厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第1章 行列式 §1.6 行列式的等价定义

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn §16行列式的等价定义 教学目的与要求掌握行列式的等价定义,了解其含义 定义由1,2,…,n组成一个有序数组称为一个n级排列.在一个n级排列 (k1,k2,……,kn)中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面 的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序 数.记为N(k1,k2,…,kn) 逆序数求法1:在(k1,k2,…,kn)中,设k后有m1个数比k1小,k后有 m2个数比k2小;…,kn-1后有mn-1个数比kn-1小,则N(k1,k2,…,kn) m1+m2+ +mn-1 逆序数求法2:在(k1,k2,…,kn)中,设m后共有ln个数比n小,n-1后共 有l-1个数比n-1小,…,在2后面有l2个数比2小,则N(k1,k2,,kn) In+In 例1(1)N(4,1,3,2)=m1+m2+m3=3+0+1=4;N(4,1,3,2)=l4+l3+l2 3+1+0=4; (2)N(1 (3)N(n,n-1,……,2,1)=m1+m2+…+mn-1=(n-1)+(n-2)+…+1 N(n,n-1,…,2,1)=l2+1-1+…+l2=(n-1)+(n-2)+…+1== 二.奇排列,偶排列 定义若排列(k1,k2,…,kn)的逆序数为偶(含0)数,则称之为偶排列;若排 列(k1,k2,…,kn)的逆序数为奇数,则称之为奇排列. 引理设(k,k2,…,kn)为一个n个数的排列,若将其中k与k位置对换, 其余保持不动,则改变排列的奇偶性. 证明首先考虑相邻两数对换.若k>k+1,则对换后,逆序数减少1;若 k<k+1,则对换后,逆序数增加了1(因mk不变,当k≠i,+1时,故无论何

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k"￾ Q^ . 1, 2, · · ·, n N%3/"￾N%3 n Am[
9%3 n Am[ (k1, k2, · · · , kn) G￾u7%)￾!p=E3"-￾pf!￾1=f !￾￾ibeO%3k"￾%3m[Gk"!L￾O3m[!k" ￾
C N(k1, k2, · · · , kn). k"￾s, 1: 9 (k1, k2, · · · , kn) G￾y k1 =/ m1 3￾ k1 ￾ k2 =/ m2 3￾ k2  · · ·, kn−1 =/ mn−1 3￾ kn−1 ￾: N(k1, k2, · · · , kn) = m1 + m2 + · · · + mn−1. k"￾s, 2: 9 (k1, k2, · · · , kn) G￾y n =5/ ln 3￾ n ￾ n − 1 =5 / ln−1 3￾ n − 1 ￾ · · ·, 9 2 =f/ l2 3￾ 2 ￾: N(k1, k2, · · · , kn) = ln + ln−1 + · · · + l2. U 1 (1) N(4, 1, 3, 2) = m1+m2+m3 = 3+0+1 = 4; N(4, 1, 3, 2) = l4+l3+l2 = 3 + 1 + 0 = 4; (2) N(1, 2, · · · , n) = 0. (3) N(n, n−1, · · · , 2, 1) = m1 +m2 +· · ·+mn−1 = (n−1) + (n−2) +· · · + 1 = n(n−1) 2 ; N(n, n−1, · · · , 2, 1) = ln +ln−1 +· · ·+l2 = (n−1) + (n−2) +· · ·+ 1 = n(n−1) 2 . +
om[￾lm[ Q^ vm[ (k1, k2, · · · , kn) !k"￾l (9 0) ￾￾:Blm[vm [ (k1, k2, · · · , kn) !k"￾o￾￾:Bom[
_T y (k1, k2, · · · , kn) %3 n 3￾!m[￾vInG ki 3 kj E)>￾ n2(￾:1m[!ol
aW R^\X￾)>
v ki > ki+1, :)>=￾k"￾Gx 1; v ki =￾k"￾;DZ 1(+ mk ￾ k 6= i, i + 1 z), 6`< 1

种情形,奇偶性均变.再考虑一般情形.k与k对换可通过相邻对换实现.设 i<j,k先与k+1对换,再与k+2对换,…j-i次后再将k与k-1对换,再 与k-2对换,换了j-i-1次后,k到k原来位置.一共换了2(-1)-1次, 故改变奇偶性 引理在m!个不同的n个数的全排列中,奇排列与偶排列各占一半 证明设奇排列P个,偶排列q个.将每个奇排列的头两个数对换一下,则所 有奇排列成了偶排列,因此p≤q.同理q≤p,故p=q. 向量 设a1,a2,…,an为n个数,a 称为由这n个数组成的向量.定义 +b1 两向量a b2 的加法为a+B +b2,定义数入与a的 数乘为λa= .则加法和数乘满足以下运算律 (1)a+B=B+a; (2)(a+B)+Y=a+(B+) (3)a+0=a; (5)1a=a; (6) k(a+B)=ko+kB (7)(k+l)a= ka+ la (8)(k)a=k(a)

