厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 81.2-31.4行列式的性质 教学目的与要求熟练理解和掌握行列式的性质,了解用归纳法证明的步骤与 模式,能够利用行列式的性质计算行列式的值;熟练掌握重要公式(性质10);掌 握和应用 Cramer法则 性质1若|4是一个n阶行列式,且 aIn 22或|4=212 00 an1 an2 则|4=a11a22am(其中a称为|4的主对角线元 证明(1)|4为上三角行列式.n=1时|A4=a1结论成立.假设结论对于 n-1阶上三角行列式成立,考虑n阶行列式|4|.由定义知|4|=a1M1.而M1为 n-1阶上三角行列式,依归纳假设M1=a22a3am,故而|4|=a1122…amn (2)|4为下三角行列式由定义,|4=a11M1-a21M21+…+(-1)2+an1Mn1 对m-1阶行列式M1,>1,仍为下三角行列式,且M1的主对角元至少有一个 为零,故由归纳假设M1=0,>1,对M1由归纳假设M1=a22…an,所以 性质2若行列式|4的某一行或某一列元素全为零,则|4为零 证明归纳法.当n=1时,结论显然成立.假设结论对n-1阶行列式成立 先设|4中第讠行元素全为零,则 JA=a11M1 其中Mn1(≠i)中都有一行元素全为零,故由归纳假设Mn=0,而an=0,故 a1Mn=0,从而|A|=0 再设|4中第讠列元素全为零,则若i=1,显然|A|=0.若i>1,在展开式 A|=a1M1-a21M21+…+(-1)n+an1Mn
,p:8$ T #U IP &℄ 59.77.1.116; Mt gdjpkc.xmu.edu.cn §1.2-§1.4 5h "6a ourlyvs ebWBV(5h "6agWF>x0Xs"dL v y>xN M11 = a22a33 · · · ann, =. |A| = a11a22 · · · ann. (2) |A| %+S5h G*B|A| = a11M11−a21M21+· · ·+(−1)n+1an1Mn1. - n − 1 U5h Mi1, i > 1, %+S5h { Mi1 "e-SN_ H=9 %j=G>xN Mi1 = 0, i > 1, - M11 G>xN M11 = a22 · · · ann. |A| = a11a22 · · · ann. ✷ t| 2 5h |A| "w=5Gw=hN%jS |A| %j {q >x0 n = 1 Vn.dN Vn- n − 1 U5h d - |A| b' i 5N%jS |A| = a11M11 − a21M21 + · · · + (−1)n+1an1Mn1 zb Mj1(j 6= i) b+H=5N%j=G>xN Mj1 = 0, . ai1 = 0, = ai1Mi1 = 0, . |A| = 0. P |A| b' i hN%jS i = 1, . |A| = 0. i > 1, QT℄ |A| = a11M11 − a21M21 + · · · + (−1)n+1an1Mn1 1
中每个Mn1都有一列元素全为零.由归纳假设Mn=0,所以|4|=0 性质3将行列式|4的某一行或某一列乘以常数c得到行列式|B,则|B 证明归纳法.当n=1时,结论显然成立 (1)设|B中第i行的每个元素为|A中第i行每个元素乘以c,而其它行元素 与|4相同,由定义 B|=a1N1-a21N21+…+(-1)+ cai nil+…+(-1)n+an1Nn1 其中AM1为|B|的第r行第一列的余子式.由题意及归纳假设知 N1=cMr1,r≠i,Nn=Mn 其中Mn1,Mn为|4相应的余子式,由定义知|B=c4 (2)列的情形.若|B的第1列元素都是|4|的第1列元素的c倍,则将|B 按定义展开即得;若|B的第列(>1)元素是|4|的第讠列元素的c倍,利用 展开式及归纳法即得 性质4对换行列式|4的任意不同的两行,则行列式的值改变符号(绝对值不 证明对n用归纳法.当n=2时, a21a22 a12a21-a1102=-(a11a22 a12a21) 11a12 命题成立.设结论对n-1阶行列式成立.对n阶情形 a21a22 先证特殊情形一对换行列式相邻两行,其值改变符号.设|B由|A对换第 r行和第r+1行得到,记N为|B的第i行第j列元素的余子式,按定义展开 B|=a1N1-a21N21+…+(-1)+a+11Nn1+(-1)+2an1N+11+…+(-1)y+lan1Nn1 若i≠r,r+1,由归纳假设Nn1=-Mn而Mn1=Mr+11,Nr+11=Mr1,因此 B|=-4 现考虑一般情形.不妨设|4的第讠行与第j行对换,且j>讠.先将第i行 与第i+1行对换,再与第讠+2行对换,一直到与第j行对换,然后再将第j-1 行经过不断与相邻行对换到原来的第i行位置,这样共对换了2(j-i)-1次.故 仍有|B|=-|4
