厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第3章 线性空间 §3.9 子空间

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu. cn s3.9子空间 教学目的和要求掌握子空间的交,和运算的概念,掌握生成子空间的元素的表 示方法,了解由子集S生成的子空间L(S)是包含S的子空间的最小子空间,熟练 掌握子空间的和是直和的等价刻划,熟练掌握证明子空间的方法,证明空间作直和 分解的方法,理解维数公式证明中扩基的方法,了解子空间的并不是运算的原因 了解有”有限个真子空间不能覆盖整个空间” 子空间 定义设V是数域K上的线性空间,V是V的非空子集且v对加法,数乘 封闭.则称V是V的线性子空间,简称子空间 注(1)定义中V是K上线性空间; (2)任意非零线性空间Ⅴ都有两个平凡子空间:零空间0与V本身 (3)设V是n维线性空间V的非平凡子空间,则0< dime<dimV 例1(1)R3中,通过原点的平面是二维子空间,通过原点的直线是一维子空 (2)K上的所有n阶对称矩阵构成的集合V是K×n的子空间; (3)所有n阶反对称矩阵构成的集合U是K×n的子空间 例2设V,V是V的子空间,则ⅵ∩V是V的子空间,称为Ⅵ与V的交 空间 注设V,V2是V的子空间,VgV,V2gV,则VUV不是子空间事实 上,取a∈V\V,B∈V\,则a+BgV∪V 例3设V,V是V的子空间,则V1+V={a+Ba∈V,B∈V}是V的子 空间,简称和空间 例4设S是线性空间V的子集, L(S):={a1a1+…+anm|m∈N,a∈S,a1∈K,1≤i≤m}

￾✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §3.9 ✑✒✓ ✔✕ ✖✗✘✙✚ ✛✜✑✒✓✢✣✤✥✦✧✢★✩✤✛✜✪✫✑✒✓✢✬✭✢✮ ✯✰✱✤✲✳✴✑✵ S ✪✫✢ ✑✒✓ L(S) ✶✷✸ S ✢ ✑✒✓✢✹✺✑✒✓✤✻✼ ✛✜✑✒✓✢✥ ✶✽✥✢✾✿❀❁✤✻✼✛✜❂❃✑✒✓✢✰✱✤❂❃✒✓❄ ✽ ✥ ❅✳✢✰✱✤❆✳❇❈❉❊❂❃❋●❍✢✰✱✤✲✳✑✒✓✢■❏✶ ✦✧✢❑▲✤ ✲✳▼ ” ▼◆❖P✑✒✓❏◗❘❙❚❖ ✒✓ ”. ❯❱✑✒✓ ❲❳ ❨ V ✶ ❈❩ K ❬ ✢❭❪✒✓✤ V0 ✶ V ✢❫✒✑✵❴ V0 ❵❛✱✤❈❜ ❝❞❱❡❢ V0 ✶ V ✢❭❪✑✒✓✤❣❢✑✒✓❱ ❤ (1) ✐❥❋ V0 ✶ K ❬ ❭❪✒✓❦ (2) ❧♠❫♥❭❪✒✓ V ♦ ▼♣❖qr✑✒✓s♥ ✒✓ 0 t V ✉✈❦ (3) ❨ V0 ✶ n ❇❭❪✒✓ V ✢❫qr✑✒✓✤❡ 0 < dimV0 < dimV . ✇ 1 (1) R 3 ❋✤①②❑③✢q④✶⑤❇ ✑✒ ✓✤①②❑③✢✽ ❭ ✶❯❇ ✑✒ ✓❦ (2) K ❬ ✢⑥▼ n ⑦❵❢⑧⑨⑩✫✢ ✵❶ V ✶ Kn×n ✢ ✑✒✓❦ (3) ⑥▼ n ⑦❷❵❢⑧⑨⑩✫✢ ✵❶ U ✶ Kn×n ✢ ✑✒✓❱ ✇ 2 ❨ V1, V2 ✶ V ✢ ✑✒✓✤❡ V1 ∩ V2 ✶ V ✢ ✑✒✓✤❢❸ V1 t V2 ✢ ❹ ❺❻.❤ ❨ V1, V2 ✶ V ✢ ✑✒✓✤ V1 * V2, V2 * V1, ❡ V1 ∪ V2 ❏ ✶✑✒✓❱❼❽ ❬ ✤❾ α ∈ V1 \ V2, β ∈ V2 \ V1, ❡ α + β 6∈ V1 ∪ V2. ✇ 3 ❨ V1, V2 ✶ V ✢ ✑✒✓✤❡ V1 + V2 = {α + β|α ∈ V1, β ∈ V2} ✶ V ✢ ✑ ✒✓✤❣❢ ✘❺❻. ✇ 4 ❨ S ✶ ❭❪✒✓ V ✢ ✑✵✤ L(S) := {a1α1 + · · · + amαm | m ∈ N, αi ∈ S, ai ∈ K, 1 ≤ i ≤ m} 1

