厦门大学高等代数教案(08版)网站TP地址:59.71.,16;域名; gdjpkc. xmu. edu.cn 44线性映射的像与核 教学目的和要求熟练掌握线性映射φ的核Kerp与像Imφ的概念及用于刻画 y2的单射,满射;熟练掌握和应用维数公式;学会对具体例子计算Kerp和Img 掌握维数公式证明过程中应用到的扩基方法和同构方法.理解用线性映射证明矩 阵秩的命题的方法 引理1设φ:V—U是线性映射 (1)若V是V的子空间,则y(V)={y(a)a∈V}是U的子空间 (2)若U是U的子空间,则φ-(U)={a∈Vly(a)∈U}是V的子空间 证明(1)因为φ(0)=0∈y(V),所以g(V)≠0 对于(a),yp(B)∈g(V),其中a,B∈V,有a+B∈V,所以y(a)+() y(a+B)∈g(V) 对于φ(a)∈g(V),其中a∈V,则对于任意的a∈K ap(a) y(a)∈p(V).所以y(V)是U的子空间 (2)因为0∈V,g(0)=0∈U,所以φ-1(U)≠0 对于a,B∈y-(U),有p(a),y()∈U,所以y(a+B)=(a)+y(6)∈U, 故a+B∈-(U) 对于a∈g-{U),则y(a)∈U.所以对于任意的a∈K,ay(a)∈U,故 y(a)=ay(a)∈U.这样Aa∈p-(U).所以φ-1(U是V的子空间.口 定义1设φ:V→U是线性映射,记 ∈V ∈ 分别称为线性映射的像和核dimm称为φ的秩, dimEry称为φ的零度 定理1设φ:V→U是线性映射,则Imp是U的子空间,Kerp是V的子 空间 证明由引理1,Kerp=g-1(0),Img=9(V).口
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ (08 ✡) ☛☞ IP ✌✍✎ 59.77.1.116; ✏✑✎ gdjpkc.xmu.edu.cn §4.4 ✒✓✔✕✖✗✘✙ ✚✛ ✜✢✣✤✥ ✦✧★✩✒✓✔✕ ϕ ✖✙ Kerϕ ✘✗ Imϕ ✖✪✫✬✭✮✯✰ ϕ ✖✱✕✲✳✕✴✦✧★✩✵✶✭✷✸✹✺✴✻✼✽✾✿❀❁❂❃ Kerϕ ✵ Imϕ; ★✩✷✸✹✺❄ ❅❆❇❈✶✭❉✖❊❋●❍✵■❏ ●❍❑▲▼✭✒✓✔✕❄❅◆ ❖P ✖◗❘✖●❍❑ ❙❚ 1 ❯ ϕ : V −→ U ❱✒✓✔✕❑ (1) ❲ V 0 ❱ V ✖❁❳❨✲❩ ϕ(V 0 ) = {ϕ(α) | α ∈ V 0} ❱ U ✖❁❳❨✴ (2) ❲ U 0 ❱ U ✖❁❳❨✲❩ ϕ −1 (U 0 ) = {α ∈ V |ϕ(α) ∈ U 0} ❱ V ✖❁❳❨❑ ❬❭ (1) ❪ ❫ ϕ(0) = 0 ∈ ϕ(V 0 ), ❴❵ ϕ(V 0 ) 6= ∅. ✽✮ ϕ(α), ϕ(β) ∈ ϕ(V 0 ), ❛ ❈ α, β ∈ V 0 , ❜ α + β ∈ V 0 , ❴❵ ϕ(α) + ϕ(β) = ϕ(α + β) ∈ ϕ(V 0 ). ✽✮ ϕ(α) ∈ ϕ(V 0 ), ❛ ❈ α ∈ V 0 , ❩✽✮❝❞✖ a ∈ K, aα ∈ V 0 , aϕ(α) = ϕ(aα) ∈ ϕ(V 0 ). ❴❵ ϕ(V 0 ) ❱ U ✖❁❳❨❑ (2) ❪ ❫ 0 ∈ V, ϕ(0) = 0 ∈ U 0 , ❴❵ ϕ −1 (U 0 ) 6= ∅. ✽✮ α, β ∈ ϕ −1 (U 0 ), ❜ ϕ(α), ϕ(β) ∈ U 0 , ❴❵ ϕ(α + β) = ϕ(α) + ϕ(β) ∈ U 0 , ❡ α + β ∈ ϕ −1 (U 0 ). ✽✮ α ∈ ϕ −1 (U 0 ), ❩ ϕ(α) ∈ U 0 . ❴❵✽✮❝❞✖ a ∈ K, aϕ(α) ∈ U 0 , ❡ ϕ(aα) = aϕ(α) ∈ U 0 . ❢❣ λα ∈ ϕ −1 (U 0 ). ❴❵ ϕ −1 (U 0 ) ❱ V ✖❁❳❨❑ ✷ ❤✐ 1 ❯ ϕ : V → U ❱✒✓✔✕✲❥ Imϕ = {ϕ(α)|α ∈ V }, Kerϕ = {α ∈ V |ϕ(α) = 0}, ❦❧♠❫ ✒✓✔✕✖ ♥ ✵ ♦ . dimImϕ ♠❫ ϕ ✖ ♣, dimKerϕ ♠❫ ϕ ✖ qr. ❤❚ 1 ❯ ϕ : V → U ❱✒✓✔✕✲❩ Imϕ ❱ U ✖❁❳❨✲ Kerϕ ❱ V ✖❁ ❳❨❑ ❬❭ st ▲ 1, Kerϕ = ϕ −1 (0),Imϕ = ϕ(V ). ✷ 1
推论1下列条件是等价的 (1)Kerp=V; Imo=0 推论2(1)Kery=0的充分必要条件是φ是单射; (2)Im=U的充分必要条件是φ是满射.口 例1设线性变换φ:K1x2→→K1×2,(a1,a2)→→(a2,0),则Im={(b,.0)|b∈ }=K,Kery={(a,0)∈K}K且 例2设A∈Kmxm,定义线性映射A:Kmx1→Km×1,X→AX.记 A=(41,A2,……,Am),则KerA={AX=0的解空间},ImA={A的列空间} L(A1,A2,…,Am) 证明KerA={X∈Km×HAX=0},ImA={AXX∈Kmx}=L(Ae,1≤ i≤m)=L(A1,A2 定理2设V是m维线性空间,51,2,……,5m是V的一组基,U是n维线 性空间,m1,m2,……,mn是U的基,y∈L(V,U), (51,52,…,5m)=(mh,2,……,mn)Anxm 则 dimImy =r(A), dimKery= m-r(a) 证明引用上节定理2的记号,我们断言:(1)o2(Imy)=ImA:(2)a1(Kery) KerA.事实上,2(Imy)=029(V)=Ao1(V)=A(Kn)=ImA;若a∈Kery,p(a)= 0,所以A1(a)=2y(a)=0,所以a1(Kery)KerA.反之,设B∈KerA,4() 0,由于a1是同构,所以存在a∈V,使a1(a)=B,于是o2y(a)=Ao1(a)= 4(B)=0.由于σ2同构,所以y(a)=0,故a∈Kery,3∈a1(Kery),所以 KerA Co1(Kery),所以a1(Kery)=KerA 结合例2,即得结论.口 推论3(线性映射的维数公式)设V是m维线性空间, U是线性映
✉✈ 1 ✇①②③❱④⑤✖⑥ (1) Kerϕ = V ; (2) Imϕ = 0; (3) ϕ = 0. ✷ ✉✈ 2 (1) Kerϕ = 0 ✖⑦❦⑧⑨②③❱ ϕ ❱✱✕✴ (2) Imϕ = U ✖⑦❦⑧⑨②③❱ ϕ ❱✳✕❑ ✷ ⑩ 1 ❯✒✓❶❷ ϕ : K1×2 −→ K1×2 ,(a1, a2) 7−→ (a2, 0), ❩ Imϕ = {(b, 0)|b ∈ K} ∼= K, Kerϕ = {(a, 0)|a ∈ K} ∼= K ❸ ϕ 