bo9 Mj1 +H=hN%jG>xN Mj1 = 0, |A| = 0. ✷ t| 3 Q5h |A| "w=5Gw=h c ! 5h |B|, S |B| = c|A|. {q >x0 n = 1 Vn.d (1) |B| b' i 5"o9N% |A| b' i 5o9N c, .z 5N L |A| 1!G*B |B| = a11N11 − a21N21 + · · · + (−1)i+1cai1Ni1 + · · · + (−1)n+1an1Nn1 zb Nr1 % |B| "' r 5'=h"Kh G AI>xN Y Nr1 = cMr1, r 6= i, Ni1 = Mi1 zb Mr1, Mi1 % |A| 1E"Kh G*BY |B| = c|A|. (2) h"|4 |B| "' 1 hN+ |A| "' 1 hN" c SQ |B| *BT℄J! |B| "' i h (i > 1) N |A| "' i hN" c F T℄ I>x0J! ✷ t| 4 -F5h |A| "A!"f5S5h "\7 5A ([-\ ). {q - n F>x0 n = 2 a21 a22 a11 a12 = a12a21 − a11a22 = −(a11a22 − a12a21) = − a11 a12 a21 a22 , u d Vn- n − 1 U5h d- n U|4 -X |4 — -F5h 1if5z\7 5A |B| G |A| -F' r 5B' r + 1 5! L Nij % |B| "' i 5' j hN"Kh *BT℄ |B| = a11N11−a21N21+· · ·+(−1)r+1ar+1,1Nr1+(−1)r+2ar1Nr+1,1+· · ·+(−1)n+1an1Nn1. i 6= r, r + 1, G>xN Ni1 = −Mi1. . Nr1 = Mr+1,1, Nr+1,1 = Mr,1, C |B| = −|A|. /^m= |42 |A| "' i 5L' j 5-F{ j > i. -Q' i 5 L' i + 1 5-FPL' i + 2 5-F=[ L' j 5-FDPQ' j − 1 5Z?,L1i5-F O`"' i 5'`W;;-Fg 2(j − i) − 1 = H |B| = −|A|. ✷ 2
名质5;行列式|4的两行相同,角|4=0. 且明将解两行对换可得|4|=-4|,大以|A|=0. 名质6设|A|B,C|是三个n阶行列式,代们的第讠行第j列假素分别记为 aj,b,j,|A,|B|,|C|的第r行假素适合条件: (j=1,2,…,n) 而其他的假素相同,即G=a=b1(≠r,j=1,2,…,n),角 C|=|4|+ 且明对n用数个归纳法.n=1时,而然成立.设结论对n-1成立, Cl=a1Q1-a21Q21+…+(-1)+1(an1+b)Qn1+…+(-1)x+an1Qn1 其理Q为Cl的计列式;i≠r,角Qn.适合(1),或归纳假设Qa=Mn+Nn 其理MnM1分别是|A,lB|的计列式.;i=r,角Q1=Mn=Nr1,简单计从即 知|C|=|A|+|B 名质7将行列式的故行乘以某常数c加到另故行案去,行列式值不变 且明或性质6,性质3,性质5即得 名质5′;行列式|A4|的两列相同,角|4|=0. 且明;|4的相同两列都非第1列,角将|A教开并且或归纳法即得|4|=0. 不妨设|4|的第1列与第r列相同.;|4|的第1列假素全为0,角|4|=0.故假 设|A的第1列假素至少有故非零如a1≠0.对调第1行与第s行,仅改变|4 符号,而-A|=0即意地了|4|=0.不妨设a1≠04形如 11 a? 21 将|A的第1行乘以一阻加到第i行案去(=2,3,…,m),得故新行列式|Cl,形 如
t| 5 5h |A| "f51!S |A| = 0. {q QWf5-F_! |A| = −|A|, |A| = 0. ✷ t| 6 |A|,|B|,|C| 9 n U5h q"' i 5' j hN4ÆL% aij , bij , cij , |A|, |B|, |C| "' r 5NC P crj = arj + brj (j = 1, 2, · · · , n) (1) .z "N1!J cij = aij = bij (i 6= r, j = 1, 2, · · · , n), S |C| = |A| + |B|. {q - n F9>x0 n = 1 .d Vn- n − 1 d |C| = a11Q11 − a21Q21 + · · · + (−1)r+1(ar1 + br1)Qr1 + · · · + (−1)n+1an1Qn1 zb Qij % |C| "Kh i 6= r, S Qi1 C (1), G>xN Qi1 = Mi1+Ni1, zb Mi1,Ni1 4Æ |A|,|B| "Kh i = r, S Qr1 = Mr1 = Nr1, O KJ Y |C| = |A| + |B|. ✷ t| 7 Q5h "=5w c M k=55h \ {q G6a 6, 6a 3, 6a 5 J! ✷ t| 5 ′ 5h |A| "fh1!S |A| = 0. {q |A| "1!fh+3' 1 hSQ |A| T℄{G>x0J! |A| = 0. 2 |A| "' 1 hL' r h1! |A| "' 1 hN% 0, S |A| = 0. =N |A| "' 1 hN_ H=3j as1 6= 0. -)' 1 5L' s 5Y7 |A| 5A. −|A| = 0 JA&g |A| = 0. 2 a11 6= 0,|A| 4 a11 · · · a11 · · · a21 · · · a21 · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · an1 · · · Q |A| "' 1 5 − ai1 a11 M ' i 5 (i = 2, 3, · · · , n), !=35h |C|, 4 a11 · · · a11 · · · 0 ∗ 0 ∗ · · · · · · · · · · · · 0 ∗ 0 ∗ 3
