厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第1章 行列式 §1.7 Laplace定理

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116;域名: gdjpkc. xmu.edu.cn §1.7 Laplace定理 教学目的与要求理解 Laplace定理的含义,会用其解决实际问题 行列式可按第一列(行展开,亦可按任一行(列展开,现将此结论再做推广 取行列式|斗中第ⅱ行,第2行,…,第i行以及第j列,第ρ列,…第 列交点上的元素,其中1≤ⅱ<<…<i≤n1≤j<j<…<j≤n, 按原来|4中相对位置构成一k阶行列式,称之为|4的一个k阶子式,记为 Zk 713 Jk 在行列式|A中去掉第i行,第行,…,第i行以及第j列,第j列 第jk列以后剩下的元素按原来的相对位置构成一个n-k阶行列式,称为(1)的 余子式,记为 M Jk 若令p=i1+i2+…+,q=j1+j2+…+jk,记 (-1)2+M 称之为式(1)的代数余子式.本节主要证明下述 Laplace定理 Laplace定理设|4是n阶行列式,在|4中任取k行(列),那么含于k行 (列)的全部k阶子式与它们所对应的代数余子式的乘积之和等于|4|.即若取定k 个行1≤i<i<…<ik≤n,则 1≤j1<j2<…<ik≤n 样,若取定k个列:1≤j<j<…<j≤n,则 1<i1<i2<…<ik≤n

^)￾A 7 IP 
VxO V () 5M￾#Oo  (V) 5M￾?EZ2E /
kVx |A|  i1 ￾ i2 ￾· · ·,  ik "; j1 V￾ j2 V￾· · ·,  jk Vs0￾f 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n ￾ 1P |A| $Æ?, k CVx￾; |A|  * k CCx￾= A  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  =         ai1j1 ai1j2 · · · ai1jk ai2j1 ai2j2 · · · ai2jk · · · · · · · · · · · · aikj1 aikj2 · · · aikjk         (1) 3Vx |A| l i1 ￾ i2 ￾ · · ·,  ik "; j1 V￾ j2 V￾ · · ·,  jk V"5u01P$Æ?, * n − k CVx￾ (1)  -Cx￾= M  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  qX p = i1 + i2 + · · · + ik,q = j1 + j2 + · · · + jk, = Ab  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  = (−1)p+qM  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  ; x (1) -Cx
DB9`~ Laplace !Q
Laplace HK t |A| z n CVx￾3 |A| ok k  (V), [2, k  (V) m k CCx._$'-CxÆ:;4, |A|. <qk! k * 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n, 4 |A| = X 1≤j1<j2<···<jk≤n A  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  Ab  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  . (2) ￾qk! k *V 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n, 4 |A| = X 1≤i1<i2<···<ik≤n A  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  Ab  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  . (3) 1

例1在4阶行列式 131 2-1 20 2536 固定第二行,第三行,则具有C4=6个二阶子式 A a21a22 12 23 35 14 a31a34 23 3442 100 a23 3 a33a340 相应代数余子式 1)2+3+1+2a13a14 12 43a44 16 13|=(-1)2+4+2a1 22 44 +3+1+4a12a13 a42a43 -41 11a 12 23 (-1)2 24|=(-1)2+3+2+41a3=-1-1 23 a41a43 1a12 0 41a42

L 1 3 4 CVx         1 2 −1 2 3 0 1 5 1 −2 0 3 −2 −4 1 6         , .!&￾r￾4J* C 2 4 = 6 *&CCx A  2 3 1 2  =     a21 a22 a31 a32     =     3 0 1 −2     = −6 A  2 3 1 3  =     a21 a23 a31 a33     =     3 1 1 0     = −1 A  2 3 1 4  =     a21 a24 a31 a34     =     3 5 1 3     = 4 A  2 3 2 3  =     a22 a23 a32 a33     =     0 1 −2 0     = 2 A  2 3 2 4  =     a22 a24 a32 a34     =     0 5 −2 3     = 10 A  2 3 3 4  =     a23 a24 a33 a34     =     1 5 0 3     = 3 '-Cx Ab  2 3 1 2  = (−1)2+3+1+2     a13 a14 a43 a44     =     −1 2 1 6     = −8 Ab  2 3 1 3  = (−1)2+3+1+3     a12 a14 a42 a44     = −     2 2 −4 6     = −20 Ab  2 3 1 4  = (−1)2+3+1+4     a12 a13 a42 a43     =     2 −1 −4 1     = −2 Ab  2 3 2 3  = (−1)2+3+2+3     a11 a14 a41 a44     =     1 2 −2 6     = 10 Ab  2 3 2 4  = (−1)2+3+2+4     a11 a13 a41 a43     = −     1 −1 −2 1     = 3 Ab  2 3 3 4  = (−1)2+3+3+4     a11 a12 a41 a42     =     1 2 −2 −4     = 0 2

