高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xml. edu.cn 第七章矩阵的秩 提示:秩的概念在矩阵理论中占有非常重要的地位.一方面,它是矩阵相抵关系的完全不变量;其次,它可 以从许多角度来刻画,导出高等代数内容的本质联系;再次,矩阵秩的一些等式和不等式有非常广泛的应用 掌握从行列式,相抵标准形,向量,线性空间,线性方程组,线性变换,矩阵分解等各个角度来理解矩阵 的秩的概念.或许定理1罗列的内容太多,其中相当一些内容只要了解即可;从各个角度来证明矩阵秩的命 题,一些也是共欣赏的.但是从中我们可以领略高等代数的奥妙和精彩 矩阵的秩的等价刻划 定理1.设A∈FmXm,下列叙述都是秩的等价定义 (1)rank(4)=7; (2)A中不为零的子式的最大阶数是r; 3)A中有一个r阶子式不等于零,所有r+1阶子式全为零; (4)A中有一个阶子式D不等于零,所有包含D作为子式的r+1阶子式全为零; (5)As (6)存在可逆矩阵P∈Fm,Q∈FXn,使得PAQ (7)4的行向量的极大无关组所含向量个数为 (8)A的列向量的极大无关组所含向量个数为r 9)A的行空间的维数是r (10)A的列空间的维数是r (11)线性方程组AX=0有r个独立的方程,其余方程是这些方程的线性组合 (12)线性方程组AX=0的解空间的维数等于n-r; 线性 映射A对应A,即 A(a1,a2,…,an)=(1,B2,…,6n)A 则ImA的维数等于r 14)设有线性映射A:F"→F",XAX,dim(m4)= (15)存在矩阵P∈Fm,Q∈F",rank(P)=rank(Q)=r,使得A=PQ (16)存在r个线性无关的a1,a2,…,∈Fl×m,r个线性无关的B1,B2…,房∈Fm×,使得 4=B1a1+2Q2+…+B1 定理2.(1)rank(A)=rank(4 (2)rank(aA) rank(4)a≠0 (3)rank(A)=rank(A). 当rank(4) (4)设A∈F,则rank4+=1当rank(4)=n 0当rank(4)<n
(5)设A∈Fm",P是m阶可逆阵,Q是n阶可逆阵,则rank(PA)=rank(4Q)=rank(4) (6)Tank(0 B)=rank(A)+rank(B) 例1.rank(AA)=rank(A);特别地,当A∈RmX时,有rank(’A)=rank(A) 证法1提要.用 Binet- Cauchy公式 设m4=,则存在4()≠0.面所有阶子式(>n均为记C=(A 则C的r阶子式 .r 1 1r) 10 所以rank(AA)=rank(CC)=r 证法3提要.记AX=0的解空间为V,AAX=0的解空间为V,则VW.设X∈W,则 xAx=0.记AX=y=(m,y2…,m),则0=yY=苏m1+页2+…7mym,所以v=0 1≤i≤m,所以X∈V.这样V=W.故 rank(A4)=n-dim()=n-dim(V)=rank(4) 例2.(1)A去掉一行(列)得到矩阵B,则rank(4)-1≤rank(B)≤rank(A) (2)设A∈Fmx",rank(4)=r.从A中取行作成B∈F,则rank(B)≥r+s-m (3)设A∈Fmn,rank(4)=r.从A中划去m-行与n-t列,其余元素按原来相应位置排成矩 阵C∈F.则rank(A)≥r+s+t-m-n
例3.设A∈FmM,B∈F,则rank(AB)≤min{rank(4,rank(B)} 证法1提要:设rank(4)=7.当s>r时 AB(21 听以rank(AB)≤r=rank(4),同理,rank(AB)≤rank(B) 证法2提要设m=4=P(60) E10 00/B)≤ i rank(B)=8 B-P( 0)Q1, rank(AB)=rank(API( E. 0 证法3提要:设rank(4)=r,rank(B)=s.则存在可逆矩阵PQ,使得PA=(C,BQ D. o ).EFEX rank(AB)-rank( PA)(BQ)=rank (Cr(D, 0 )=rank(0o 证法4提要设A=(142…An),B=(b)n则AB=∑H=1bn4,∑1b24 ∑=1bAn).所以,AB的列向量可以由A的列向量线性表示,故rank(AB)≤rak(4)考虑AB的 行向量,可得rank(AB)≤rank(B 证法5提要:记BX=0的解空间是V,ABX=0的解空间是W,则VgW.故rank(B)=l dm(V)≥l-dim(W)=rank(AB).