厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:域名: gdjpkc.xmu. edu.cn §2矩阵的运算 教学目的和要求理解和掌握矩阵的相等的定义,理解和掌握矩阵的加法,数 乘,乘法的定义和运算律.了解矩阵的转置满足的性质与对称阵,反对称阵的定 义,掌握标准向量和基础矩阵的性质,了解方阵的迹的定义 矩阵的相等 两个矩阵A=(a)mxn和B=(b1)sxt相等,如果它们的行数与列数相等, 并且对应元素相等,即m=s,n=t,且a=b,1≤i≤m,1≤j≤n. 矩阵的加法 设A=(a1)mxm,B=(by)mxn,定义A和B的加法为A+B:=(a1+b3)mx 例1 0-11 矩阵的加法满足 (1)交换律:A+B=B+A (2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C); (3)存在零矩阵:0+A=A+0=A (4)存在负矩阵:对任意A,存在B,使得A+B=0 易知,(4)中的B是唯一确定的,即B=(-a).记B=-A.故可以定义矩 阵的减法A-B:=A+(-B) 三.矩阵的数乘 设A=(a)mxn,C是一个数,定义c和A的数乘为cA:=(ca)mxn 矩阵的数乘满足: (5)C(A+B)=cA+ci
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §2 ✑✒✓✔✕ ✖✗ ✘✙✚✛✜ ✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✩✬✭✮✢✣✤✥✦✧★✩✯✰✮✱ ✲✮✲✰✩✬✭✤✳✴✵✶✷✣✧ ★✩✸✹✺✻✩✼✽✾✿❀ ★✮❁✿❀ ★✩✬ ✭✮✥✦❂❃❄❅✤❆❇✧★✩✼✽✮✷✣❈★✩❉✩✬✭✶ ❊✶❋●✙❍■ ❏❑✧★ A = (aij )m×n ✤ B = (bij )s×t ✪✫✮▲▼◆❖✩P✱✾◗✱✪✫✮ ❘❙✿❚❯❱✪✫✮❲ m = s, n = t, ❙ aij = bij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. ❳✶❋●✙❨❩ ❬ A = (aij )m×n, B = (bij )m×n, ✬✭ A ✤ B ✩✯✰❭ A+B := (aij +bij )m×n. ❪ 1 1 2 3 0 −1 1 + 3 −1 0 1 0 4 = 4 1 3 1 −1 8 . ✧★✩✯✰✺✻❫ (1) ❴❵✵❫ A + B = B + A; (2) ❛❜✵❫ (A + B) + C = A + (B + C); (3) ❝❞❡✧★❫ 0 + A = A + 0 = A; (4) ❝❞❢✧★❫✿❣❤ A, ❝❞ B, ✐❥ A + B = 0. ❦❧✮ (4) ♠ ✩ B ♥♦♣q✬✩✮❲ B = (−aij ). r B = −A. st✉✬✭✧ ★✩✈✰ A − B := A + (−B). ✇✶❋●✙①② ❬ A = (aij )m×n, c ♥♣❑✱✮✬✭ c ✤ A ✩✱✲❭ cA := (caij )m×n. ✧★✩✱✲✺✻❫ (5) c(A + B) = cA + cB; 1
(6)(c+d)A=cA+dA (7)(cd)A=c(dA); (8)1A=A; 注0A=0. 四.矩阵的乘法 设A=(a3)mxk,B=(b1)k×m,定义A与B的乘法为C=AB:=(c1)mxm 其中c=anby+a2b2+…+akb 注A的列数等于B的行数才可作乘法,这时AB的行数等于A的行数,AB 的列数等于B的列数,G是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和.今后 如不注明情况,均指AB乘法有定义 例2 1011 112-1 0001 例3设A=(104),B=1.则AB=1,BA=104 000 例4设A (0)B=(01)则AB=(00),BA=(8b) 注矩阵乘法的交换律不成立 例5设 a1131+a122+…+a1nxn=b1 a211+a222+…+a2nCn=b2 amIT+am2C2+.+amnOn= bm 12 b1 A a21a22 anvar b2