依 Laplace定理 a21a22a13a14 a21a23a12a14 a32a43a44 a31a33a4a4/ a21a24a12a13 a341a42a43 a22 a23a a22a24a11013+ 023a24a11a12 a32a33a41a44 a41 a43a33 a34a41a42 6)(-8)+(-1)(-20)+10×1+3×0=90. 为了 Laplace定理的证明,依定义n阶行列式有m!项,其中每一项在不考虑 符号情形下由n个元素组成,|4中每一行,每一列中有且仅有一个元素在这 项中.若固定|4的k行(列,则一共有C个不同的子式,每个子式完全展开后 有k项.相应的余子式也有C个,每个余子式完全展开后有(n-k)!项,因此 在 Laplace定理中(2)(或(3)的右端一共有k!(n-k)l=m!项.所以如果能证 明每个k阶子式及其代数余子式之积中的每一项都属于|A|的展开式,就证明了 Laplace定理 引理n阶行列式|A的任一k阶子式与其代数余子式之积的展开式中每一项 都属于|4|的展开式 证明首先考虑特殊情形:i=1,i=2,…,i=k;j=1,j=2,…,j=k. 此时 Al 其中A1=A 12 4 A1中每一项具有形式 A2中每一项具有形式 所以 k 12 中任一项具有下列形式: ;,1

! Laplace !Q |A| =     a21 a22 a31 a32         a13 a14 a43 a44     −     a21 a23 a31 a33         a12 a14 a42 a44     +     a21 a24 a31 a34         a12 a13 a42 a43     +     a22 a23 a32 a33         a11 a14 a41 a44     −     a22 a24 a32 a34         a11 a13 a41 a43     +     a23 a24 a33 a34         a11 a12 a41 a42     = (−6)(−8) + (−1)(−20) + 10 × 1 + 3 × 0 = 90. U Laplace !Q9`￾!!$ n CVx* n! ￾f℄ 3 NY '3i) n *0D ￾ |A| ℄ ￾℄ V*hG* *038 
q.! |A|  k  (V), 4 +* C k n * Cx￾℄*Cxm5M5 * k! 
'-Cx* C k n *￾℄*-Cxm5M5* (n − k)! ￾% 3 Laplace !Q (2)(9 (3)) +# +* k!(n − k)!c k n = n! 
"p0d9 `℄* k CCx;f-Cx;:℄ "}, |A| 5Mx￾I9`U Laplace !Q
RK n CVx |A| o k CCx.f-Cx;:5Mx℄  "}, |A| 5Mx
TM {NY|i i1 = 1, i2 = 2, · · · , ik = k;j1 = 1, j2 = 2, · · · , jk = k. v |A| =     A1 ∗ ∗ A2     , fA1 = A  1 2 · · · k 1 2 · · · k  A2 = Ab  1 2 · · · k 1 2 · · · k  A1 ℄ J*x (−1)N(j1,j2,···,jk) aj11aj22 · · · ajkk. A2 ℄ J*x (−1)N(jk+1,jk+2,···,jn) ajk+1k+1ajk+2k+2 · · · ajnn, " A  1 2 · · · k 1 2 · · · k  Ab  1 2 · · · k 1 2 · · · k  o J*Vx (−1)σ aj11aj22 · · · ajkkajk+1k+1 · · · ajnn (4) 3