是V的子空间,称为由S生成的子空间特别地,当S={a1,a2,……,am},L(S {a1a1+…+ amam a∈K,1≤i≤m} 例5(1)a可由a1,a2,…,am线性表示的充分必要条件是a∈L( (2)设1,E2,……,Em是V的一个基,则L(e1,e2,…,Em 定理1设S是V的非空子集 (1)L(S)是V的子空间,设V是包含S的子空间,则L(S)sVo,因此 L(S)=∩erV2,其中V,∈I是V的包含S的所有子空间 (2)设51,52,…,5m是S中极大线性无关组,则L(S)=L(51,52,…,m),且 dim(S)=m 例6设V1,V是V的子空间,则L(uV)=Ⅵ+V2 证明对任意的a∈L(VUV)则a=a1a1+…+aa+b1A1+…+b1A4,a1,b K,a∈V,∈V,所以a∈Ⅵ+V2,所以L(vUV)sV+V 反之,设a∈V+V,存在a1∈V,a2∈v使得a=a1+a2∈L(V∪V).口 维数公式 定理2设V,V2是线性空间V的有限维子空间,则 dim(vi+v2)+dim(VinV2)=dimI+dimv2 证明设dm(V∩V2)=m,dimV=m+r,dimV2=m+t.取定V∩v2的基 a1,……,am扩为V1的基a1,……,am,B1,…,β3,扩为V2的基a1,……,am,m1,…,t 下面证明a1,…,am,B1,…,3,m,…,t是V+V2的基.事实上,对于任意的 a+B,其中a∈V,B∈V2,则因为a可以表为a1,…,am,B1,…,。的线 性组合,B可以表为a1,……,Om,m1,…,mt的线性组合,所以a+β可以表为 1,…,am,月,…,,m1,…,t的线性组合.另一方面,设 a1a1+…+amQm+b11+…+b3+c171+…+ctt=0.,(*) 则a1a1+…+amm+b161+…+bB=-c17 cnt∈v∩v2.所以存在 d1,…,dm,使得-c1 ctt=d1a1+…+dlnm,因为a1,…,am,1 是V的基,所以G=0,1≤i≤t,d=0.1≤j≤m.这样,由(*)式,知

✶ V ✢ ✑✒✓✤❢❸ ❿ S ➀➁✗➂❺❻. ➃➄➅✤➆ S = {α1, α2, · · · , αm}, L(S) = {a1α1 + · · · + amαm|ai ∈ K, 1 ≤ i ≤ m}. ✇ 5 (1) α ➇ ✴ α1, α2, · · · , αm ❭❪✮✯✢➈❅➉➊➋➌✶ α ∈ L(α1, α2, · · · , αm). (2) ❨ ε1, ε2, · · · , εm ✶ V ✢❯❖❍✤❡ L(ε1, ε2, · · · , εm) = V . ❲➍ 1 ❨ S ✶ V ✢❫✒✑✵✤ (1) L(S) ✶ V ✢ ✑✒ ✓✤❨ V0 ✶✷✸ S ✢ ✑✒ ✓✤❡ L(S) ⊆ V0, ▲➎ L(S) = ∩i∈IVi , ➏ ❋ Vi , i ∈ I ✶ V ✢ ✷✸ S ✢⑥▼ ✑✒✓❱ (2) ❨ ξ1, ξ2, · · · , ξm ✶ S ❋➐➑❭❪➒➓➔✤❡ L(S) = L(ξ1, ξ2, · · · , ξm), ❴ dimL(S) = m. ✇ 6 ❨ V1, V2 ✶ V ✢ ✑✒✓✤❡ L(V1 ∪ V2) = V1 + V2. →➣ ❵❧♠✢ α ∈ L(V1∪V2), ❡ α = a1α1+· · ·+asαs+b1β1+· · ·+btβt , ai , bj ∈ K, αi ∈ V1, βj ∈ V2, ⑥↔ α ∈ V1 + V2, ⑥↔ L(V1 ∪ V2) ⊆ V1 + V2. ❷↕✤❨ α ∈ V1 + V2, ➙➛ α1 ∈ V1, α2 ∈ V2 ➜➝ α = α1 + α2 ∈ L(V1 ∪ V2). ✷ ⑤❱❇❈❉❊ ❲➍ 2 ❨ V1, V2 ✶ ❭❪✒✓ V ✢▼◆❇✑✒✓✤❡ dim(V1 + V2) + dim(V1 ∩ V2) = dimV1 + dimV2. →➣ ❨ dim(V1 ∩ V2) = m, dimV1 = m + r, dimV2 = m + t. ❾ ✐ V1 ∩ V2 ✢❍ α1, · · · , αm ●❸ V1 ✢❍ α1, · · · , αm, β1, · · · , βs, ●❸ V2 ✢❍ α1, · · · , αm, γ1, · · · , γt , ➞④❂ ❃ α1, · · · , αm, β1, · · · , βs, γ1, · · · , γt ✶ V1 + V2 ✢❍❱❼❽❬ ✤ ❵➟❧♠✢ α + β, ➏ ❋ α ∈ V1, β ∈ V2, ❡ ▲❸ α ➇ ↔✮❸ α1, · · · , αm, β1, · · · , βs ✢❭ ❪➔❶ ✤ β ➇ ↔✮❸ α1, · · · , αm, γ1, · · · , γt ✢❭❪➔❶ ✤⑥↔ α + β ➇ ↔✮❸ α1, · · · , αm, β1, · · · , βs, γ1, · · · , γt ✢❭❪➔❶❱➠❯✰④✤❨ a1α1 + · · · + amαm + b1β1 + · · · + bsβs + c1γ1 + · · · + ctγt = 0, (∗) ❡ a1α1 + · · · + amαm + b1β1 + · · · + bsβs = −c1γ1 − · · · − ctγt ∈ V1 ∩ V2. ⑥↔➙➛ d1, · · · , dm, ➜➝ −c1γ1 − · · · − ctγt = d1α1 + · · · + dmαm. ▲❸ α1, · · · , αm, γ1, · · · , γt ✶ V2 ✢❍✤⑥↔ ci = 0, 1 ≤ i ≤ t, dj = 0, 1 ≤ j ≤ m. ➡➢✤✴ (*) ❊✤➤ 2

a101+…+am(m+b161+…+b3=0.由于a1,……,am,31,…,B是Ⅵ的基, 所以a2=0,1≤i≤m,b=0,1≤j≤s.这样,a1,…,m,1,……,B,m…,t, 因而是V1+V的基 三.子空间的直和 定义设V,V2,……,Vm是线性空间V的子空间,对1≤i<m均有 V∩(V 则称和Ⅵ+V2+…+Vm为直和记为V由V⊕…⊕Vm 定理3设V1,V2是有限维空间V的子空间,则下列命题等价: (1)+V2=Ⅵ⊕V2,即V∩V=0; (2)设V=Ⅵ+V,则V中零元素表示法唯一,即0=a1+a2,ai∈V,则 0. 0: (3)设V=V1+V,则v中元素表为V,V中元素之和时,表示法唯一,即 +B1=a2+B2,a∈V1,B1∈V2 B1=B2; (4)V的基51,…,5。与V的基m,…,m凑成V+V2的基51,…,5s,mh,……,m 5)dim(Vi+V2)=dimI +dimv2 证明(1)→(2):0 ,所以a1 ∈V∩V2=0,所以a1=0 (2)→(3):a=a1+B1=a2+A2则(a1-a2)+(1-B2)=0 (3)→(4):a∈V+V,存在a1∈ⅵ,a2∈V,a1∈L(51,…,5s),a2∈ L(m,…,mh),所以a∈L(51,…,5s,m,…,m,即+V中任意向量可由51,…,s, mh,…,mt线性表示 另一方面,设a151+…+a35s+bm1 bnh=0,则a151 aSs∈V b1m1+…+bmh∈V.根据(3),有a151+…+a3s=0.,b1m+…+bmh=0,所以 i≤s,b=0,1≤j≤t.所以51,……,5 h线性无关 (4)→(5):显然 (5)→(1):根据维数公式.口 例7设K上所有n阶对称矩阵全体构成空间为V,所有n阶反对称矩阵构成 空间为U,求证:Kx=V⊕U并求dimV,dimU

