厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116;域名: dpko. xmu.edu. cn s3.5向量组的秩 教学目的和要求正确理解和掌握极大线性无关组和基的概念,基与极大线性无 关组的联系和区别.掌握相关性质和判定方法 定义设在线性空间V中有一组向量S(可能有限个向量,可能无限个向量).如 果在这一组向量中存在向量a1,a2,……,On,满足 (1)a1,a2,…,an线性无关; (2)在S中任意向量都可以表示为a1,a2,…,an的线性组合 则称a1,a2,…,an是向量组S的一个极大线性无关组 注1定义中条件(2)表明:向量组S中任取一个向量a,则a,a1,a2,…,an必 线性相关.这是”极大”的意思 注2S中的向量都由a1,a2,……,an的线性表示,表示法唯 注3任意有限个向量组成的向量组必有极大线性无关组 注4一般地,S的极大线性无关组不唯一.如在S={(1,0),(0,1),(1,1)}中 任意两个向量都是极大线性无关组 引理1设A,B是V中的两组向量且A含有r个向量,B含有s个向量,如 果r>s且A组向量中任一向量均可由B中的向量线性表示,则A中的向量线性 相关 证明反证法.假设A中的向量线性无关.设A={a1,a2,…ar},B {B1,B2,…,B3}且r>s.由已知,a1可表为B组向量的线性组合,即存在a1 a2,…,as使a1=a161+a22+…+a3,因为A中向量线性无关,因此a1≠0, 故a1中至少有一个不为0,不妨设a1≠0.这时有A1=a1-a2 aB3,即 A中的向量可以由a1,A2,……,B。线性表出 为此可设B组向量已换成a1,…,ak,Ak+1,…,B,A中任一向量可以表为a1 ,ak,Ak+1,…,B的线性组合且设k<r,则ak+1可表为ak+1=b1a1+…+ bkak+bk+1)k+1+…+bB,其中至少有一b2≠0,k+1≤i≤s.否则,ak+1可由
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §3.5 ✑ ✒✓✔✕ ✖✗ ✘✙✚✛✜ ✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✬✭✮✓✦✯✔✰✱✲✯✳✩✪✫✬✭ ✮✓✔✴✵✦✶✷✸✧★✹✮✬✺✦✻✼✽✾✸ ✿❀ ❁❂✫✬❃❄ V ❅ ❆❇✓ ✑ ✒ S(❈❉❆❊❋✑ ✒✲❈❉✭❊❋✑ ✒ ). ● ❍❂■❇✓ ✑ ✒ ❅ ❏❂ ✑ ✒ α1, α2, · · · , αn, ❑▲ (1) α1, α2, · · · , αn ✫✬✭✮▼ (2) ❂ S ❅ ◆❖✑ ✒P❈◗❘❙❚ α1, α2, · · · , αn ✔✫✬✓❯✸ ❱❲ α1, α2, · · · , αn ❳✑ ✒✓ S ✔❇❋✩✪✫✬✭✮✓✸ ❨ 1 ✼❩❅ ❬❭ (2) ❘❪❫✑ ✒✓ S ❅ ◆❴❇❋✑ ✒ α, ❱ α, α1, α2, · · · , αn ❵ ✫✬✹✮✸■ ❳ ” ✩✪ ” ✔❖❛✸ ❨ 2 S ❅ ✔ ✑ ✒P❜ α1, α2, · · · , αn ✔✫✬❘❙✲ ❘❙✾❝❇✸ ❨ 3 ◆❖❆❊❋✑ ✒✓❞✔✑ ✒✓ ❵ ❆✩✪✫✬✭✮✓✸ ❨ 4 ❇❡❢✲ S ✔✩✪✫✬✭✮✓❣❝❇✸● ❂ S = {(1, 0),(0, 1),(1, 1)} ❅ ✲ ◆❖❤❋✑ ✒P❳ ✩✪✫✬✭✮✓✸ ✐❥ 1 ❁ A, B ❳ V ❅ ✔❤✓ ✑ ✒❦ A ❧ ❆ r ❋ ✑ ✒✲ B ❧ ❆ s ❋ ✑ ✒✲● ❍ r > s ❦ A ✓ ✑ ✒ ❅ ◆❇✑ ✒♠❈ ❜ B ❅ ✔ ✑ ✒✫✬❘❙✲❱ A ❅ ✔ ✑ ✒✫✬ ✹✮✸ ♥♦ ♣q✾✸r❁ A ❅ ✔ ✑ ✒✫✬✭✮✸❁ A = {α1, α2, · · ·, αr}, B = {β1, β2, · · · , βs} ❦ r > s. ❜st✲ α1 ❈❘❚ B ✓ ✑ ✒✔✫✬✓❯✲✉❏❂ a1, a2, · · ·, as ✈ α1 = a1β1 + a2β2 + · · · + asβs. ✇❚ A ❅✑✒✫✬✭✮✲ ✇ ① α1 6= 0, ② ai ❅ ③④❆❇❋❣ ❚ 0, ❣⑤❁ a1 6= 0. ■⑥❆ β1 = 1 a1 α1 − a2 a1 β2 − · · · − as a1 βs, ✉ A ❅ ✔ ✑ ✒ ❈◗❜ α1, β2, · · · , βs ✫✬❘⑦✸ ❚ ① ❈ ❁ B ✓ ✑ ✒s⑧❞ α1, · · · , αk, βk+1, · · · , βs, A ❅ ◆❇✑ ✒ ❈◗❘❚ α1, · · ·, αk, βk+1, · · ·, βs ✔✫✬✓❯❦❁ k < r, ❱ αk+1 ❈❘❚ αk+1 = b1α1 + · · · + bkαk + bk+1βk+1 + · · · + bsβs, ⑨❅③④❆❇ bi 6= 0, k + 1 ≤ i ≤ s. ⑩ ❱✲ αk+1 ❈ ❜ 1
a1,……,ak线性表示,这与A组线性无关矛盾.不失一般性,不妨设bk+1≠0,与上 面相同的论证,又可以将k+1换成ak+1,得到向量组a1,…,ak+1,Ak+2,…,3且 A中任一向量均可表为这个向量组的线性组合.继续做下去,因r>s,可将A中 s个向量换入B,设B经调换后的向量为a1,…,as,则ax也可以由a1,…,a。线 性组合来表示,从而A组向量线性相关.矛盾 引理2若A,B是两组线性无关的向量组且所含向量个数有限,又设A中任 向量可表为B中向量的线性组合,B中任一向量可表为A中向量的线性组合,则 A,B所含向量个数相等. 证明设A有个r向量,B有s个向量,由引理1知r≤s且s≤r,所以 定理设A,B都是向量组S的极大线性无关组,且A,B是有限集,则A和B 所含向量个数相同 定义设S是K上线性空间V的向量集合,则S中任一极大线性无关组所含 向量的个数称为向量组的秩,记为r(S) 定义设A,B是两组向量,若A中的任意向量可由B中向量线性表出,B中 任意向量可由A中向量线性表示,则称向量组A与向量组B等价 注向量组的等价是等价关系,即满足反身性,对称性,传递性 命题等价的向量组有相同的秩 证明设A,B是等价的向量组,A1,B1分别是A,B的极大线性无关组,因为 A1可由B1线性表出,且A1线性无关,所以r(4)≤r(B).