其中σ=N(j1,j2,…,)+N(k+1,k+2,…,j)此处(i,j2,…,j)是(1,2,…,k) 的一个排列,(jk+1,j+2,…,是(k+1,k+2,…,m)的一个排列.故 Jk)+ n)=N(1,j2,…,jk,jk+1,J 即(4)式所示为|4中某一项 现在讨论一般情形.设1≤i<i<…<i≤n;1≤j<j<…<j≤n 经过i1-1次相临两行互换,可把第i1行调到第1行;同理经-2次对换 可把i行调至第2行, 经过(i1-1)+(2-2)+…+(ik-k)=(i1+ i2+…+ik)-是k(k+1)次对换可把第i1,2,…,ik行调至前k行;同理,经过 (1+1+…+jk)-是k(k+1)次对换,可将第1,j2,…,i列调至前k列.因此 A经(i1+12+…+ik)+(1+j2+…+jk)-k(k+1)次行,列对换,得一新行 列式 CI B 其中C|=(-1)+gk+4|=(-1)P+q4P=i1+12+…+i=j1+12+…+j B是子式D在C中的余子式,(亦是代数余子式).由前讨论过情形知:|D|B 中的任一项都是C|中的项,但显然由定义 因此 中的任一项都是(-1)p+qC=|4的项 现完成 Laplace定理的证明. 证明只需证(2)式,(3)式同理可证.由引理可知(5)式中任一项均属于|4 的展开式.当i1,2…,ik固定时,对不同的1≤j<j<…<i≤m,由(5)式 展开得到的项没有重复的,且一共有n!项,|4的展开式中也有n!项.因此(2) 式成立

f σ = N(j1, j2, · · · , jk)+N(jk+1, jk+2, · · · , jn).  (j1, j2, · · · , jk) z (1, 2, · · · , k)  *eV￾ (jk+1, jk+2, · · · , jn) z (k + 1, k + 2, · · · , n)  *eV
- N(j1, j2, · · · , jk) + N(jk+1, jk+2, · · · , jn) = N(j1, j2, · · · , jk, jk+1, jk+2, · · · , jn)  2 ￾ · · ·, H1 (i1 − 1) + (i2 − 2) + · · · + (ik − k) = (i1 + i2 + · · · + ik) − 1 2 k(k + 1) $7O i1, i2, · · · , ik  >g k  Q￾H1 (j1 + j2 + · · · + jk) − 1 2 k(k + 1) $7￾O? j1, j2, · · · , jk V >g k V
% |A| H (i1 + i2 + · · · + ik) + (j1 + j2 + · · · + jk) − k(k + 1) ￾V$7￾  Vx |C| =     D ∗ ∗ B     f |C| = (−1)p+q−k(k+1)|A| = (−1)p+q |A|,p = i1+i2+· · ·+ik,q = j1+j2+· · ·+jk. |B| zCx |D| 3 |C| -Cx￾(#z-Cx). )gZ1i:|D||B| o "z |C| ￾n)!$ Ab  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  = (−1)p+q |B| % A  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  Ab  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  (5) o "z (−1)p+q |C| = |A| 
✷  Laplace !Q9`
TM =9 (2) x￾ (3) x QO9
)&QO: (5) xo L}, |A| 5Mx
 i1, i2, · · · , ik .!v￾$  1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n, ) (5) x 5M\*A(￾h +* n! ￾ |A| 5Mx* n! 
% (2) x R
✷ 4

例2 1112-1 0-1012 A|=2 03013 具第1,3列个较因0元,在此二列上作 Laplace展明 210 313 112 13-1 例3求行列式 1 0 0 0 lk+11ak+12 ak+1k a an2 具按前k行展明,则个 ≈/1…aklk+1k+1…a+n k ank+1 练习素P44 思考素P372,3 挑战素P4r20

L 2 |A| =           −1 1 1 2 −1 0 −1 0 1 2 2 1 1 3 −1 1 2 2 1 0 0 3 0 1 3           J  1,3 V*B% 0 0￾3&VsF Laplace 5M
|A| =     −1 1 2 1     · (−1)1+3+1+3       −1 1 2 2 1 0 3 1 3       +     −1 1 1 2     · (−1)1+4+1+3       −1 1 2 1 3 −1 3 1 3       +     2 1 1 2     · (−1)3+4+1+3 =       1 2 −1 −1 1 2 3 1 3       = −132 L 3 jVx |A| =             a11 a12 · · · a1k 0 · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ak1 ak2 · · · akk 0 · · · 0 ak+11 ak+12 · · · ak+1k ak+1k+1 · · · ak+1n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ank ank+1 · · · ann             J g k 5M￾4* |A| =       a11 · · · a1k · · · · · · · · · ak1 · · · akk             ak+1k+1 · · · ak+1n · · · · · · · · · ank+1 · · · ann       . S P44 4
N P37 2, 3 6 P47 20 5