a1α1 + · · · + amαm + b1β1 + · · · + bsβs = 0. ✴ ➟ α1, · · · , αm, β1, · · · , βs ✶ V1 ✢❍✤ ⑥↔ ai = 0, 1 ≤ i ≤ m, bj = 0, 1 ≤ j ≤ s. ➡➢✤ α1, · · · , αm, β1, · · · , βs, γ1, · · · , γt , ▲➥ ✶ V1 + V2 ✢❍❱ ✷ ➦❱✑✒✓✢ ✽ ✥❱ ❲❳ ❨ V1, V2, · · · , Vm ✶ ❭❪✒✓ V ✢ ✑✒✓✤ ❵ 1 ≤ i ≤ m ➧ ▼ Vi ∩ (V1 + · · · + Vi−1 + Vi+1 + · · · + Vm) = 0 ❡❢✥ V1 + V2 + · · · + Vm ❸ ➨✘ , ➩❸ V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vm. ❲➍ 3 ❨ V1, V2 ✶ ▼◆❇✒✓ V ✢ ✑✒✓✤❡➞➫➭➯✾✿s (1) V1 + V2 = V1 ⊕ V2, ➲ V1 ∩ V2 = 0; (2) ❨ V0 = V1 + V2, ❡ V0 ❋♥✬✭✮✯✱➳❯✤ ➲ 0 = α1 + α2, αi ∈ Vi , ❡ α1 = 0, α2 = 0; (3) ❨ V0 = V1 + V2, ❡ V0 ❋✬✭✮❸ V1, V2 ❋✬✭↕ ✥➵✤✮✯✱➳❯✤ ➲ α ∈ V0, α = α1 + β1 = α2 + β2, αi ∈ V1, βi ∈ V2, ❡ α1 = α2, β1 = β2; (4) V1 ✢❍ ξ1, · · · , ξs t V2 ✢❍ η1, · · · , ηt ➸ ✫ V1+V2 ✢❍ ξ1, · · · , ξs, η1, · · · , ηt ; (5) dim(V1 + V2) = dimV1 + dimV2. →➣ (1) ⇒ (2) : 0 = α1+α2, ⑥↔ α1 = −α2 ∈ V1∩V2 = 0, ⑥↔ α1 = 0, α2 = 0. (2) ⇒ (3) : α = α1 + β1 = α2 + β2, ❡ (α1 − α2) + (β1 − β2) = 0. (3) ⇒ (4) : α ∈ V1 + V2, ➙➛ α1 ∈ V1, α2 ∈ V2, α1 ∈ L(ξ1, · · · , ξs), α2 ∈ L(η1, · · · , ηt), ⑥↔ α ∈ L(ξ1, · · · , ξs, η1, · · · , ηt), ➲ V1+V2 ❋ ❧♠➺➻ ➇ ✴ ξ1, · · · , ξs, η1, · · · , ηt ❭❪✮✯❱ ➠❯✰④✤❨ a1ξ1 + · · · + asξs + b1η1 + · · · + btηt = 0, ❡ a1ξ1 + · · · + asξs ∈ V1, b1η1 + · · · + btηt ∈ V2. ➼➽ (3), ▼ a1ξ1 + · · · + asξs = 0, b1η1 + · · · + btηt = 0, ⑥↔ ai = 0, 1 ≤ i ≤ s, bj = 0, 1 ≤ j ≤ t. ⑥↔ ξ1, · · · , ξs, η1, · · · , ηt ❭❪➒➓❱ (4) ⇒ (5) : ➾➚❱ (5) ⇒ (1) : ➼➽❇❈❉❊❱ ✷ ✇ 7 ❨ K ❬ ⑥▼ n ⑦❵❢⑧⑨➪➶⑩✫ ✒✓❸ V , ⑥▼ n ⑦❷❵❢⑧⑨⑩✫ ✒✓❸ U, ➹ ❂s Kn×n = V ⊕ U ■ ➹ dimV, dimU. 3

证明对任意A∈K×,A=生+4,∈V42∈U,所以Kxn= 另一方面,设A∈V∩U,则A=A,A'=-A,A=-A,A=0,即vnU=0 所以Kn×n=V⊕U V有基E+E,1≤还≤≤n,所以dm=,U有基E-E,1≤i< j≤n,所以dmU=m2n,dimV+dimU=++21m=n2= dimknxn口 例8设V=U⊕W,U=U1⊕U2,则V=U1⊕U2W 证明一设51,……,5是U1的基,m1,……,s是U2的基,(1,……,s是W的基, 因为U=U1④U2,所以51,……,r,m2,…,7是U的基,又因为V=U⊕W,所以 1,…,sr,mh,…,ns,(1,…,t是V的基,所以V=Ul1⊕U2⊕W 证明二对任意的a∈V,因为V=U⊕W,所以存在β∈U,∈W,使得 a=B+%,又因为U=U1⊕U2,所以存在∈U,1≤i≤2,使β=B1+2,所以 a=1+B2+7,所以V=U1+U2+W 另一方面,由0的表示方法唯一(由a∈V中表示方法唯一;由dimV dimU+dimW=dimU1+dinU2+dimW)均可得到V=U1⊕U2⊕W.