(6) (c + d)A = cA + dA; (7) (cd)A = c(dA); (8) 1A = A; ③ 0A = 0. ④✶❋●✙②❩ ❬ A = (aij )m×k, B = (bij )k×n, ✬✭ A ✾ B ✩✲✰❭ C = AB := (cij )m×n, ⑤ ♠ cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aikbkj . ③ A ✩◗✱✫⑥ B ✩P✱⑦t⑧✲✰✮⑨⑩ AB ✩P✱✫⑥ A ✩P✱✮AB ✩◗✱✫⑥ B ✩◗✱✮ cij ♥ A ✩❶ i P✤ B ✩❶ j ◗✿❚❯❱✲❷❸✤✶❹❺ ▲❻❼❽❾❿✮➀➁ AB ✲✰➂✬✭✶ ❪ 2 1 0 1 2 1 0 1 0 1 1 1 1 2 −1 −1 0 −1 0 = 0 0 0 1 3 1 4 1 . ❪ 3 ❬ A = 1 0 4 , B = 1 1 0 . ➃ AB = 1, BA = 1 0 4 1 0 4 0 0 0 . ❪ 4 ❬ A = 0 0 0 1 , B = 0 1 0 0 . ➃ AB = 0 0 0 0 , BA = 0 1 0 0 . ③ ✧★✲✰✩❴❵✵❻➄➅✶ ❪ 5 ❬ a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 · · · · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm r A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn , X = x1 x2 . . . xn , β = b1 b2 · · · bm 2
则上述方程组用矩阵乘法就可简写成 AX=B 矩阵乘法满足: (1)结合律(AB)C=A(BC) (2)分配律A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC 3)a(AB)=(aA)B=A(aB); (4)ImAmxn= A= AmxnIn 证明(1)设A=(a1)mxmn,B=(b1)nxp,C=(G)pxq则(AB)的第i行为 1 ∑n=1 airborn),C的第j列为 C1 所以(AB)C的第(,)个元素为 ∑anln1ay+∑a2)y+…+△ airbag) k=1r=1 r=1k= 同理,(BC)的第j列为 A的第i行 ai1,(12, ain 所以A(BC)的第(,)个元素为
➃➆➇❈➈➉➊✧★✲✰➋t➌➍➄ AX = β. ✧★✲✰✺✻❫ (1) ❛❜✵ (AB)C = A(BC); (2) ➎➏✵ A(B + C) = AB + AC,(A + B)C = AC + BC; (3) a(AB) = (aA)B = A(aB); (4) ImAm×n = A = Am×nIn. ➐➑ (1) ❬ A = (aij )m×n, B = (bij )n×p, C = (cij )p×q. ➃ (AB) ✩❶ i P❭ Pn r=1 airbr1, Pn r=1 airbr2, · · · , Pn r=1 airbrp , C ✩❶ j ◗❭ c1j c2j · · · cpj . ➒ ✉ (AB)C ✩❶ (i, j) ❑❯❱❭ ( Xn r=1 airbr1)c1j + (Xn r=1 airbr2)c2j + · · · + (Xn r=1 airbrp)cpj = X p k=1 ( Xn r=1 airbrk)ckj = Xn r=1 X p k=1 airbrkckj . ➓✢✮ (BC) ✩❶ j ◗❭ Pp k=1 P b1kckj p k=1 b2kckj P · · · p k=1 bnkckj , A ✩❶ i P ai1, ai2, · · · , ain . ➒ ✉ A(BC) ✩❶ (i, j) ❑❯❱❭ ai1( X p k=1 b1kckj ) + ai2( X p k=1 b2kckj ) + · · · + ain( X p k=1 bnkckj ) 3