2 = 0. ⑩ 2 ❯ A ∈ Kn×m. ❹❺✒✓✔✕ A : Km×1 → Kn×1 , X 7→ AX. ❥ A = (A1, A2, · · · , Am), ❩ KerA = {AX = 0✖▼❳❨},ImA = {A✖①❳❨} = L(A1, A2, · · · , Am). ❬❭ KerA = {X ∈ Km×1 |AX = 0}, ImA = {AX|X ∈ Km×1} = L(Aei , 1 ≤ i ≤ m) = L(A1, A2, · · · , Am). ✷ ❤❚ 2 ❯ V ❱ m ✷✒✓❳❨✲ ξ1, ξ2, · · · , ξm ❱ V ✖❻❼❋✲ U ❱ n ✷✒ ✓❳❨✲ η1, η2, · · · , ηn ❱ U ✖❋✲ ϕ ∈ L(V, U), ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)An×m. ❩ dimImϕ = r(A), dimKerϕ = m − r(A). ❬❭ t ✭❽❾❹▲ 2 ✖❥❿✲➀➁➂➃⑥ (1)σ2(Imϕ) = ImA; (2)σ1(Kerϕ) = KerA. ➄➅❽✲σ2(Imϕ) = σ2ϕ(V ) = Aσ1(V ) = A(Kn ) = ImA; ❲ α ∈ Kerϕ, ϕ(α) = 0, ❴❵ Aσ1(α) = σ2ϕ(α) = 0, ❴❵ σ1(Kerϕ) ⊆ KerA. ➆➇✲❯ β ∈ KerA, A(β) = 0, s ✮ σ1 ❱ ■❏ ✲❴❵➈➉ α ∈ V, ➊ σ1(α) = β, ✮❱ σ2ϕ(α) = Aσ1(α) = A(β) = 0, s ✮ σ2 ■❏ ✲❴❵ ϕ(α) = 0, ❡ α ∈ Kerϕ, β ∈ σ1(Kerϕ), ❴❵ KerA ⊆ σ1(Kerϕ), ❴❵ σ1(Kerϕ) = KerA. ➋➌❀ 2, ➍➎➋➏❑ ✷ ✉✈ 3(➐➑➒➓✢➔→➣↔) ❯ V ❱ m ✷✒✓❳❨✲ ϕ : V −→ U ❱✒✓✔ 2
射,则 dimImyp dimKerp =m 注1下面给出维数公式的另外证明方法.注意掌握证明方法2中的扩基的思 想方法 维数公式的证法2设51,52,…,5r是Kerp的一组基,扩为V的基1 sr,5+1,…,5m,下面证明φ(5+1),……,y(5m)是Im的一组基.事实上, (1)设an+1y9(5+1)+…+amy(5m)=0,则y(an+15r+1+…+am5m)=0,所 以an+15+1+…+am5m∈Kerp,故存在a1,……,ar,使a+15r+1+…+am5m a151+…+a5r.因为51,…,5r,5+1,…,5mn线性无关,所以a1 =am=0,故φ(5r+1),…,y(5m)线性无关 (2)对于任意的y(a)∈Imyp,其中a∈V,有a=∑m1a251,所以y(a) ∑m=1a2(51)=>+11y(5),即p(a)可由(5r+1),…,y(5m)线性表出.口 维数公式的证法3设V是m维线性空间,U是n维线性空间,对于φ∈ L(VU),根据上节推论3,存在V的基51…,5m和U的基m,…,mn使得 Em)=(1 Ir 0 易见Imy=L(y(51),……,(5r),y(5r+1),…,y(5m)=L(m1,…,m),所以 dimIty= r.