同理,考虑B'AX=0与4X=0,可得rank(4)≥rank(AB) 证法6提要:取l维线性空间V的一个基a1,a2,…,ar,n维线性空间U的一个基1,2,……,Y m维线性空间W的一个基β1,B2,…,βm·设线性映射A对应A,线性映射6对应B,即 6(a1 因为Im(A6)ImA,所以rank(4)=dim(mA6)≤dim(mA)=rank(4).另一方面,因为 KerB C Ker(A6),FrDA rank(B)= dim(ImB)=l-dim(KerB)>I-dim(Ker AB)=dim(Im AB) rank(AB 证法7提要:用块的初等变换 E B E 0 A 0 又因为rnk(EB)≤rnk(EE)事实上,B的列向量可由E的列向量线性表示,所 EB)列向量可由/A0 以(A0 线性表示 0=AB 所以,raAB)+n=rank(E0 40 ≤rank(E rank(A)+n, *h rank(AB) rank(4),同理可证rank(4B)<rank(B)
证法8提要:因为(4,0)(0B)=(4.4B),所以rank(4B)srmk(4,4B)=rnk(4.0) n()(B)=( AB)所以rank(AB)s AB rank(B) 例 (A, B)S rank(A)+rank(B) 法1提要:设rank(4)=r,即A的列向量的极大无关组含r个向量.所以,做列的初等变换可使A 除去r列外全为零;设rank(B)=“.同理用列的初等变换可使B除丶列外全为零.所以,做列的初等变 换可使(A,B)除r+s列外全为零,故rank(A,B)≤r+=rank(4)+rank(B) 证法2提要:设rank(4)=r,41,A2,……,A,是A的列向量的线性无关极大组,设rank(B)= sB1,B12,…,B,是B的列向量的线性无关极大组,则(A,B)的列向量可由A1,A2,…;A,Bn B B;。线性表示,故rank(A,B)≤r rank(A)+rank(B) 证法3提要:设rank(A)=7,则齐次线性方程组AX=0有r个独立的方程.设rank(B)=s,则 齐次线性方程组BX=0有、个独立的方程,这样(n)x=0的独立方程的个数至多为7+,个 所以rank(A,B)=rank 证法4提要设(B)X=0的解空间为V,4X=0的解空间为W,BX=0的解空间为 U.则V=W∩U.因为dim(W+U)+dim(W∩U)=dim(WV)+dim(U),所以rank(A,B) m-dimwv nU)=(m-dim())+(m-dim(U))+dim(w +U)-ms(m dim(IV))+(m-dim(U))=rank()+rank(B) 证法5提要:rank(A,B)<rank A B ank(A)+rank(B) 证法6提要:(A,B)=(4,0)+(0,B).利用结论”rank(A+B)<rank(4)+rank(B) 列 来自A或至少有+1列来自B.对这些列用 Laplace定理展开即得到此子式为零 例5.rank(A+B)≤rank(4)+rank(B) 证法1提要:设Aa1,Aa2,…,Air是A的列空间的基,Bn,Bg2,…,B;s是B的列空间的基.则 A+B的每个列向量都可以由它们线性表示,故rank(4+B)≤r+=rank(4)+rank(B) 证法2提要:A+B的每个列向量都可以由(A,B)线性表示,故rank(A+B)≤rank(A,B))≤ 证法3提要:设rank(4)=r,rank(B)=s.故存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2,使得A=P1CQ1 B=P2DQ2这里C=(E0 则A+B=(B1,P2) 所以rk4+B)srnk(0D/(e2)≤rmnc0 C0(Q1 D))=rank(A)+ rank(B) 证法4提要:设A,B∈Fmn,rank(4)=r,rank(B)=.故存在P1∈Fm,Q1∈Fm,P2∈