由性质7,|C|=|A4.将l按定义展开,C=anQ1,而Q1是一个有一列全为 0的n-1阶行列式.由性质2Q1=0,即有C|=0…|A|=0 性质6|A4|B,C|是三个n阶行列式,C的第r列元素等于|4的第r列 元素与|B|的第r列元素之和: ,n) 当j≠r时,=a1=b,则C=|A1+|B 证明若r=1,由定义展开|C|即得.若r>1,则C|展开为 每个Qa1由归纳假设得: 其中Qa,Mn,Nn分别是Cl,A4B的余子式,代入可得|C|=|4+|B,.口 性质7将行列式的一列乘以常数c加到另一列上,行列式值不变. 正明利用性质6,性质3及性质5得证 性质4交换行列式的两列,行列式值改变符号 证明法一:若交换的两列不是第一列,由归纳法即得. 若第1列与第s列交换后的行列式为|B,则 aln a2s 2n a2s -a21 n1 2n ans - ar 1 a2s a2n
G6a 7, |C| = |A|. Q |C| *BT℄ |C| = a11Q11, . Q11 =9H=h% 0 " n − 1 U5h G6a 2,Q11 = 0, JH |C| = 0,∴ |A| = 0. ✷ t| 6 ′ |A|,|B|,|C| 9 n U5h |C| "' r hN#J |A| "' r h NL |B| "' r hNZB cir = air + bir (i = 1, 2, · · · , n). j 6= r cij = aij = bij , S |C| = |A| + |B|. {q r = 1, G*BT℄ |C| J! r > 1, S |C| T℄% |C| = a11Q11 − a21Q21 + · · · + (−1)n+1an1Qn1. o9 Qi1 G>xN ! Qi1 = Mi1 + Ni1 zb Qi1,Mi1,Ni1 4Æ |C|,|A|,|B| "Kh _! |C| = |A| + |B|. ✷ t| 7 ′ Q5h "=h c M k=h5h \ {q F6a 6 ′ , 6a 3 I6a 5 ′ !X ✷ t| 4 ′ RF5h "fh5h \7 5A {q 0=RF"fh'=hG>x0J! ' 1 hL' s hRFD"5h % |B|, S |B| = a1s · · · a11 · · · a1n a2s · · · a21 · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · ans · · · an1 · · · ann = a1s − a11 · · · a11 · · · a1n a2s − a21 · · · a21 · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · ans − an1 · · · an1 · · · ann = a1s − a11 · · · a1s · · · a1n a2s − a21 · · · a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · ans − an1 · · · ans · · · ann = −a11 · · · a1s · · · a1n −a21 · · · a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · −an1 · · · ans · · · ann = − a11 · · · a1s · · · a1n a21 · · · a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · ans · · · ann = −|A| 4
法二:设|B由|A4交换第r列及第s列后得到,即 a1 a1r a2r 1B =a21 a2r 令 alr +ais a2r +a2s anr+ ar anr+ ans a1 + 21·…a2r a2r+ a2s a2n 1A|+ a2n an1 +|B+ 21 a2s 除|4B|外的两行列式均有两列相同,行列式为0.C的第r列与第s列相同, 故|C|为0.这样有|C|=|+|B|=0,即|4|=-|B 性质8(行列式按第r列的展开) +……+anr