下面证明Kery=L(sr+1 ).事实上,显然Kerφ2L(5r+1,…,5m).另一方 面,设a=∑=1a51∈Kery.则0=(a)=∑a1a(51)=∑:10n,故a1=0 1≤i≤r.这样,a=∑+10a5∈L(5r+1,…,5m)故 Kery=L(5r+1,…,Em) dimKery= m 推论4设p:V→U是线性映射 g(51,52,……,5m) 则 (1)φ是单射的充分必要条件是r(A)=m; (2)φ是满射的充分必要条件是r(A)=n 推论5设φ是n维线性空间V的线性变换,则下列等价
✕✲❩ dimImϕ + dimKerϕ = m. ↕ 1 ✇➙➛➜✷✸✹✺✖➝➞❄❅●❍❑➟❞★✩❄❅●❍ 2 ❈ ✖❊❋✖➠ ➡ ●❍❑ ➔→➣↔✢❬➢ 2 ❯ ξ1, ξ2, · · ·, ξr ❱ Kerϕ ✖❻❼❋✲❊❫ V ✖❋ ξ1, · · ·, ξr, ξr+1, · · · , ξm, ✇➙❄❅ ϕ(ξr+1), · · · , ϕ(ξm) ❱ Imϕ ✖❻❼❋❑➄➅❽✲ (1) ❯ ar+1ϕ(ξr+1) + · · · + amϕ(ξm) = 0, ❩ ϕ(ar+1ξr+1 + · · · + amξm) = 0, ❴ ❵ ar+1ξr+1 + · · · + amξm ∈ Kerϕ, ❡ ➈➉ a1, · · · , ar, ➊ ar+1ξr+1 + · · · + amξm = a1ξ1 + · · · + arξr. ❪ ❫ ξ1, · · · , ξr, ξr+1, · · · , ξm ✒✓➤➥✲❴❵ a1 = · · · = ar = ar+1 = · · · = am = 0, ❡ ϕ(ξr+1), · · · , ϕ(ξm) ✒✓➤➥❑ (2) ✽✮❝❞✖ ϕ(α) ∈ Imϕ, ❛ ❈ α ∈ V , ❜ α = Σm i=1aiξi , ❴❵ ϕ(α) = Σ m i=1aiϕ(ξi) = Σm i=r+1aiϕ(ξi), ➍ ϕ(α) ➦ s ϕ(ξr+1), · · · , ϕ(ξm) ✒✓➧➜❑ ✷ ➔→➣↔✢❬➢ 3 ❯ V ❱ m ✷✒✓❳❨✲ U ❱ n ✷✒✓❳❨✲✽✮ ϕ ∈ L(V, U), ➨➩❽❾➫➏ 3, ➈➉ V ✖❋ ξ1, · · · , ξm ✵ U ✖❋ η1, · · · , ηn ➊➎ ϕ(ξ1, · · · , ξm) = (η1, · · · , ηn) Ir 0 0 0 . ➭➯ Imϕ = L(ϕ(ξ1), · · · , ϕ(ξr), ϕ(ξr+1), · · · , ϕ(ξm)) = L(η1, · · · , ηr), ❴❵ dimImϕ = r. ✇➙❄❅ Kerϕ = L(ξr+1, · · · , ξm). ➄➅❽✲➲➳ Kerϕ ⊇ L(ξr+1, · · ·, ξm). ➝❻● ➙✲❯ α = Pn i=1 aiξi ∈ Kerϕ. ❩ 0 = ϕ(α) = Pn i=1 aiϕ(ξi) = Pr i=1 aiηi . ❡ ai = 0, 1 ≤ i ≤ r. ❢❣✲ α = Pn i=r+1 aiξi ∈ L(ξr+1, · · · , ξm). ❡ Kerϕ = L(ξr+1, · · · , ξm), dimKerϕ = m − r. ✷ ✉✈ 4 ❯ ϕ : V → U ❱✒✓✔✕✲ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)A, ❩ (1) ϕ ❱✱✕✖⑦❦⑧⑨②③❱ r(A) = m; (2) ϕ ❱✳✕✖⑦❦⑧⑨②③❱ r(A) = n. ✉✈ 5 ❯ ϕ ❱ n ✷✒✓❳❨ V ✖✒✓❶❷✲❩✇①④⑤⑥ 3