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ki 3 kj )>S 8\)>{
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%5>Z 2(j − i) − 1 ￾ 61ol
✷ _T 9 n! 3! n 3￾!tm[G￾om[3lm[4=%
aW yom[ p 3￾lm[ q 3
I 3om[!X3￾)>%￾: /om[Zlm[￾+ p ≤ q. V q ≤ p, 6 p = q. ✷ w
Y y a1, a2, · · · , an  n 3￾￾ α =   a1 a2 . . . an   . n 3￾N!Y
'* XY α =   a1 a2 . . . an  ,β =   b1 b2 . . . bn   !D, α + β =   a1 + b1 a2 + b2 . . . an + bn  , '*￾ λ 3 α ! ￾ λα =   λa1 λa2 . . . λan  . :D,;￾aM(7_ (1) α + β = β + α; (2) (α + β) + γ = α + (β + γ); (3) α + 0 = α; (4) α + (−α) = 0; (5) 1α = α; (6) k(α + β) = kα + kβ; (7) (k + l)α = kα + lα; (8) (kl)α = k(lα). 2

例记 0 100::0 为m维标准单位列向量,则 0 a i, aei +be b 0 从而 a11e1+a21e2+.+arlen=>aiei, aj 四.行列式的等价定义 §11中用递推方法定义了行列式,这里将行列式表示为m!项的和 先引进些符号.设|A4为n阶行列式,其第(,j)元素记为a1,行列式的第 列简记为a3,1≤j≤n.将|A|记为|a1a2 贝 Q1 a ailey =∑anl ei 所以4=∑a1k2le;ek…an=∑a12 akon ek1 ek…exn 又当ek1=k时,|ek1ek ekn=0.故不为零的行列式|ek;ck2…ek 必须满足条件:k1≠k,即(k1,k2,…,kn)为(1,2,……,m)的一个全排列或称

U C e1 =   1 0 0 . . . 0   , e2 =   0 1 0 . . . 0   , · · · , en =   0 0 0 . . . 1   ,  n J[Y￾: aei =   0 . . . 0 a 0 . . . 0   i , aei + bej =   0 . . . a . . . b . . . 0   i . . . j * α1 =   a11 a21 . . . an1   = a11e1 + a21e2 + · · · + an1en = Xn i=1 ai1ei , αj =   a1j a2j . . . anj   = Xn i=1 aijei .
[|!"E'* §1.1 G-& .,'*Z[|￾WI[| } n! !;
,M/:
y |A|  n K[|￾n% (i, j) 5C aij , [|!% j [FC αj , 1 ≤ j ≤ n. I |A| C | α1 α2 · · · αn |, : |A| = | α1 α2 · · · αn | = | Pn i=1 ai1ei α2 · · · αn | = Xn i=1 ai1 | ei α2 · · · αn | | ei α2 · · · αn | = | ei Pn k=1 ak2ek · · · αn | = Xn k=1 ak2 | ei ek · · · αn | (|A| = X i,k ai1ak2 | ei ek · · · αn | = X k1,k2,···,kn ak11ak22 · · · aknn | ek1 ek2 · · · ekn | 0 eki = ekj z￾| eki ekj · · · ekn | = 0. 6℄![| | eki ekj · · · ekn | !aM H ki 6= kj ,  (k1, k2, · · · , kn)  (1, 2, · · · , n) !%3tm[? 3

(k1,k2,…,kn)是(1,2,……,m)的一个置换.此时,行列式| ekr eko2 的 值为1或-1.故|4的展开项共有n!项 计算|ek 若k1=i,1≤i≤n,即(k1,k2,…,kn) (1,2,……,n),则该行列式为1.设m后面有l个数比n小将n依次与后面 的相邻数对换,经过ln次对换,n到了最后末一位.置换后的排列的逆序数与原 来的差为l对n-1进行类似处理,经过ln-1次对换后n-1移到了最后第二 位,依此类推,经过ln+ln-1+…+l2次对换后(k1,k2,…,kn)变成了(1,2,……,n) 因此 定义设|4是n阶行列式,它的第(j)元素记为ay定义|A4|的值为 N(k1, kg (k1,k2,…kn) 因为|4=|41,所以 N(1,2,…ln) a11①2l2 从定义也亦能推出行列式诸性质,也能推出§1.1中的展开式 思考P72,3 练习写出5阶行列式中含有因子a13a32的并且带正号的所有项

(k1, k2, · · · , kn) ~ (1, 2, · · · , n) !%3E>
z￾[| | ek1 ek2 · · · ekn | ! C 1 ? −1. 6 |A| !￾N8 ln )>￾ n ZO=h%
E>=!m[!k"￾36 T! ln. ) n − 1 MUV￾N8 ln−1 )>= n − 1 ' ZO=%+ ￾&U ￾N8 ln+ln−1+· · ·+l2 )>= (k1, k2, · · · , kn) Z (1, 2, · · · , n), + | ek1 ek2 · · · ekn | = (−1)N(ek1 ,ek2 ,···,ekn ) . Q^ y |A| ~ n K[|￾!% (i, j) 5C aij . '* |A| !C X (k1,k2,···,kn) (−1)N(k1,k2,···,kn) ak11ak22 · · · aknn. + |A| = |A ′ |, ( |A| = X (l1,l2,···,ln) (−1)N(l1,l2,···,ln) a1l1 a2l2 · · · anln . '*$)j [|I F￾$j  §1.1 G!<Q|
ZS P37 2, 3 V[  5 K[|G9/+K a13a32 !ÆqA:!/
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