口 思考题(1)写出m个子空间的和是直和的等价条件 (2)设V1,V2,…,Vm是线性空间V的有限维子空间,求证:dim(V+…+ Vmn)+∑2dim∩=V)=Em1dimv 作业: P144,10,P155,2,4,9 补充题.(1)设A∈Kmxn,求证:V={B∈Kx叫BA=AB}构成Kmx的 子空间 110 (2)在(1)中令A=011,求V的基与维数 挑战题:P14,12 思考题:P143,1,P1412,3,5,8,9,P15,1,4

→➣ ❵❧♠ A ∈ Kn×n , A = A+A0 2 + A−A0 2 , A+A0 2 ∈ V, A−A0 2 ∈ U, ⑥↔ Kn×n = V + U. ➠❯✰④✤❨ A ∈ V ∩ U, ❡ A 0 = A, A0 = −A, A = −A, A = 0, ➲ V ∩ U = 0, ⑥↔ Kn×n = V ⊕ U. V ▼❍ Eij +Eji, 1 ≤ i ≤ j ≤ n, ⑥↔ dimV = (n+1)n 2 , U ▼❍ Eij −Eji, 1 ≤ i < j ≤ n, ⑥↔ dimU = (n−1)n 2 , dimV + dimU = (n+1)n 2 + (n−1)n 2 = n 2 = dimKn×n . ✷ ✇ 8 ❨ V = U ⊕ W, U = U1 ⊕ U2, ❡ V = U1 ⊕ U2 ⊕ W. →➣➘ ❨ ξ1, · · · , ξr ✶ U1 ✢❍✤ η1, · · · , ηs ✶ U2 ✢❍✤ ζ1, · · · , ζt ✶ W ✢❍✤ ▲❸ U = U1 ⊕ U2, ⑥↔ ξ1, · · · , ξr, η1, · · · , ηs ✶ U ✢❍✤➴▲❸ V = U ⊕ W, ⑥↔ ξ1, · · · , ξr, η1, · · · , ηs, ζ1, · · · , ζt ✶ V ✢❍✤⑥↔ V = U1 ⊕ U2 ⊕ W. →➣➷ ❵❧♠✢ α ∈ V, ▲❸ V = U ⊕ W, ⑥↔➙➛ β ∈ U, γ ∈ W, ➜➝ α = β + γ, ➴▲❸ U = U1 ⊕ U2, ⑥↔➙➛ βi ∈ Ui , 1 ≤ i ≤ 2, ➜ β = β1 + β2, ⑥↔ α = β1 + β2 + γ, ⑥↔ V = U1 + U2 + W. ➠❯✰④✤✴ 0 ✢✮✯✰✱➳❯ (✴ α ∈ V ❋✮✯✰✱➳❯❦✴ dimV = dimU + dimW = dimU1 + dimU2 + dimW) ➧➇➝➬ V = U1 ⊕ U2 ⊕ W. ✷ ➮➱✃ (1) ❐❒ m ❖ ✑✒✓✢✥ ✶✽✥✢✾✿➋➌❱ (2) ❨ V1, V2, · · · , Vm ✶ ❭❪✒✓ V ✢▼◆❇✑✒✓✤ ➹ ❂s dim(V1 + · · · + Vm) + Σm i=2dim(Vi ∩ Σ i−1 j=1Vj ) = Σm i=1dimVi . ❄❮s P144 4, 10 ✤ P155, 2, 4, 9 ❰➈➯❱ (1) ❨ A ∈ Kn×n , ➹ ❂s V = {B ∈ Kn×n |BA = AB} ⑩✫ Kn×n ✢ ✑✒✓❱ (2) ➛ (1) ❋Ï A =   1 1 0 0 1 1 0 1 1  , ➹ V ✢❍ t ❇❈❱ ÐÑ➯s P144, 12 ÒÓ➯s P143, 1, P144, 2, 3, 5, 8, 9, P155, 1, 4 4