故A(BC)=(AB)C 2}-(4)验证留做思考题.口 注1乘法的消去律不成立.即 AB=AC+B=C BA=CA+B=C 注2设A为n阶方阵,定义A的幂为4=4A…4显然有 (1)AA=A+ts 2)(47)°=A°; (3)若AB=BA,则(A+B)n=A+CnA-1B+C2A-2B2+…+ Cn-lABn-l+Bn 注30A=0=A0 注4设f(x)=a0+a1x+a2x2+…+ am am,对Anxn,定义f(A):=a0Ln+ a1A+…+ amam. 五.矩阵的转置 定义A=(a1)mxn的转置为n×m矩阵A,其中A的第k行是A的第k 列,1≤k≤n,A'的第r列是A的第r行,1≤r≤m 矩阵的转置满足 1)(A 2)(A+B)=A+B (3)(aA)=aA'; (4)(AB)=BA
= Xn r=1 air( X p k=1 brkckj ) = Xn r=1 X p k=1 airbrkckj . s A(BC) = (AB)C. (2)-(4) ➔→➣↔↕➙➛✶ ③ 1 ✲✰✩➜➝✵❻➄➅✶❲ AB = AC ; B = C, BA = CA ; B = C. ③ 2 ❬ A ❭ n ➞ ❈★✮✬✭ A ✩➟❭ Ar := AA · · ·A | {z } r . ➠➡➂ (1) ArAs = Ar+s ; (2) (Ar ) s = Ars; (3) ➢ AB = BA, ➃ (A + B) n = An + C 1 nAn−1B + C 2 nAn−2B2 + · · · + C n−1 n ABn−1 + Bn . ③ 3 0A = 0 = A0. ③ 4 ❬ f(x) = a0 + a1x + a2x 2 + · · · + amx m. ✿ An×n, ✬✭ f(A) := a0In + a1A + · · · + amAm. ➤✶❋●✙➥➦ ✬✭ A = (aij )m×n ✩✸✹❭ n × m ✧★ A0 , ⑤ ♠ A0 ✩❶ k P ♥ A ✩❶ k ◗✮ 1 ≤ k ≤ n, A0 ✩❶ r ◗ ♥ A ✩❶ r P✮ 1 ≤ r ≤ m. ✧★✩✸✹✺✻❫ (1) (A 0 ) 0 = A; (2) (A + B) 0 = A0 + B0 ; (3) (aA) 0 = aA0 ; (4) (AB) 0 = B0A0 . 4
证明(4)设A=(a)mxn,B=(b)nxp,则AB的第(,j)个元素为G; ∑n=1anby所以(AB)的第(,)个元素为G=∑n=1 airb,B'A'的第(j,)个 元素为B′的第j行元素与A的第讠列元素对应乘积之和.但B′的第j行元素 为B的第j列元素,A'的第i列元素为A的第讠行元素,它们对应元素乘积之 和恰为b1jan1+b2a2+…+ brain=cy·所以(AB)=BA.口 若A=A,即a=aj1≤i,≤n,则称方阵A为对称阵若A=-A,即 =-af,1≤i,j≤n,则称A为反对称阵 例1对任意n阶方阵A,(A+A)是对称阵;(A-A)是反对称阵 例2对角阵是对称阵;反对称阵的对角元素为0;零矩阵0既是对称阵,又是 反对称阵 六.矩阵的共轭 复数z=a+b的共轭复数记为z:=a-bi 设A=(a)mxn是复矩阵,则A=(1)mxm称为A的共轭矩阵 矩阵的共轭满足: (1)(A+B)=A+B; (3)AB=AB (4)(A)=(4) 七、标准单位向量与基础矩阵 0 0 称为n维标准列向量;t1,e2 0 0 称为n维标准行向量 性质(1)ee;=6;y,其中;是 Kronecker符号,b 0i≠j (2) Amine;是A的第讠列,e;Amxn是A的第讠行
