫(x1,x2,…,xn),9(x1,m2,……,xn)∈K[x1,x2,…,xn,则∫(x1,x2,……,xn) 与g(x1,x2…,xn),为多项式相等的充分必要条件是他们.为函数相等,即口任 an∈K,都有f(a1,a2,…,an)=9(a1,a 证明只需证充分性.记 T1. rn)=f(x1,x2,…,xn)-9(x1;,r2,…,xn) 若h(x1,x2,…,xn)≠0,由引理必存在a1,a2,……,an∈K,使f(a1,a2,…,an)≠ g(a1,a2,…,an),矛盾.口 六.例题 例1设∫(x1,x2,…,xn),9(x1,x2,…,xn)∈Kr1,…,xn,且g(x1,……,rn)≠0 若口一切使g(a1,a2,……,an)≠0的a1,a2,…,an∈K,均有f(a1,a2,…,an)=0 则f(x1,x 0 证明由已知条件知口任意的a1,a2,……,an∈K,均有 f(a1,a2,……,an)9(a1,…,an)=0 故∫(x1,x2,……,xn)9(x1;,x2,…,xn)=0,由于9(x1,x2,……,xn)≠0,由命题知 ∫(x1,x2,……,xn)=0 例2设A,B,C,D∈Kmn,且AC=CA,则 A B JAD-CB 证明由线性方程组理论知,口给定的矩阵C,所有适合AC=CA的矩阵A必 可由A1,A2,…,Ak线性表示,其中A1,A2,……,Ak是AC=CA的一个”基础解 系 定义g(x1,x2,……,xk)=|x1A1+x2A2+…+xkAk,即为满足条件AC=CA 的矩阵A的行列式进而设 r1A1+x2A2+…+ kAk B D I(aA1+a2A2+.+ckAkD-CBl
f(x1, x2, · · · , xn), g(x1, x2, · · · , xn) ∈ K[x1, x2, · · · , xn], i f(x1, x2, · · · , xn) b g(x1, x2, · · · , xn) 64F E)(; R2\ +|6K$E)V2 X a1, a2, · · · , an ∈ K, 1_ f(a1, a2, · · · , an) = g(a1, a2, · · · , an). uMp;LX h(x1, x2, · · · , xn) = f(x1, x2, · · · , xn) − g(x1, x2, · · · , xn). h(x1, x2, · · · , xn) 6= 0, ^[k h a1, a2, · · · , an ∈ K, f(a1, a2, · · · , an) 6= g(a1, a2, · · · , an), x3 2 ql/ 1 f(x1, x2, · · · , xn), g(x1, x2, · · · , xn) ∈ K[x1, · · · , xn], g(x1, · · · , xn) 6= 0, 2U g(a1, a2, · · · , an) 6= 0 ( a1, a2, · · · , an ∈ K, f_ f(a1, a2, · · · , an) = 0, i f(x1, x2, · · · , xn) = 0. ^Vq2\q2X( a1, a2, · · · , an ∈ K, f_ f(a1, a2, · · · , an)g(a1, · · · , an) = 0. G f(x1, x2, · · · , xn)g(x1, x2, · · · , xn) = 0, ^` g(x1, x2, · · · , xn) 6= 0, ^/q f(x1, x2, · · · , xn) = 0. 2 A, B, C, D ∈ Kn×n , AC = CA, i A B C D = |AD − CB| ^DL8~kuq2D0(eo C, *_!M AC = CA (eo A h^ A1, A2, · · · , Ak DLÆ x A1, A2, · · · , Ak AC = CA (UB ” Ta = ”. 0Y g(x1, x2, · · · , xk) = |x1A1 + x2A2 + · · · + xkAk|, V6w}2\ AC = CA (eo A (Ko b5 f(x1, x2, · · · , xk) = x1A1 + x2A2 + · · · + xkAk B C D − |(x1A1 + x2A2 + · · · + xkAk)D − CB|. 4
