高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xml. edu.cn 第三章矩阵初步 提示:元素的代定系数法是必须掌握的基本方法 矩阵的初等变换是矩阵论的核心和精髓,必须很好地领会理解并应用 矩阵的相抵是等价关系.等价关系导出等价分类,考虑等价分类个数,等价分类的完全不变量,取每个类 的代表元来考虑和解决问题,这是代数学的一个重要思想方法.本讲先介绍了若干内容,在第十三章有专门 的系统阐述 矩阵的秩是相抵关系的完全不变量.作为专题,第七章将介绍等价定义,基本性质,并从各个角度给出关 于矩阵秩的若干等式和不等式的证明 方块矩阵使一些矩阵的表达更加简洁.方块矩阵的初等变换是矩阵的初等变换的延伸,是解决矩阵问题的 很好的工具 例9的 Binet- Cauchy公式以及例10的应用比较难,初学者可以忽略 设F是个数域.F上的mn个数a动,1≤i≤m,1≤j≤n排成m行n列矩形阵列,ax;在第 行第j列,称为一个m行n列矩阵,简称mXn矩阵,记为A=(a)mn 当m=n时,A称为n阶矩阵.记FmM={(m)mn∈F,1≤i≤m,1≤j≤n} 矩阵A=(a;)mn和B=(b;)st称为相等,如果m=s,n=t,且a=bj,1≤i≤m,1≤j≤n 设A=(0)mn和B=(b;)mn定义A和B的加法为A+B=(a+b)mn,对于a∈F,定义 的A数乘为aA=(aij)mn 设A=(a;)mn和B=(b)m定义A和B的乘法为AB=(c;)ms,其中c=∑k=1;bk 命题1.(1)Fm"对于矩阵的加法构成加群 (2)Fm"对于矩阵的加法和数乘构成mn维F-线性空间 (3)F""对于矩阵的加法和乘法构成有单位元(单位阵E)的非交换环; (4)FXM对于矩阵的加法,数乘和乘法构成有单位元的非交换mn维结合代数 设A=(ax)mn定义A的转置为A=(a;)hm,若A=A,称A为对称矩阵;若A=-A,称A 为对称矩阵 命题2.(4)=4;(A+By=A+B;(a4)=a4;(ABy=B′ 设A=(a;)mn∈C.定义A的共軛为A=(a1i)nm,其中可是a的共轭元 命题3.A=A;A+B=A+B;aA=aA;AB=AB;A=A;(A)=A 二.初等变换和初等矩阵 1.矩阵的初等变换:将矩阵A的某一行(列的元素乘以一个非零常数,称为矩阵的倍法变换;交换矩阵 A的两行(列)的位置,称为互换变换;将矩阵的某一行乘以一个常数加到另外一行,称为矩阵的消法变换
初等矩阵:将单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.P((c)表示在E的第i行(列) 乘以一个非零常数c得到的矩阵,称为倍法矩阵;P(i,j)表示交换E的第i行(列)和第j行(列的位 置得到的矩阵,称为互换矩阵;P(,j(k)表示将E的第j行乘以常数k加到第i行(将E的第i列乘 以常数k加到第j列)得到的矩阵,称为消法矩阵 定理1:对矩阵作行的初等变换相当于左乘相应的初等矩阵;对矩阵作列的初等变换相当于右乘相应的初 等矩阵 定理2:任意的A∈Fm"都可以经过行和列的初等变换化为 E,0 三.矩阵的秩 矩阵A中不等于零的子式的最大阶数称为4的秩,记为rank(4).记零矩阵的秩为零 定理3:初等变换不改变矩阵的秩 Er 0 注:A可以经过初等变换化为 的充要条件是秩(A) 四.可逆矩阵 设A∈F",若有B∈Fm使得AB=BA=E,则称A是可逆矩阵,并称B是A的迎矩阵, 记为B=A-1 命题4.(A-1)-1=A;(4)-1=(A-y;(aA-1)=A-1;(AB)-1 命题5.P(i(c)-=P(i(c-1);P(i,j)-1=P(i,j);P(i,j(k)-1=P(i,j(一k) 定理4.设A是n阶方阵,则下列叙述等价 (1)A可逆 (2)存在矩阵B使得AB=E; (4)rank(A) (5)A可以经过行和列的初等变换化为E 6)A是有限个初等矩阵之积 逆阵的求法 法1.由定义 法2.对A可逆,存在可逆阵B,使得BA=E.B可以表示为有限个初等矩阵的乘积,而左乘初等矩 即 对(A,E)经过行的初等变换化为(E,A-1) 法3.4-1=“,这里A是A的件随矩阵,即A=(4)×m,A是的代数余子式 五.矩阵的相抵关 设A,B∈Fm,若存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,使得PAQ=B,则称A与B相抵,记为 A2 B 定理5.(1)A-A:AsB,则Bs4;若AsB,BsC,则AC; (2)A与B相抵的充要条件是秩(4)=秩(B)
