高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xml. edu.cn 第二章行列式 提示:行列式的等价定义很多,主要有不同行不同列元素乘积的代数和,归纳法,从数预F上全体n阶方 阵到F的满足若干条件的映射.但学习行列式理论,重点应掌握行列式的性质及用以计算,并掌握一些基本 的计算方法.在计算机普遍应用的今天,不必在计算技巧方面花太多精力.下一讲中利用方块矩阵的初等变 换计算形如E-AB|的行列式的方法必须掌握 一.行列式的定义与性质 1.定义 n阶行列式是由数域F上的n2个数决定的一个数,定义为 2122 ∑(-1 -IT(1j2".2j2 anl an2 其中T(1j2…jn)是j1,…,}的逆序数 由数域F上的mn个数aij;1≤i≤m,1≤j≤n排成m行n列矩形阵列,a在第i行第,列, 称为一个m行n列矩阵,简称m×n矩阵.记为A=(0)mn 11 当m=n时,A称为n阶矩阵.记为A=(a;)n一个n阶矩阵A决定的行列式称为矩阵A的行列 式,记为A 2.性质 定理1.行列式和它的转置行列式相等 定理2.行列式的两行(两列)互换,行列式改变符号 定理3.行列式的某行(列)的公因子可提到行列式的外面,或若以一个数乘行列式等于用该数乘以行列式 的任意一行(列) 定理4.若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和.即 (nI a n2 I anl an2 定理5.把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不
记M;是去掉A的第i行第j列余下的元素按照原来的顺序排列得到的n-1阶行列式,称为a;的 余子式.A=(-1)+M称为a的代数余子式称A*=(4)为矩阵A的伴随矩阵 定理6.行列式按行(列)展开.设A是n阶行列式,则有 akiAil+akaI+ 其中A是a;的代数余子式 注:上面的两个等式说明了AA*=E,A+A=E,这里E是n阶单位阵 设A是n阶矩阵.取A的第i,i2,…,i行j,j2,…,;列交叉点上的元素按照原来次序排列构成的 r阶行列式记为A( 这里1≤i1<12<…<i≤m,1≤j<j 去掉A的第i1,12…,行j1,j2,…,列余下的元素按照原来次序排列构成的n-7阶行列式称为 …)的余子式,记为M4(… 称 (-1y+++4++++M1( 为A( )的代数余子式,记为A(2 定理7( Laplace定理)设在n阶矩阵A中任意取定了k(1≤k≤n-1)个行(列),由这k个行(列) 元素组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式4 取定第i,i2,…,i行時 取定第j,j2 列时, 1<1<…<ik<n 行列式的计算 例1.设A为3阶方阵,4=-2,计算42|,24和|-4 的 例3.设A为三阶方阵,A*为伴随矩阵,4=,计算(4-1)-8A 例
解法1提要从上到下,每一行乘以一x加到下一行,原行列式化为 0 解法2提要.由第一列展开 解法1提要.消去第一列,原行列式化为 解法2.第一行展开,原行列式=I=00-∑=1bc=1=; 例 解法1提要.累加法.各列累加到第1列,提取公因子.将第1列乘以-;加到第讠列,2<i<n 化为例5的形式 解法2提要.升阶法 1 将第1列乘以-;加到第i列,2≤<n+1,化为例5的形式 例7. Vander monde行列式 D 2
解法提要.第n-1行乘以一r加到第n行,第n-2行乘以-r加到第n-1行,,,,第1行乘以 r加到第2行,每列提取公因子,则原矩阵化为 IIC 用归纳法,有D=In>>1(x-m 注:数学归纳法类型I:Dn=aD-1+ D 解法提要:最后一列拆项,得 0 U (x-y)Dm=1+y(x-2) 由于2,y的对称性,我们有Dn=(x-2)D-1+x(x-y)-1.联立方程,得结果 法:数学归纳法类型Ⅱ1{Dn=D=1+a(a≠ 例9 + b 0 a+b ab 解法提要.按第1列展开,可得Dn=(a+b)D=1+mbDn-2 注:数学归纳法类型I:Dn=pD-1+qD_2设a,b是x2-p+q=0的根,p=a+b,q=ab Dn -aDm-1=b(Dn=I-aDn=2) Dn-bDr-1=a(Dr-1-bD, 化为类型I,类型II 阶矩阵 证明提要.设A=(a;)n×m,B=(b)nxmC=AB=(c;)nxm:由 Laplace定理知 AB
第n+1行乘以a1加到第1行,第n+2行乘以a12加到第1行,…,第2n行乘以a1n加到第1 行,则原式化为 0 第η+1行乘以α21加到第2行,…,第2n行乘以2n加到第2行,继续下去,第n+1行乘以a3 AB 最后一个等号由 Laplace定理得到 题1.计算 题2.设三阶矩阵A=(0,2)2,33),B=(6,m2,3),其中a,B,2,^3均为三维列向量,且已知 4|=15,|B|=3.求行列式A-B的值 题3.求证:奇数阶反对称阵的行列式等于0 题4.设n阶行列式4的值为C (1)将A的第1行移到最后一行,其余各行依次保持原来次序向上移动,则得到的行列式的值为 (2)将4|的每i行移到第n-i行,则得到的行列式的值为 (3)将|A|的每第(i,j)元素a换到第(n-i+1,n-j+1)位置上,则得到的行列式的值为 (4)将4的每个元素ai换成(-1)4+,则得到的行列式的值为 (5)将A的每个元素a换成b-a,b≠0,则得到的行列式的值为 (6)从|4的第二行开始每行加上它前面的一行,同时第一行加上|A的第n行,则得到的行列式的值为 题5
题6. 12 n+1 题7 题8.证明 0 1 2 cos 1 sin(n+ 1 0 0 2 cos 1 题9. 123 题10.证明 其中A;是a的代数余子式