则对一切n1,x2,…,xk∈K,当9(x1,m2,…,xk)≠0时,AC=CA,且 (-x-)(ab)=(b-c2-) 两边取行列式得CD=14D-CAB=1AD-CB即(x1,2…,2)=0 而显然g(x1,x2,…,xk)≠0,由例1知f(x1,x2,……,xk)=0,即对任意A∈Kmxn a B JAD-CB 注1以上证法由2007级胡继龙给出,而2006级黄招腾指出下列证法是错误 的,因为该证法不保证AC=CA成立 当|4≠0时, a B B -CA-11)(CD 0 D-CA-B 两边取行列式得cD=4D-C4B=AD-CB In 设9(x1,x12…,xm…,xm)=22 f(x11,x1, x1112 1112 .In 2122 Tnb 2122 D-CB . In .2n 则对一切a1,a12,…,amn∈K,当g(a1,a12,…,am)≠0时,有f(a1,a12,…,am)= 0.而显然g(x1,12,…,xm)≠0,由例1,知f(x1,x12,…,xnn)=0,即对任意 A∈Kmxn,4B LAD-Ci 注2用此题的办法可将一些关于矩阵命题中要求某个矩阵可逆的条件去掉 作业:P215.2;3
i2U x1, x2, · · · , xk ∈ K, & g(x1, x2, · · · , xk) 6= 0 AC = CA, I −CA−1 I A B C D = A B 0 D − CA−1B . n Ko ' A B C D = |A||D−CA−1B|= |AD−CB|. V f(x1, x2, · · · , xk) = 0. 5A g(x1, x2, · · · , xk) 6= 0, ^l 1 q f(x1, x2, · · · , xk) = 0, V2X A ∈ Kn×n , A B C D = |AD − CB|. 2 1 Wp7^ 2007 WNYrD5 2006 WRm-t>op7 < (Z6=p7 p AC = CA m & |A| 6= 0 I −CA−1 I A B C D = A B 0 D − CA−1B . n Ko ' A B C D = |A||D − CA−1B|= |AD − CB|. g(x11, x12, · · · , x1n, · · · , xnn) = x11 x12 · · · x1n x21 x22 · · · x2n · · · · · · · · · · · · x1n x2n · · · xnn , f(x11, x12, · · · , x1n, · · · , xnn) = x11 x12 · · · x1n x21 x22 · · · x2n · · · · · · · · · · · · x1n x2n · · · xnn B C D − x11 x12 · · · x1n x21 x22 · · · x2n · · · · · · · · · · · · x1n x2n · · · xnn D − CB . i2U a11, a12, · · · , ann ∈ K, & g(a11, a12, · · · , ann) 6= 0 _ f(a11, a12, · · · , ann) = 0. 5A g(x11, x12, · · · , xnn) 6= 0, ^l 1, q f(x11, x12, · · · , xnn) = 0, V2X A ∈ Kn×n , A B C D = |AD − CB|. 2 ℄/(7h℄UHH`eo/xRBeoh(2\/ T P215. 2; 3. 5
补证1:设A∈Kxn,求零|A+=|4n-.(典示次|A可视为 的多项式) 补证2:表写注多元多项式引法与次数的关系,齐零之 补证3:课本引理58-1改为齐次排列法,结论大否成立法为次么法 选做凝殳∫(x),9(x)在K[中互的,求零次yf(x)+9(x)在K[r,y中不可约 (注次多元多项式不可约大指其不能分解为两个次数明地低的多元多项式的引积 都战题次考虑关于矩列,题中,哪些可不掉”可按”对件法将其罗列齐零明
1: A ∈ Kn×n , p |A∗ | = |A| n−1 . (. |A∗ | h"6 a11, a12, · · · , a1n (4F ) 2: ÆI4e4F 7b $(H=pr 3: i [k 5.8 − 1 >6 o7`u <m6 y O f(x), g(x) h K[x] xO(pyf(x)+g(x) h K[x, y] xhf (y4e4F hf t ;a6nB $ ,+(4e4F (U) 1j/gsH`eo/xHh/ ” h ” 2\℄ vop~ 6