✷ 0/ |B| G |A| RF' r hI' s hD! J |A| = a11 · · · a1r · · · a1s · · · a1n a21 · · · a2r · · · a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · anr · · · ans · · · ann |B| = a11 · · · a1s · · · a1r · · · a1n a21 · · · a2s · · · a2r · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · ans · · · anr · · · ann l |C| = a11 · · · a1r + a1s · · · a1r + a1s · · · a1n a21 · · · a2r + a2s · · · a2r + a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · anr + ans · · · anr + ans · · · ann = a11 · · · a1r · · · a1r + a1s · · · a1n a21 · · · a2r · · · a2r + a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · anr · · · anr + ans · · · ann + a11 · · · a1s · · · a1r + a1s · · · a1n a21 · · · a2s · · · a2r + a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · ans · · · anr + ans · · · ann = |A| + a11 · · · a1r · · · a1r · · · a1n a21 · · · a2r · · · a2r · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · anr · · · anr · · · ann +|B| + a11 · · · a1s · · · a1s · · · a1n a21 · · · a2s · · · a2s · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · ans · · · ans · · · ann |A|,|B| ""f5h \Hfh1!5h % 0, |C| "' r hL' s h1! = |C| % 0. W;H |C| = |A| + |B| = 0, J |A| = −|B|. ✷ t| 8 (5h ' r h"T℄) |A| = a1rA1r + a2rA2r + · · · + anrAnr 5
其中Ar为|的代数余子式 证明依次对换第r列和第r-1列,再对换r-1列和r-2列,…,最后对 换第2列和第1列,经过这r-1次互换后,将原行列中第r列换至第1列,得 到行列式|B n1 ar 则 BI= a1rN1-a2rN21+.+(-1)n+anrNnl airMir-a2r M2r +..+(1)"tranrMnr 故|4|=(-1)+a1rM1r+(-1)2+a2xM2x+…+(-1)yx+ arM=a1r41r+a2A2x+ + anr anr,上面的Nn,M1分别表示B及|4的余子式 引理1 00 0 als 证明|4按第s列展开,|A|=a1sA1s+a2A2s+…+ ans ans,而As(i>1) 都有一列全为0,故全为0.所以|4|=a1s41 引理2若|4 a2n 则|4|=a141+a12A12+ 证明由性质6及引理1, a110 0 a 00 a21a22 a2n+ a21a22 2n a2n an1 an2 a11411+a12412+…+a1nA1n 性质8’|4|=anAn+a2A2+…+ ainain
zb Air % |A| " Kh {q >-F' r hB' r − 1 hP-F r − 1 hB r − 2 h · · ·, jDF' 2 hB' 1 hZ?W r − 1 EFDQO5hb' r hF_' 1 h! 5h |B|, |B| = a1r a11 a12 · · · a1n a2r a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · anr an1 an2 · · · ann S (−1)r−1 |A| = |B| = a1rN11 − a2rN21 + · · · + (−1)n+1anrNn1 = a1rM1r − a2rM2r + · · · + (−1)n+ranrMnr = |A| = (−1)1+ra1rM1r + (−1)2+ra2rM2r +· · ·+ (−1)n+ranrMnr =a1rA1r +a2rA2r + · · · + anrAnr, r" Ni1, Mir 4Æ Æ |B| I |A| "Kh ✷ xp 1 |A| = 0 0 · · · 0 a1s 0 · · · 0 a21 a22 · · · a2s−1 a2s a2s+1 · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ans−1 ans ans+1 · · · ann = a1sA1s. {q |A| ' s hT℄ |A| = a1sA1s + a2sA2s + · · · + ansAns, . Ais(i > 1) +H=h% 0, =% 0. |A| = a1sA1s. ✷ xp 2 |A| = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann , S |A| = a11A11 +a12A12 +· · ·+a1nA1n. {q G6a 6 ′ IDb 1, |A| = a11 0 · · · 0 a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann + 0 a12 · · · 0 a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann + · · · + 0 0 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann = a11A11 + a12A12 + · · · + a1nA1n ✷ t| 8 |A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin. 6
证明由引理2及性质4,由类似证明性质8的方法即得 定义设|4是上述行列式,令|4 a12a22 则|A1称为|4 In 的转置. 性质9行列式转置后值不变,即|A|=|4| 证明对行列式阶用归纳法当n=1显然成立.设M1,N2分别为|及|41 的余子式则NM等于Mn的转置.由归纳假设My=M/n,将|A按第1行展开 a1M1-a21M21+…+(-1)n+lan1Mn1=|4|.口 性质10设|4是n阶行列式,第i行第j列元素a的代数余子式记为A1 则对任意的r,1≤r≤m,有展开式: a1rA1s+a2xA2+…+ anr ans=0;s≠r; Ar1+ar2Ar2+ ana=0;s≠r 证明只需证明第二个结论.基于|4|造一新行列式 11 Ir 0 a 将|B按第列展开,即有a1rA1s+a2A2s+…+ anr ans=0. 最后介绍 Cramer法则
{q GDb 2 I6a 4, GaXs6a 8 "10J! ✷ mw |A| 5h l |A ′ | = a11 a21 · · · an1 a12 a22 · · · an2 · · · · · · · · · · · · a1n a2n · · · ann . S |A ′ | % |A| "f` t| 9 5h f`D\ J |A ′ | = |A|. {q -5h UF>x0 n = 1 .d Mij ,Nij 4Æ% |A| I |A ′ | "Kh S Nij #J Mji "f`G>xN Nij = Mji, Q |A ′ | ' 1 5T℄ |A ′ | = a11N11 − a21N12 + · · · + (−1)n+1an1N1n = a11M11 − a21M21 + · · · + (−1)n+1an1Mn1 = |A|. ✷ t| 10 |A| n U5h ' i 5' j hN aij " Kh L% Aij , S-A" r, 1 ≤ r ≤ n, HT℄ a1rA1r + a2rA2r + · · · + anrAnr = |A|; a1rA1s + a2rA2s + · · · + anrAns = 0; s 6= r; ar1Ar1 + ar2Ar2 + · · · + arnArn = |A|; ar1As1 + ar2As2 + · · · + arnAsn = 0; s 6= r. {q ^7Xs'/9VnHJ |A| R=35h rh sh |B| = a11 · · · a1r · · · a1r · · · a1n a21 · · · a2r · · · a2r · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · anr · · · anr · · · ann = 0 Q |B| ' s hT℄JH a1rA1s + a2rA2s + · · · + anrAns = 0. ✷ jDX Cramer 0S 7
考虑n元线性方程组 a111+a122 b a211+a22x2+…+a2nxn=b2 x1+an22+…+ an T=bn 设其系数组成的行列式|4为 21a22 an1 an2 若方程组有解51,52,…,5n,取第1列的代数余子式A1,A21,…,An1,将A1乘以 (1)的第1式,A21乘以(1)的第2式,…,An1乘以(1)的第n式,得 a114151+a12A12+…+a1nA15n=b141 a21A2151+a22A2152+…+a2nA215n=b2A an1An1&1 +an2AnIE2 +.+ann AniEn= bnAnl 把上面的方程式相加得(a141+a21A21+…+an1An1)1+(a1241+a2A21+…+ an2An1)2+…+(a1n41+a2nA21+…+ ann an1)5n=b1A1+b2A21+…+bAn1 由性质10知上式为 b2 a22 记上面的右式为A1,若110则1=类似地可以得到5=2≤j≤m其 中4是个n阶行列式,它由4去掉第j列换成由方程组常数项b,b,…,bn 组成的列得到. 定理( Cramer法则设有n元线性方程组 a11C1+a122+…+a1 b1 a211+a22x2+…+a2nxn=b2
