高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xml. edu.cn 第十三章等价关系与矩阵标准形 提示:集合的一个分类决定一个等价关系;集合的一个等价关系决定的一个分类.按照等价分类,决定等 价分类的完全不变量,确定分类个数,选取每类的代表元,这是代数学的一种重要思想方法 本章总结了高等代数中的各种等价关系,并重点回顾和讨论了矩阵的几种重要的等价关系:相抵关系,相 似关系,正交相似关系,合同关系.要掌握等价分类取代表元的思想方法,并用解决各种相关问题.同时要 注意在同构意义下矩阵的命题与线性映射(线性变换)命题的对应 等价关系与分类 设S是一个集合,如果我们将S划分成为若干个非空子集,使得S中的每个元素属于且只属于一个子 集,我们称对S进行了分类,同时将这些子集称为S的类.即:设{Sa|a∈Ⅰ}是S的非空子集族,满 足(1)S=Ua∈r5Sa:;(2)Sa∩Sa=0 集合的一个二元关系~称为S的一个等价关系,如果~满足:(1)反身性,即对任意a∈S,有 ~G;(2)对称性,即a~b,则b~a;(3)传递性,即a~b,b~c则a~c 定理1.集合S的一个分类决定S的一个等价关系;集合S的一个等价关系决定S的一个分类 设~是集合S的一个等价关系,a∈S,令互={b∈Sa~b,则称为a所在的等价类,称a是 等价类a的一个代表元.若b∈z,即a~b,则b=b.所以,等价类与代表元的选取无关.等价类一个共 的一个不变量P称为完全不变量,如果a,b具有性质P,则a~b 二.矩阵中几种等价关系 1.矩阵的相抵关系 设A,B∈Fm,如果存在可逆阵PQ使得B=PAQ,则称A相抵于B,记为AB.矩阵的相 抵关系是等价关系.AsB的充分必要条件是rank(A)=rank(B).所以矩阵的秩是相抵关系的全系不 变量,F被相抵关系的等价分类共有m(m+1)每类的代表元是(0 设A,B∈Fm×",则A相抵于B的充分必要条件是A,B是一个n维线性空间到m维线性空间的线 性映射在不同基下的矩阵. 2.方阵的相似关系 设A,B∈Fm",如果存在可逆矩阵P∈F,使得PAP-1=B.称A相似于B,记为A~B FXM中的相似关系是等价关 设A,B∈C.则A≈B的充分必要条件是A,B有相同的行列式因子,充分必要条件是A,B有相 同的不变因子,充分必要条件是A,B有相同的初等因子组.所以,行列式因子,不变因子,初等因子组, Jordan标准形是Cx上方阵相似的完全不变量. Jordan标准形是一个等价分类的代表元因为A≈B, 则(λE-A)(λE一B),所以行列式,特征多项式,最小多项式,秩,迹都是方阵相似的不变量,但不是 完全不变量
设A,B∈F",则AB的充分必要条件是A,B是一个n维线性空间的线性变换在不同基下的矩 3.R的正交相似 设A,B∈R",称A与B正交相似,如果存在正交矩阵T,使得A=TAT=T-1AT.正交相似 是等价关系. R"X"上两个矩阵正交相似的充分必要条件是它们是n维欧氏空间V的一个线性变换在两个不同的标准 正交基下的矩阵 在R”xm中全体正交矩阵构成的集合中,正交相似是等价关系 diag( Er, -Es, cosar -sinar -sInat COsal 是正交相似等价类的一个代表元,这里cos- asina,1≤s≤l,是A的复特征根 Rn上两个正交矩阵正交相似的充分必要条件是它们是n维欧氏空间V的一个正交变换在两个不同的 标准正交基下的矩阵 在Rn中全体对称矩阵构成的集合中,正交相似是等价关系特征根相同是等价关系的全系不变量.对 角阵是正交相似等价类的一个代表元 R“Xn上两个对称矩阵正交相似的充分必要条件是它们是n维欧氏空间V的一个对称变换在两个不同的 标准正交基下的矩阵 4.对称阵的合同关系 对称矩阵A,B∈F”称为合同的,如果存在可逆阵P∈FX",使得B=PAP,对称矩阵的合同 关系是等价关系.对角阵是等价类的一个代表元 两个对称矩阵合同的充分必要条件是它们是同一个二次型在非退化线性替换前后的矩阵 在C"上全体对称矩阵构成的集合中,合同关系是等价关系.矩阵的秩是等价关系的全系不变量 00)是等价类的一个代表元 R"X的全体对称阵构成的集合中,合同关系是等价关系.A合同于B的充分必要条件是rank(4) rank(B)且符号差相等.所以,秩和符号差是等价关系的全系不变量,{0-E,-0是等价类 的一个代表元.R×"的全体正定矩阵构成了一个等价类,等价类的一个代表元是单位阵E 例1.数域F上全体有限维线性空间构成的集合中,线性空间的同构是一个等价关系.共分成N类. 为VW的充分必要条件是dim(V)=dim(W),所以维数是线性空间同构的完全不变量.在所有 线性空间中,F"的元素形式最简单,取它做等价关系下的一个代表元 例2.实数域R上全体有限维欧氏空间构成的集合中,欧氏空间的同构是一个等价关系.共分成N类 维数是这个等价关系的完全不变量.R是等价关系下的一个代表元 例3.由线性空间V的向量组组成的集合中,向量组的等价是等价关系.线性无关极大组是等价关系下 的一个代表元