➐➑ (4) ❬ A = (aij )m×n, B = (bij )n×p , ➃ AB ✩❶ (i, j) ❑❯❱❭ cij = Pn r=1 airbrj . ➒ ✉ (AB) 0 ✩❶ (j, i) ❑❯❱❭ cij = Pn r=1 airbrj , B0A0 ✩❶ (j, i) ❑ ❯❱❭ B0 ✩❶ j P❯❱✾ A 0 ✩❶ i ◗❯❱✿❚✲❷❸✤✶➧ B0 ✩❶ j P❯❱ ❭ B ✩❶ j ◗❯❱✮ A0 ✩❶ i ◗❯❱❭ A ✩❶ i P❯❱✮◆❖✿❚❯❱✲❷❸ ✤➨❭ b1jai1 + b2jai2 + · · · + bnjain = cij . ➒ ✉ (AB) 0 = B0A0 . ➢ A0 = A, ❲ aij = aji, 1 ≤ i, j ≤ n, ➃ ❀❈★ A ❭ ➩➫● . ➢ A0 = −A, ❲ aij = −aji, 1 ≤ i, j ≤ n, ➃ ❀ A ❭ ➭➩➫● . ❪ 1 ✿❣❤ n ➞ ❈★ A, (A + A0 ) ♥ ✿❀★ ; (A − A0 ) ♥ ❁✿❀★✶ ❪ 2 ✿➯★ ♥ ✿❀★➲❁✿❀★✩✿➯❯❱❭ 0; ❡ ✧★ 0 ➳♥✿❀★✮➵ ♥ ❁✿❀★✶ ➸✶❋●✙➺➻ ➼✱ z = a + bi ✩➽➾➼✱ r ❭ z := a − bi. ❬ A = (aij )m×n ♥ ➼✧★✮ ➃ A = (aij )m×n ❀❭ A ✩➽➾✧★✶ ✧★✩➽➾✺✻❫ (1) (A + B) = A + B; (2) (cA) = cA; (3) AB = A B; (4) (A0 ) = (A) 0 . ➚✶➪➶➹➘➴➷➬➮➱❋● e1 = 1 0 . . . 0 , e2 = 0 1 . . . 0 , · · · , en = 0 0 . . . 1 ❀❭ n ✃ ❂❃◗❄❅➲e 0 1 , e0 2 , · · · , e0 n ❀❭ n ✃ ❂❃P❄❅✶ ❐❒ (1) e 0 i ej = δij , ⑤ ♠ δij ♥ Kronecker ❮❰✮ δij = 1 i = j 0 i 6= j . (2) Am×nei ♥ A ✩❶ i ◗✮ eiAm×n ♥ A ✩❶ i P✶ 5
(3)eAmxnei=aij m维标准单位列向量e和n维单位行向量e的乘积e;e称为n阶基础矩 阵,记为E基础矩阵E;的第(,j)分量是1,其它分量都是0 性质(1)E;Ek=6 (2)设A=(ay)nxn则A=∑=1=1a3E1; (3)E1A将A第j行变为第i行,其余元素为0;AE;将A第i列变为第 列,其余元素为0. (4)Ei AEk=ajk Eil 八.方阵的迹 设A是n阶矩阵,则a1+a22+…+an称为方阵A的迹,记为tr(4) 性质(1)tr(A+B)=tr(4)+tr(B); (2)tr(k A)=ktr(A); (3)tr(4)=tr(A); (4)tr(AB)=tr(BA) 5)tr(A-BA)=tr(B) 证明留做练习 作业: 补充:验证方阵的迹的性质tr(AB)=tr(BA),其中A,B均为n阶方阵 P531(1),2(1),4(2);P549,10,12(2),14(1)(2)
(3) e 0 iAm×nej = aij . m ✃ ❂❃ÏÐ◗❄❅ ei ✤ n ✃ ÏÐP❄❅ e 0 j ✩✲❷ eie 0 j ❀❭ n ➞ ❆❇✧ ★✮ r ❭ Eij . ❆❇✧★ Eij ✩❶ (i, j) ➎ ❅ ♥ 1, ⑤◆ ➎ ❅Ñ♥ 0. ❐❒ (1) EijEkl = δjkEil; (2) ❬ A = (aij )n×n, ➃ A = Pm i=1 Pn j=1 aijEij ; (3) EijA Ò A ❶ j PÓ❭❶ i P✮⑤Ô❯❱❭ 0; AEij Ò A ❶ i ◗Ó❭❶ j ◗✮⑤Ô❯❱❭ 0. (4) EijAEkl = ajkEil. Õ✶Ö●✙× ❬ A ♥ n ➞ ✧★✮ ➃ a11 + a22 + · · · + ann ❀❭❈★ A ✩❉✮r ❭ tr(A). ❐❒ (1) tr(A + B) = tr(A) + tr(B); (2) tr(kA) = ktr(A); (3) tr(A0 ) = tr(A); (4) tr(AB) = tr(BA); (5) tr(A−1BA) = tr(B). ➐➑ ➣ ↔ØÙ✶ ⑧Ú❫ ÛÜ❫➔→❈★✩❉✩✼✽ tr(AB) = tr(BA), ⑤ ♠ A, B ➀❭ n ➞ ❈★✶ P53 1(1), 2(1), 4(2); P54 9, 10, 12(2), 14(1)(2). 6