同理r(B)≤r(A).口 注命题的逆不成立,即r(4)=r(B)未必有A与B等价.例如,在K2中 A={(1,0)},B={(0,1)},则r(4)=r(B)=1,但是A与B不等价 下面讨论S=V的情况 定义设V是数域K上线性空间,如果V中存在n个向量ε1,e2,…,En,满足 (1)e1,e2,…,en线性无关; (2)V中任意向量可表示为E1,e2,…,En的线性组合, 则称E1,E2,…,En是V的一组基.且称V为n维线性空间如果不存在有限个向
α1, · · · , αk ✫✬❘❙✲■✳ A ✓✫✬✭✮❶❷✸❣❸❇❡✬✲❣⑤❁ bk+1 6= 0, ✳❹ ❺✹❻✔❼q✲❽❈◗❾ βk+1 ⑧❞ αk+1, ❿➀✑✒✓ α1, · · · , αk+1, βk+2, · · · , βs ❦ A ❅ ◆❇✑ ✒♠❈❘❚■❋ ✑ ✒✓✔✫✬✓❯✸➁➂➃➄➅✲ ✇ r > s, ❈❾ A ❅ s ❋ ✑ ✒⑧➆ B, ❁ B ➇➈⑧➉✔✑ ✒ ❚ α1, · · · , αs, ❱ αr ➊❈◗❜ α1, · · · , αs ✫ ✬✓❯➋❘❙✲➌➍ A ✓ ✑ ✒✫✬✹✮✸❶❷✸ ✷ ✐❥ 2 ➎ A, B ❳ ❤✓✫✬✭✮✔ ✑ ✒✓❦➏❧✑✒❋➐❆❊✲❽❁ A ❅ ◆❇ ✑ ✒ ❈❘❚ B ❅✑✒✔✫✬✓❯✲ B ❅ ◆❇✑ ✒ ❈❘❚ A ❅✑✒✔✫✬✓❯✲❱ A, B ➏ ❧✑✒❋➐✹➑✸ ♥♦ ❁ A ❆❋ r ✑ ✒✲ B ❆ s ❋ ✑ ✒✲❜➒✤ 1 t r ≤ s ❦ s ≤ r, ➏ ◗ r = s. ✷ ✿❥ ❁ A, B P ❳✑ ✒✓ S ✔✩✪✫✬✭✮✓✲❦ A, B ❳ ❆❊➓✲❱ A ✦ B ➏ ❧✑✒❋➐✹❻✸ ✿❀ ❁ S ❳ K ❹✫✬❃❄ V ✔ ✑ ✒➓❯✲❱ S ❅ ◆❇✩✪✫✬✭✮✓➏❧ ✑ ✒✔❋➐❲ ❚ ➔→➣✙↔, ↕❚ r(S). ✿❀ ❁ A, B ❳ ❤✓ ✑ ✒✲➎ A ❅ ✔◆❖✑ ✒ ❈ ❜ B ❅✑✒✫✬❘⑦✲ B ❅ ◆❖✑ ✒ ❈ ❜ A ❅✑✒✫✬❘❙✲❱❲ ➔→➣ A ➙➔→➣ B ➛➜. ❨ ✑ ✒✓✔➑➝❳ ➑➝✮✵✲✉❑▲♣➞✬✲➟❲✬✲➠➡✬✸ ➢➤ ➑➝✔ ✑ ✒✓❆✹❻✔✕✸ ♥♦ ❁ A, B ❳ ➑➝✔ ✑ ✒✓✲ A1, B1 ➥ ✷ ❳ A, B ✔✩✪✫✬✭✮✓✲✇❚ A1 ❈ ❜ B1 ✫✬❘⑦✲❦ A1 ✫✬✭✮✲➏◗ r(A) ≤ r(B). ❻✤ r(B) ≤ r(A). ✷ ❨ ➦➧✔➨❣❞➩✲✉ r(A) = r(B) ➫❵ ❆ A ✳ B ➑➝✸➭● ✲❂ K2 ❅ ✲ A = {(1, 0)0}, B = {(0, 1)0}, ❱ r(A) = r(B) = 1, ➯❳ A ✳ B ❣➑➝✸ ➄❺➲❼ S = V ✔➳➵✸ ✿❀ ❁ V ❳ ➐➸ K ❹✫✬❃❄✲ ● ❍ V ❅ ❏❂ n ❋ ✑ ✒ ε1, ε2, · · · , εn, ❑▲ (1) ε1, ε2, · · · , εn ✫✬✭✮▼ (2) V ❅ ◆❖✑ ✒ ❈❘❙❚ ε1, ε2, · · · , εn ✔✫✬✓❯✲ ❱❲ ε1, ε2, · · · , εn ❳ V ✔❇✓✯✸❦❲ V ❚ n ➺ ✫✬❃❄✸ ● ❍❣❏❂❆❊❋✑ 2