例4.数域F的所有n元线性方程组中,方程组的同解是一个等价关系 例5.(1)设A∈Fmx",且rank(4)=r.求证:A=41+A2+…+Ar,这里rank(A)=1 ≤i≤r; (2)设A∈F".则rank(4)=r的充分必要条件是存在矩阵P∈F,Q∈F",rank(P)= rank(Q)=r,使得A=PQ 例6.设V是n维线性空间,设W是m维线性空间,A:V→W是线性映射.求证:V=VV2 这里V1ImA,V2=KerA 例7.设A∈C,则A=B+C,这里B是可对角化矩阵,C是幂零矩阵,BC=CB 证明提要:设A的 Jordan标准形为J.即存在可逆阵P,使得A=P-1JP,这里 J= diag(J(A1, T1),J(2, r2),,,,(t, rt)l 因为J(A,7;)=A:E+J(0,r),所以 J=diag{A1E1,A2E2,…,AE1}+diag{J(0,r1),J(0,r2),…,J(0,r)} 记B1=diag{A1En1,A2E2,…,AE},C1=diag{J(0,r1),J(0,r2),…,J(0,rt)},则B1是对角 阵,C1=0,这里r=max{r}令B=P-1B1P,C=P-C1P,则B是可对角化的,C是幂零, 且 例8.设A是正交矩阵.求证:存在唯一的正交矩阵B,使得A=B3 例9.设A是对称矩阵求证:存在唯一的对称矩阵B,使得A=B3.并且对于任意矩阵C,BC=CB 的充分必要条件是AC=CA 且分解 式唯一 习题 题1.(1)设A∈Fm",则rank(4)=r的充分必要条件是存在r个线性无关的a1,a2,…,ar∈ 1x,r个线性无关的61,B2,……,B∈Fm×1,使得A=B1a1+B202+…+1 ,an∈R”,使得A=Aa1a1+入22a2 3)设A是n阶实对称矩阵.则A是正定矩阵的充分必要条件是存在7个线性无关的a1,a2,……,Or∈ R",使得A 题2.设A∈F×n,求证:A=BC=CD,这里B2=B,D2=D,C是可逆阵 00 01 3.(1)设H 证明H H且H-1J(A,m)H 00 J(, m) (2)设A∈C,则A=BC这里B′=B,C'=C且C为可逆阵
题4.(1)设f1(x),f2(x),…,fm(m)是两两互素的多项式,a1,a2,……,am是m个数.证明存在多 项式g(x),满足9(x)=f(x)q(x)+a;1≤i≤ (2)证明习题3中的B是A的多项式; (3)证明习题3中的分解是唯一的 题5.设A是正交矩阵且|4=1.求证:存在唯一的正交矩阵B,使得A=B 题6.设A是实对称矩阵,t为任意奇正整数.求证:存在唯一的对称矩阵B,使得A=B'.并且对 于任意矩阵C,BC=CB的充分必要条件是AC=CA 题7.把复n阶对称矩阵按合同分类,共有几类?把实n阶对称矩阵按合同分类,共有几类? 题8.设A是半正定矩阵(正定矩阵).求证:存在唯一的半正定矩阵(正定矩阵B,使得A=B2,并 且对于任意矩阵C,BC=CB的充分必要条件是AC=CA 题9.(1)设A,B∈RXm,如果存在正交阵P,Q使得B=PAQ,则称A正交相抵于B.矩阵的 相抵关系是R×m中的等价关系 2)证明n阶可逆实矩阵A正交相抵于diag{m1,m2,…,tn},这里m1,2,…,n都是正实数,且 l1,n2,…,m2是A'A的所有特征值 (3)证明任意n阶实方阵A都正交相抵于形如B0 00)的矩阵,其中B是r阶可逆实方阵 (4)证明任意n阶实方阵A都正交相抵于diag{ 0}的矩阵,其中r=rank(A) 1,2,…,tn都是正实数,且v2,12,……,v2是AA的所有特征值 (5)设A∈R",则存在正交矩阵T,半正定矩阵S1,S2,使得A=S1T=TS 题10.写出上面各习题对应的线性变换的结论