(1)p是可逆映射 (2)是同构映射 3)φ是单射; (4)φ是满射; (5)φ在一组基下的矩阵是可逆阵 下面的例子给出计算维数的方法以及利用维数公式的应用 例3设V是5维线性空间,51,5253,54,55是V的一组基,U是4维线性 空间,m1,m,73,m4是U的一组基,g∈L(V,U), (1,2,53,4,5)=(m,,/21-32 3-5-1710 求Imy与Kerp 1001 解A经过行的初等变换化为/010-3耳 因此r(4)=3,所以 000 dimly=3.因为A的前三列线性无关,所以Imp=k1(m+2m2+m+2n4)+ k2(2m+m+m+3m)+k3(m+m+2h-5m4),k∈K,1≤i≤3.又因为AX=0 3 的基础解系为a1 5|,所以Ker=k1(-1+32-25+ 0 0 4 54)+k2(951-1152+553+454),k;∈K,i=1,2口 例4设φ:V→V是线性映射,U是V的子空间,则 dimImp(U)+dim(Ker nU)=dimU 证明考虑φ导出线性映射φ′:U→φ(U),a口y(a),则Kery'=Kery∩ U,Imy=φ(U),由维数公式即得结论口 注2dimU- dimEry≤dimy?(U)≤dimU
(1) ϕ ❱➦➵✔✕✴ (2) ϕ ❱ ■❏ ✔✕✴ (3) ϕ ❱✱✕✴ (4) ϕ ❱✳✕✴ (5) ϕ ➉❻❼❋✇✖◆❖❱➦➵❖ ❑ ✇➙✖❀❁➛➜❂❃✷✸✖●❍❵✬➸✭✷✸✹✺✖✶ ✭❑ ⑩ 3 ❯ V ❱ 5 ✷✒✓❳❨✲ ξ1, ξ2, ξ3, ξ4, ξ5 ❱ V ✖❻❼❋✲ U ❱ 4 ✷✒✓ ❳❨✲ η1, η2, η3, η4 ❱ U ✖❻❼❋✲ ϕ ∈ L(V, U), ϕ(ξ1, ξ2, ξ3, ξ4, ξ5) = (η1, η2, η3, η4) 1 2 1 −3 2 2 1 1 1 −3 1 1 2 2 −2 2 3 −5 −17 10 , ➺ Imϕ ✘ Kerϕ. ➻ A ➼ ❆➽✖➾④❶❷➚❫ 1 0 0 1 − 9 4 0 1 0 −3 11 4 0 0 1 2 − 5 4 0 0 0 0 0 , ❪➪ r(A) = 3, ❴❵ dimImϕ = 3. ❪ ❫ A ✖➶➹①✒✓➤➥✲❴❵ Imϕ = k1(η1 + 2η2 + η3 + 2η4) + k2(2η1 + η2 + η3 + 3η4) + k3(η1 + η2 + 2η3 − 5η4), ki ∈ K, 1 ≤ i ≤ 3. ➘❪❫ AX = 0 ✖❋➴▼➷❫ α1 = −1 3 −2 1 0 , α2 = 9 −11 5 0 4 , ❴❵ Kerϕ = k1(−ξ1 + 3ξ2 − 2ξ3 + ξ4) + k2(9ξ1 − 11ξ2 + 5ξ3 + 4ξ4), ki ∈ K, i = 1, 2.✷ ⑩ 4 ❯ ϕ : V → V 0 ❱✒✓✔✕✲ U ❱ V ✖❁❳❨✲❩ dimImϕ(U) + dim(Kerϕ ∩ U) = dimU. ❬❭ ➬➮ ϕ ➱➜✒✓✔✕ ϕ 0 : U → ϕ(U), α 7→ ϕ(α), ❩ Kerϕ 0 = Kerϕ ∩ U,Imϕ 0 = ϕ(U), s ✷✸✹✺➍➎➋➏❑ ✷ ↕ 2 dimU − dimKerϕ ≤ dimϕ(U) ≤ dimU. 4