^m n N061i a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 · · · an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn (2) z*i"5h |A| % |A| = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann 1iHW ξ1, ξ2, · · · , ξn, ~' 1 h" Kh A11, A21, · · · , An1, Q A11 (1) "' 1 A21 (1) "' 2 · · ·, An1 (1) "' n ! a11A11ξ1 + a12A11ξ2 + · · · + a1nA11ξn = b1A11 a21A21ξ1 + a22A21ξ2 + · · · + a2nA21ξn = b2A21 · · · an1An1ξ1 + an2An1ξ2 + · · · + annAn1ξn = bnAn1 (3) r"1 1M! (a11A11 +a21A21 +· · ·+an1An1)ξ1+ (a12A11 +a22A21 +· · ·+ an2An1)ξ2 + · · ·+ (a1nA11 + a2nA21 + · · · + annAn1)ξn = b1A11 + b2A21 + · · ·+ bnAn1. G6a 10 Y % |A|ξ1 = b1 a12 · · · a1n b2 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · bn an2 · · · ann , Lr"I % A1. |A| 6= 0, Sξ1 = A1 |A| . a%_! ξj = Aj |A| , 2 ≤ j ≤ n, z b Aj =9 n U5h G |A| (' j hFG1i2 b1, b2, · · · , bn i"h! mp (Cramer nz) H n N061i a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 · · · an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn 8
若这个方程组的系数行列式|A|的值不等于0,则方程组有唯一解 An 其中A是一个n阶行列式,它由|A去掉第j列换成由方程组常数项b1,b,……,b 组成的列得到 注定理含三个结论,当|A4≠0时,(1)方程组有解;(2)解唯一;(3)解可 由(*)表示 证明将(*)代入(2),利用性质10得 1+a2 (a1141+a12A a1(b141+b41+…+h4a)+a2(142+b4m+…+bn4n2) +…+a1n(b1A1n+b2A2n+…+bnAn) (a1A1+a12412+ A1n)+b2(a1421 +……+b(a1A4n+a12An2+…+a1nAn 内h4 类似可得,x=青,1≤i≤m是原方程组的解,并且是唯一解 练习 P11(1),3(1),5(1 P21(1),4(1) 3,4; P45(复习题)1 思考题: 273045 选做题:已知|4|=-20-3097,试求M1+M+Man的值
W91i"*5h |A| "\#J 0, S1iH$=W x1 = A1 |A| , x2 = A2 |A| , · · · , xn = An |A| (∗) zb Aj =9 n U5h G |A| (' j hFG1i2 b1, b2, · · · , bn i"h! } *b9Vn |A| 6= 0 (1) 1iHW (2) W$= (3) W_ G (*) Æ {q Q (*) (2), F6a 10 ! a11 A1 |A| + a12 A2 |A| + · · · + a1n An |A| = 1 |A| (a11A1 + a12A2 + · · · + a1nAn) = 1 |A| [a11(b1A11 + b2A21 + · · · + bnAn1) + a12(b1A12 + b2A22 + · · · + bnAn2) + · · · + a1n(b1A1n + b2A2n + · · · + bnAnn)] = 1 |A| [b1(a11A11 + a12A12 + · · · + a1nA1n) + b2(a11A21 + a12A22 + · · · + a1nA2n) + · · · + bn(a11An1 + a12An2 + · · · + a1nAnn)] = 1 |A| b1|A| = b1. a_! xi = Ai |A| , 1 ≤ i ≤ n, O1i"W{$=W ✷ e) P11 1(1), 3(1), 5(1); P22 1(1), 4(1); P25 3, 4; P45 (6) ) 1 ^ P45 4 − 10 8k ?Y |A| = 27 30 45 −20 −30 97 −47 30 100 , } M11 + M21 + M31 "\ 9
