厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:域名: gdjpkc.xmu. edu.cn §3方阵的逆阵 教学目的和要求理解和熟练掌握矩阵的逆的概念与性质,掌握用伴随矩阵求 逆的方法与相关性质 可逆的定义与性质 定义设A是一个n阶方阵.若存在一个n阶方阵B,使得 AB= BA=I 则称B是A的逆阵.称A是可逆阵(或称为非奇异矩阵),否则称为非可逆阵(或 称为奇异阵 命题若n阶方阵A可逆,则逆阵唯一,记为A 证明设B,C是A的逆矩阵,则AB=BA=I,AC=CA=I.所以 B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C. D 注1只有n阶方阵可讨论是否可逆 注2并非任一非零阵有逆,如A 00)不可逆事实上,若A有一行 或一列全为零,则A不可逆 注3若AB=AC且A可逆,则B=C;若BA=CA且A可逆,则B=C 注4A-1BA=B一般不成立 性质 (1)若A可逆,则(-1)-1=A (2)设A,B可逆,则AB可逆且(AB)-1=B-1A-1 (3)若A可逆,c非零数,则cA可逆且(cA)-1=c-14-1 (4)若A可逆,则A可逆且(4)-1=(4-1y; (5)若A可逆,则可逆且(-1=(A-1)
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §3 ✑✒✓✔✒ ✕✖ ✗✘✙✚✛ ✜✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✪✬✭✮✯✰✱✦✧✲✳✴★✩✵ ✫✪✶✷✮✸✹✯✰✺ ✻✺✼✽✘✾✿❀❁❂ ✾✿ ❃ A ❄❅❆ n ❇ ✶✩✺❈❉❊❅❆ n ❇ ✶✩ B, ❋● AB = BA = In, ❍■ B ❄ A ✪✫✩✺■ A ❄❏✫✩ (❑ ■▲▼◆❖★✩), P ❍■▲▼❏ ✫✩ (❑ ■▲◆❖✩ ). ◗❘ ❈ n ❇ ✶✩ A ❏ ✫✱❍✫✩❙ ❅ ✱❚▲ A−1 . ❯❱ ❃ B, C ❄ A ✪✫★ ✩✱❍ AB = BA = I, AC = CA = I. ❲❳ B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. ✷ ❨ 1 ❩❬ n ❇ ✶✩ ❏❭❪❄P❏✫✺ ❨ 2 ❫ ▼❴❅ ▼❵✩ ❬ ✫✱❛ A = 1 1 0 0 ❜ ❏ ✫✺❝❞❡✱❈ A ❬❅❢ ❑❅❣❤▲❵✱❍ A ❜ ❏ ✫✺ ❨ 3 ❈ AB = AC ✐ A ❏ ✫✱❍ B = C; ❈ BA = CA ✐ A ❏ ✫✱❍ B = C. ❨ 4 A−1BA = B ❅❥❜❦❧✺ ❁❂ (1) ❈ A ❏ ✫✱❍ (A−1 ) −1 = A; (2) ❃ A, B ❏ ✫✱❍ AB ❏ ✫ ✐ (AB) −1 = B−1A−1 ; (3) ❈ A ❏ ✫✱ c ▼❵♠✱❍ cA ❏ ✫ ✐ (cA) −1 = c −1A −1 ; (4) ❈ A ❏ ✫✱❍ A0 ❏ ✫ ✐ (A0 ) −1 = (A−1 ) 0 ; (5) ❈ A ❏ ✫✱❍ A ❏ ✫ ✐ (A) −1 = (A−1 ). 1
注n阶方阵A1可逆,1≤i≤r,则(A142…A)-1=A1…A21A1 注n阶方阵A,B可逆,A+B未必可逆 A的伴随矩阵 定义设A是一个n阶方阵,行列式|4中元素a的代数余子式记为A,称 下列矩阵为A的伴随矩阵,记为A* A142 InAn inn 命题AA=AA=|4|1 证明 Aj1+ai2 Aj2+ 6|A4.口 定理若41≠0,则A可逆,且4=而A 例143+A2+A+I=0,则A可逆 例2A≠I,A2=1,则A+I不可逆 例3A,B,A+B是可逆阵,则A-1+B-1也可逆 分析+= 证明因为B(A-1+B-1)4(4+B)-1=I,所以(A-1+B-1)A(A+B)-1B=L 同理,A(A+B)-1B(-1+B-1)=I.所以(4-1+B-1)-1=A(A+B)-1B.口 例4设A为n阶方阵,X,B为n维列向量,且AX=3.若|4≠0,则 A-13.这就是 Cramer法则 作业:Ps1(1),6,9,10
❨ n ❇ ✶✩ Ai ❏ ✫✱ 1 ≤ i ≤ r, ❍ (A1A2 · · · Ar) −1 = A−1 r · · · A −1 2 A −1 1 . ❨ n ❇ ✶✩ A, B ❏ ✫✱ A + B ♥♦❏✫✺ ♣✺ A ✘qrst ✾✿ ❃ A ❄❅❆ n ❇ ✶✩✱ ❢❣✉ |A| ✈ ✇① aij ✪②♠③④✉ ❚▲ Aij , ■ ⑤ ❣ ★✩▲ A ✪✳✴★✩✱❚▲ A∗ . A ∗ = A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 · · · · · · · · · · · · A1n A2n · · · Ann . ◗❘ AA∗ = A∗A = |A|In. ❯❱ ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · · + ainAjn = δij |A|; a1iA1j + a2iA2j + · · · + aniAnj = δij |A|. ✷ ✾⑥ ❈ |A| 6= 0, ❍ A ❏ ✫✱✐ A−1 = 1 |A|A∗ ⑦ 1 A3 + A2 + A + I = 0, ❍ A ❏ ✫✺ ⑦ 2 A 6= I, A2 = I, ❍ A + I ❜ ❏ ✫✺ ⑦ 3 A, B, A + B ❄❏✫✩✱❍ A−1 + B−1 ⑧❏ ✫✺ ⑨⑩ 1 a + 1 b = a+b ab . ❯❱ ❶▲ B(A−1 +B−1 )A(A+B) −1 = I, ❲❳ (A−1 +B−1 )A(A+B) −1B = I. ❷✜✱ A(A + B) −1B(A −1 + B−1 ) = I. ❲❳ (A −1 + B−1 ) −1 = A(A + B) −1B. ⑦ 4 ❃ A ▲ n ❇ ✶✩✱ X, β ▲ n ❸❣❹❺✱✐ AX = β. ❈ |A| 6= 0, ❍ X = A−1β. ❻❼❄ Cramer ✷❍✺ ❽❾❿ P58 1(1), 6, 9, 10. 2