例5设φ:V—V是线性映射,U是V的子空间,则 dim(Imo n U)+dimKerp=dimp -(U) 证明考虑φ导出的线性映射y′ y(a),则Ker Kerp,Imy=Imy∩U,由维数公式即得.口 注3dimg-1(U)≤dimU+ dimEry 例6设A,B∈Kn×n,求证 r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)} 证明设A,B为线性变换A:Kn→K",X→AX;B:Kn→Kn,X口 BX,考虑A导出的映射φ:ImB→K",BX→ABX,则Kery=ImB∩ KerA;Imp=ImAB,由维数公式知 dimIng= dimM.AB+dim(ImB∩KerA)≤ dimM AB+dimKer A= dimIm. AB +n-dimImA, Ep r(B)<r(AB)+n-r(a) 因为 KerB C Ker AB,所以n-r(B)≤n-r(AB),故r(AB)≤r(B).另一方面 InAB C ImA,所以r(AB)≤r(A) 作业P176:1,2,4,5;P180:6,7 (第6,7题的提示:对于n维线性空间V的任意有限个真子空间{V}1sism都 不能覆盖V,即Ul1<<mVgV
⑩ 5 ❯ ϕ : V −→ V 0 ❱✒✓✔✕✲ U ❱ V 0 ✖❁❳❨✲❩ dim(Imϕ ∩ U) + dimKerϕ = dimϕ −1 (U). ❬❭ ➬➮ ϕ ➱ ➜✖✒✓✔✕ ϕ 0 : ϕ −1 (U) −→ U, α 7→ ϕ(α), ❩ Kerϕ 0 = Kerϕ,Imϕ 0 = Imϕ ∩ U, s ✷✸✹✺➍➎❑ ✷ ↕ 3 dimϕ −1 (U) ≤ dimU + dimKerϕ. ⑩ 6 ❯ A, B ∈ Kn×n , ➺ ❄⑥ r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}. ❬❭ ❯ A, B ❫ ✒✓❶❷ A : Kn −→ Kn , X 7→ AX; B : Kn −→ Kn , X 7→ BX, ➬➮ A ➱ ➜✖✔✕ ϕ : ImB −→ Kn , BX 7→ ABX, ❩ Kerϕ = ImB ∩ KerA; Imϕ = ImAB, s ✷✸✹✺✃ dimImB = dimImAB + dim(ImB ∩ KerA) ≤ dimImAB + dimKerA = dimImAB + n − dimImA, ➍ r(B) ≤ r(AB) + n − r(A). ❪ ❫ KerB ⊆ KerAB, ❴❵ n − r(B) ≤ n − r(AB), ❡ r(AB) ≤ r(B). ➝❻●➙ ImAB ⊆ ImA, ❴❵ r(AB) ≤ r(A). ❐❒ P176 : 1, 2, 4, 5; P180 : 6, 7 (❮ 6,7 ❘✖❰Ï⑥✽✮ n ✷✒✓❳❨ V ✖❝❞❜ÐÑÒ❁❳❨ {Vi}1≤i≤m Ó ÔÕÖ× V , ➍ S 1≤i≤m Vi V ). 5