rF使A=,B=月Q、因A+B=(n1B)(8:)以 rank(A+B)≤rank(,P2)≤rank(4)+rank(B 证法5提要:rank(A+B) dim(Wv nU)=dim(IV)+dim(U)-dim(IV +U)>(n-rank(A))+(n-rank(B))-n n-rank(A)-rank(B). #if rank(A+ B)rank(A)+rank(B)-n,这里A∈Fm×n,B∈F 证法1提要设rnk(4)=r,则存在可逆矩阵PQ使得4=P(E0 Q.所以rank(AB) Er 0 QB)>rank(QB)-(n-r)=rank(A)+ rank (B) 证法2提要:设rank(4)=r,rank(B)=s,则存在可逆矩阵P,P1,Q,Q1,使得A= Er 0 Q, B Es 0 00 Q1,所以rank(AB)=rank( 0)2/E 00 Qn2=(C1c2)这里C1EF“则有mD2m(Cb0)≥mkQn 证法3提要:取维线性空间V的一个基a1,a2,……,a,n维线性空间U的一个基m,,…,Tn m维线性空间Ⅳ的一个基β1,B2,……,βm·设线性映射A对应A,线性映射B对应B,即 A(1,2,……,^m)=(,B2,……,Bn)A 为 =dim(Im6).所以rank(AB)=dim(ImAB)=dim(ImA lim(ImB)-dim(KerAn ImB)<rank(B)-dim(Ker A)=rank(B)+rank(A)-n
证法4提要:取l维线性空间V的一个基a1,Q2,…,Ot,n维线性空间U的一个基m172,…,Tn,m维 线性空间W的一个基1,β2,…,βm,设线性映射A对应A,线性映射B对应B.因为dim( KerAn) ImB)=dim(Ker A)+dim(ImB)-dim(Ker A+ImB) ranK(AP( E.))+rank((Es o)QC)- rank(ar(oo)Q)+rankl(00 QC)-s= rank(AB)+rank(BC)-rank(B) 证法2提要 B BC 0-ABC).所以rank(B)+ rank(ABC)=rank B BC ≥rank(AB)+rank(BC) 证法3提要:设V,WU,L是有限维线性空间,A:V→W,B:W→U,C:U→L是线性映射 分别对应矩阵A,B,C.考虑C在ImAB和Im6上的导出映射,我们有 dim(ImcB.A)+ dim(KerC nImB A)=dim(Im6.A m(ImCB)+dim(k ImB)=dim(ImB), 因为ImB.4cIm6,故有dim(ImC6A)=dim(m64)-dim( Kerch l6A)≤dim(Im6.A) dim(Kerc∩Im6)=dim(Im6A)-dim(m6)+dim(ImC6),所以 rank(CBA)> rank(CB)+ rank(BA)-rank(B) 例8.设AB=0,则rank(4)+rank(B)≤n 证法1提要:设AX=0的解空间为V,B的列空间是V的子空间,所以rank(4)+rank(B) ≤rank(4)+dim(V)=n 证法2提要:由rank(AB)≥rank(4)+rank(B)-n”直接得出 证法3提要:设rk4)=,则存在可逆矩阵PQ,使得A=P(B0 00)Q.又设QB= C1 2),这里C1是r行矩阵、由题设,知 Fr O B=0,即 ank(QB)=rank(C2)≤n
例9.设A∈F×,则A2=E的充分必要条件是rank(4+E)+rank(A-E)=n 证明提要:用块的初等变换 A+E 0 A+e A+E A+E 2E 04-E A一E 2(42-E)A-E 42-E0 习题 题1.证明矩阵的秩的等价刻划 812. rank(C B)2 rank(A)+ rank(B) 题3.设A∈Fmm,求证:A2=A的充分必要条件是rank(4)+rank(A-E)=n 题4.设A,B都是n阶方阵,而且ABA=B-1.证明rank(E+AB)+rank(E-AB)=n 题5.设rank(4-E)=p,rank(B-E)=q,求证:rank(AB-E)≤p+q 题6.设A,B都是n阶方阵,而且rank(4)=rank(BA),证明rank(42)=rank(BA2) 题7.设A,B,C都是n阶方阵,rank(4)=rank(BA).证明rank(AC)=rank(BAC *题8.设A∈Fmn,证明 (1)存在正整数s,使得rank(A)=rank(4+1); (2)若存在正整数s,使得rank(A)=rank(A+1),则对于任意正整数n,都有rank(A+1)= rank(A+") 题9.设A,B都是n阶方阵,而且AB=BA.证明:rank(4+B)≤rank(4)+rank(B) rank (AB) 题10.设A,B∈FmXn,记CA,CB分别表示A,B的行空间,RA,RB分别表示A,B的列空间 证明:rank(4)+rank(B)-(d1+d2)≤rank(4+B)≤rank(4)+rank(B)-max{d1,d2},其中, d1= dim(Ca nCB),d2=dim(RA, RB