E (3)任一矩阵A都相抵于形如(00)的矩阵 三.方块矩阵的块初等变换 对矩阵Am先用若干条横线划为r块,再用若干条竖线划为s块,得到一个rs分块矩阵,可记为 411412 A21 A 注意每个A是一个矩阵.A称为第(,j)块.A可以记为A=(4y),但要注明这是分块矩阵 分块矩阵A=(4;)s和B=(b)hn称为相等,如果r=h,s=1,且A=Bij,1≤i≤r 设m×n矩阵A和B有相同的分块,即A=(4;),B=(b)s且A和B;作为矩阵有相同的 行数和列数.则A和B的加法为A+B=(A+B;)对于a∈F,a的A数乘为aA=(aA;)s 设A=(4)和B=(B;)s为分块矩阵,且A为m;行m列矩阵,B为n;行l矩阵.则 A和B的乘法为AB=(C),其中C;=∑k=1AkB是m行l列矩阵 命题6.设A=(4;)s为分块矩阵 (1)(A;)s=(4;)sr (2)(4x;)rs=(4x)ys 例1.任一方阵可以表为对称阵与反对称阵之和 证明提要:4=++,而当“是对称阵,当“是反对称阵 例2.设A=(a)∈F,则A的迹为Tr(4)=a11+a22+…+anm (1)RiE: Tr(A+B)= Tr(A)+Tr(B), Tr(AB)= Tr(BA), Tr(aA)=aTr(A), Tr(A)=Tr(A) Tr(44)=∑;a2 (2)设A,B是n阶实对称阵,C是n阶实反对称阵,且A2+B2=C2.求证:A=B=C=0 证明提要:(2)设A=(a1)nmB=(b;)nxm,C=(c)m×m,考察等式两边的对角线元素,可得 ∑=1n+∑=1=-∑m1,1≤j≤n因为A,BC是n阶实矩阵,故0=by=cj=0 1<i,<n.即A=B=C=0 例3.(1)设|4≠0.求证A*|=|A (2)设A|B≠0.求证(AB)*=B*A*和(A+)*=A1=2A 例4.(1)设 E=0,则 A+2E (2)如果A4=0,证明(E-A)-1=E+A+A2…+A4-1 证明提要:(1)由条件,知A(A+2E)=E (2)直接验证(E-A)(E+A+A 例5.设AB=A+B,求证AB=BA. 证明提要:由AB=A+B,得到(E-4)(E-B)=E,所以(E-B)(E-A)=E.即得到 BA=A+B,故AB=BA
例6.设P Er O Eh L E10 o En 0 EL E10 1=(41M),其中A1∈Fxh,A4∈F,求PAAQ,TA和AS 例7.M=/4C A-1-A-CB-1 A|B|≠0.求证:M 证法1.直接验证MM-1=M-1M=E 证法2.带定系数法、设M-1=(Xy),从MM1=E解得xy,z 证法3.块初等变换.因为 0 0 E 0 E 6a)()-(6B) 所以M-1 (。)(6 E 0 A-I -AICB 0 B 例8.(1)设A∈F,B∈FmXH,证明E-AB|=E-B4 (2)计算行列式 a1an+I +1 证明提要:(1) E. A 0 Erm-BA (E Em )(B E)-(EnBaB e) 两边取行列式,利用 Laplace定理展开即得. 2)原式 (-1)“E2 (-1)(1-n)(1-∑=27)-(=14/2 例9( Binet-Cauchy公式).设A∈Fm,B∈FmX",则 AB 12 1 证明提要令!?=40)因为E0/EB E B 0-AB),所以4B
当mn时,用 Laplace定理对92的后n列,得到 (-1)4+2+++(m+1)+-+m+n)an(m+1m+2 余子式Mg m+n)是由E去掉第i,2…,n行再凑上A而得出的m 阶行列式,用 Laplace定理对后n行展开,得 i1 1m+2 1n时,对单位阵Em有 41+2+…+n+k1+k2+…+knM 1l2 k;,1< 所以 m+1m+2 )4+2++x+(m=n+1+“ 1<i1<i2<…<in< 综合,有 AB=(-1) (-1)+2++n+(mn 1<i1<i<…<i<n (-1)42+42++n+(m-+1)++mA 122
例10.设A∈Fm",B∈Fm,则C=AB的任一r阶子式为 n< r 证明提要:设A=(a)∈Fmn,B=(huk)∈Fm,C=(ck)∈Fm.则k=∑1=1tbk /1 利用 Binet-Cauchy公式即得 习题 题1.填空 (2).已知022X=1 0|.则X 00 (4.()=x2+2x+2.(-23),则f4 6).秩30 460 (6).设A为四阶方阵,A|=2.则(34)-1-24|= 题2.(1)设对任意的B∈F"均有AB=BA,则A=AE (2)设对任意的n阶可逆阵B均有AB=BA,则A=AE 题3.记e1= 称为n维标准列向量;c1,e2…,en称为 n维标准行向量.m维标准单位列向量e和n维单位行向量e的乘积e;称为n阶基础矩阵,记为 Ej·基础矩阵E的第(i,j)分量是1,其它分量都是0.求证: (1)ee;=6j,其中是 Kronecker符号,j= (2)Am×ni是A的第i列,c;Amxn是A的第i行 (3)e4m (5)设A=(a)nxm,则A=∑=1∑=1aE (6)EA将A第j行变为第i行,其余元素为0;AE;将A第i列变为第j列,其余元素为0
(7) Eij AEk=ajk Eil 题4,设A∈Fm",且rank(4)=7.求证: 1)A=41+A2 A,这里rank(A;)=1,1≤i (2)存在可逆阵PQ使得PA=(Cxn),AQ=(Dmx,0,这里rk(C)=rank(D)=F (3)存在B∈F且rank(B)=m-r,使得AB=0 题5.一个n阶方阵S称为幂等阵,如果A2=A.设A是n阶方阵求证:存在可逆阵P,Q和幂等 阵S,T,使得A=PS=TQ 题6.两个上(下)三角矩阵的乘积还是上(下)三角矩阵;可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角 矩阵 题7.设n阶方阵A的顺序主子式都不为零,求证:存在下n阶三角阵B,使得BA是上三角阵 题8.设A是n阶可逆矩阵,若A的每行元素之和等于常数c,求证:4-1的每一行元素之和等于 题9()1M=(DB)4≠0M≠D求 2)1设ABC、D都是n阶方阵,且团4≠0AC=C4证明。CD=AD=CB 题10.计算行列式