量构成V的基,则称V为无限维线性空间 注显然,V中极大线性无关组是V的基.n维线性空间的基都含有n个向 量.如果V是n维空间,则记为dimV=n. 推论1n维线性空间的任意n+1个向量必线性相关 例1dmR=1.因为2是一组基向量,号也是一组基 例2dimC=2 例3Kmx是K上m×n矩阵全体组成的空间令E是第(,j)个元素 为1,其余元素为0的矩阵,则E1,1≤i,j≤n,组成Kmxn的一组基.因而 dimkmxn= mn 例4Kn是K上n维列向量空间,e1,e2,……,en是标准单位列向量,则e1,e2…, n是基,所以 dimK=n. 例5在数域K上次数小于或等于n的一元多项式全体对于多项式的加法和数 乘构成线性空间Kn团中1,x,x2,…,x是一组基 命题设V是n维线性空间,ε1,E2,…,En是V中n个向量,若满足下列条件 之一,则e1,E2,…,En是V的一组基 (1)e1,E2,……,En线性无关; (2)V中向量均可表为1,e2,……,En的线性组合 证明(1)因为V是n维线性空间,对任意a∈V,根据推论2,a,=1,E2,…,En 线性相关;又因为ε1,e2,…,en线性无关,所以a可表示为e1,E2,…,En的线性组 合.由定义,E1,E2,……,En是V的一组基 (2)设E1,ε2,…,Em是e1,e2,…,En的一个极大线性无关组,则m≤n.又 dimV=n,设角1,B2,……,An是V的任意一个基,根据条件,角,A2,…,Bn可 由1,e2,…,En线性表出,而1,E2,……,En可由En1,E2,…,En线性表出,从而 1,B2,…,An可由E1,E2…,En线性表示根据引理1,知m≥n.所以m=m, 即ε1,E2,…,En线性无关.由定义,ε1,∈2,…,En是V的一组基 例6设dimV=m,且ε1,e2,…,en是V的一组基.如果a1,a2,…,ar,r<m, 是线性无关的,必可在ε1,E2,…,En中取n-r个向量与a1,…,ar凑成V的基
✒➻❞ V ✔✯✲❱❲ V ❚ ✭❊ ➺ ✫✬❃❄✸ ❨ ➼➽✲ V ❅ ✩✪✫✬✭✮✓ ❳ V ✔✯✸ n ➺ ✫✬❃❄✔✯P ❧ ❆ n ❋ ✑ ✒✸ ● ❍ V ❳ n ➺ ❃❄✲❱↕❚ dimV = n. ➾➚ 1 n ➺ ✫✬❃❄✔◆❖ n + 1 ❋ ✑ ✒ ❵ ✫✬✹✮✸ ➪ 1 dimRR = 1. ✇❚ 2 ❳ ❇✓✯ ✑ ✒✲ 6 7 ➊❳ ❇✓✯✸ ➪ 2 dimRC = 2. ➪ 3 Km×n ❳ K ❹ m × n ➶➹➘➴✓❞✔❃ ❄✸➷ Eij ❳➬ (i, j) ❋➮➱ ❚ 1, ⑨✃➮➱❚ 0 ✔ ➶ ➹✲❱ Eij , 1 ≤ i, j ≤ n, ✓❞ Km×n ✔❇✓✯✸ ✇ ➍ dimKm×n = mn. ➪ 4 Kn ❳ K ❹ n ➺❐✑✒❃❄✲ e1 , e2, · · · , en ❳❒❮❰Ï❐✑✒✲❱ e1, e2, · · ·, en ❳ ✯✲➏◗ dimKn = n. ➪ 5 ❂➐➸ K ❹Ð➐ÑÒÓ➑Ò n ✔❇➮ÔÕÖ➘➴➟ÒÔÕÖ✔×✾✦➐ Ø➻❞✫✬❃❄ Kn[x] ❅ 1, x, x2 , · · · , xn ❳ ❇✓✯✸ ➢➤ ❁ V ❳ n ➺ ✫✬❃❄✲ ε1 , ε2, · · · , εn ❳ V ❅ n ❋ ✑ ✒✲➎❑▲➄ ❐ ❬❭ Ù❇✲❱ ε1, ε2, · · · , εn ❳ V ✔❇✓✯✸ (1) ε1, ε2, · · · , εn ✫✬✭✮▼ (2) V ❅✑✒♠❈❘❚ ε1, ε2, · · · , εn ✔✫✬✓❯✸ ♥♦ (1) ✇❚ V ❳ n ➺ ✫✬❃❄✲➟◆❖ α ∈ V , ÚÛÜ❼ 2, α, ε1, ε2, · · · , εn ✫✬✹✮▼❽ ✇❚ ε1, ε2, · · · , εn ✫✬✭✮✲➏ ◗ α ❈❘❙❚ ε1, ε2, · · · , εn ✔✫✬✓ ❯✸❜✼❩✲ ε1, ε2, · · · , εn ❳ V ✔❇✓✯✸ (2) ❁ εi1 , εi2 , · · · , εim ❳ ε1, ε2, · · · , εn ✔❇❋✩✪✫✬✭✮✓✲❱ m ≤ n. ❽ dimV = n, ❁ β1, β2, · · · , βn ❳ V ✔◆❖❇❋✯✲ ÚÛ❬❭✲ β1, β2, · · · , βn ❈ ❜ ε1, ε2, · · · , εn ✫✬❘ ⑦✲➍ ε1, ε2, · · · , εn ❈ ❜ εi1 , εi2 , · · · , εim ✫✬❘ ⑦✲➌➍ β1, β2, · · · , βn ❈ ❜ εi1 , εi2 , · · · , εim ✫✬❘❙✸ ÚÛ➒✤ 1, t m ≥ n. ➏ ◗ m = n, ✉ ε1, ε2, · · · , εn ✫✬✭✮✸❜✼❩✲ ε1, ε2, · · · , εn ❳ V ✔❇✓✯✸ ➪ 6 ❁ dimV = n, ❦ ε1, ε2, · · · , εn ❳ V ✔❇✓✯✸ ● ❍ α1, α2, · · · , αr, r < n, ❳ ✫✬✭✮✔✲❵❈ ❂ ε1, ε2, · · · , εn ❅ ❴ n − r ❋ ✑ ✒✳ α1, · · · , αr Ý ❞ V ✔✯✸ 3
证明当r<n时,根据引理1,存在E;使得E;不能由a1,a2,……,ar线性表 出.不妨设i=1,则e1,a1,a2,…,ar线性无关.如果r+1=m,则结论成立;如 果r+1<n,则继续做下去.由归纳,知结论成立 例7在k2中,证明(31).(12)线性无关,并扩为k2的基 作业:P191,2,4,5,7,8 思考题:P193,10
♥♦ Þ r < n ⑥✲ÚÛ➒✤ 1, ❏❂ εi , ✈❿ εi ❣ ❉ ❜ α1, α2, · · · , αr ✫✬❘ ⑦ ✸❣⑤❁ i = 1, ❱ ε1, α1, α2, · · · , αr ✫✬✭✮✸ ● ❍ r + 1 = n, ❱ß❼❞➩▼ ● ❍ r + 1 < n, ❱➁➂➃➄➅✸❜àá✲tß❼❞➩✸ ✷ ➪ 7 ❂ K2×2 ❅ ✲q ❪ 3 1 2 0 , 1 2 1 2 ✫✬✭✮✲âã❚ K2×2 ✔✯✸ äå❫ P119 1, 2, 4, 5, 7, 8 ❛æ➧❫ P119 3, 10 4