厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.7.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu. cn §6分块矩阵 教学目的与要求掌握分块矩阵的运算,特别是块初等变换的应用. 对m×n矩阵A,先用若干条横线将其划成r块,再用若干条竖线把它划成 块,我们就得到了rs块分块矩阵,可记为 A11412 A A21 A 其中A是m1×n;矩阵,1≤i≤r,1≤j≤s,满足m=m1+m2+…+mr, A称为A的第(i,)块,A可记为=(4),但要注明 这是分块矩阵 分块阵的相等 分块矩阵A=(A1)y×,B=(B3)1xk称为相等,如果r=l,s=k且A B1j,1≤i≤r,1≤j≤ 2.分块阵的加法 设m×n矩阵A,B有相同的分块,即A=(41)x,B=(B1)x,且A1与 B1作为矩阵的行列数分别相等,则A+B=(A;+B3)y×s 分块阵的数乘 A=(Aiirxs, aA 4.分块阵的乘法 设A=(41)x×,B=(B)x(注意A的列分成S块,B的行分成s块).又 设A与B的分块适合如下条件:
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §6 ✑✒✓✔ ✕✖ ✗✘✙✚✛ ✜✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✬✭✤✮✯✰✱✧✲✳✴ ✵ m × n ✥✦ A, ✶ ✳✷✸✹✺✻✼✽✾✿ r ✤✪❀✳✷✸✹❁✻❂❃✾✿ s ✤✪❄❅❆❇❈❉ rs ✤✣✤✥✦✪❊❋● A = A11 A12 · · · A1s A21 A22 · · · A2s · · · · · · · · · · · · Ar1 Ar2 · · · Ars ✽❍ Aij ✭ mi × nj ✥✦✪ 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s, ■❏ m = m1 + m2 + · · · + mr, n = n1 + n2 + · · · + ns. Aij ❑ ● A ✧▲ (i, j) ✤✪ A ❊❋● A = (Aij ), ▼◆❖P ◗✭✣✤✥✦✴ 1. ✣✤✦✧❘✯ ✣✤✥✦ A = (Aij )r×s, B = (Bij )l×k ❑ ●❘✯✪❙❚ r = l, s = k ❯ Aij = Bij , 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s. 2. ✣✤✦✧❱❲ ❳ m × n ✥✦ A, B ❨ ❘❩✧✣✤✪❬ A = (Aij )r×s, B = (Bij )r×s, ❯ Aij ❭ Bij ❪ ●✥✦✧❫❴❵✣✬❘✯✪❛ A + B = (Aij + Bij )r×s. 3. ✣✤✦✧❵❜ A = (Aij )r×s, aA = (cAij )a×s 4. ✣✤✦✧❜❲ ❳ A = (Aij )r×s, B = (Bij )s×t(❖❝ A ✧❴✣✿ s ✤✪ B ✧❫✣✿ s ✤ ) . ❞ ❳ A ❭ B ✧✣✤❡❢❙❣✹❤✐ n1 n2 · · · ns l1 l2 · · · lt 1
A11A12 Al B1B12 B A21 A n2 B B21B2 Arl Ar2 B。:B Cl Cl C 则C=AB=C21C2 其中C;是m;×l矩阵且 Cr1 C C=AnB1+A2B2+…+ABy A10 0 B10 0 例1设A=0A2 0,B 0B2 01.其中A1与 Bk B;,1≤i≤k都是n阶方阵.则 A1B10 AB 042B2 Ak Bk (2)|4|=|1241:14k (3)A可逆的充分必要条件是A可逆,1≤i≤k; A110 4)A可逆时,A-1=042 Ak 注(B4)(B)=(B)≠(“) 例2设Amxm,Bnxr.记B=(61,A2,…,),是n维列向量,1≤j≤r, 则AB=(A1,AB2,…,A).记A= a;是n维行向量,1≤i<m, B 则AB a2B B
A = A11 A12 · · · A1s A21 A22 · · · A2s · · · · · · · · · · · · Ar1 Ar2 · · · Ars m1 m2 mr , B = B11 B12 · · · B1t B21 B22 · · · B2t · · · · · · · · · · · · Bs1 Bs2 · · · Bst n1 n2 nr ❛ C = AB = C11 C12 · · · C1t C21 C22 · · · C2t · · · · · · · · · · · · Cr1 Cr2 · · · Crt . ✽❍ Cij ✭ mi × lj ✥✦❯ Cij = Ai1B1j + Ai2B2j + · · · + AisBsj . ❥ 1 ❳ A = A1 0 · · · 0 0 A2 · · · 0 · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · Ak , B = B1 0 · · · 0 0 B2 · · · 0 · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · Bk . ✽❍ Ai ❭ Bi , 1 ≤ i ≤ k ❦ ✭ n ❧♠✦✴❛ (1) AB = A1B1 0 · · · 0 0 A2B2 · · · 0 · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · AkBk ; (2) |A| = |A1||A2| · · · |Ak|; (3) A ❊♥✧♦✣♣◆ ✹❤✭ Ai ❊♥✪ 1 ≤ i ≤ k; (4) A ❊♥q✪ A −1 = A −1 1 0 · · · 0 0 A −1 2 · · · 0 · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · A −1 k . r A B A B = AB 0 0 BA 6= A 2 B2 . ❥ 2 ❳ Am×n, Bn×r. ❋ B = (β1, β2, · · · , βr), βj ✭ n s ❴t✉✪ 1 ≤ j ≤ r, ❛ AB = (Aβ1, Aβ2, · · · , Aβr). ❋ A = α1 α2 · · · αm , αi ✭ n s ❫t✉✪ 1 ≤ i ≤ m, ❛ AB = α1B α2B · · · αmB . 2
001 例3(1) 0 即 01 02 n-1 n-k)k≤n-1 01 k 00 10 0 01 即(,n In 2 Ln-1) 般地, 1<k<n 证明(1)设A 0 In 则AA=A(0 en-1)=(0,Ae1,Ae2 (0,0,e 类似可以证明其余结论 5.方块阵的转置 A=(A1)x×s,则A=(4)sxr 6.方块阵的共轭 A=(41)x,则互=()x 7.方块初等变换和块初等矩阵 例4设
❥ 3 (1) 0 1 . . . . . . . . . 1 0 2 = 0 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . 0 0 , ❬ In−1 01 2 = In−2 02 . ✈✇①✪ In−1 01 k = In−k 0k k ≤ n − 1 0 k ≥ n (2) 0 1 . . . . . . . . . 1 1 0 2 = 0 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0 . . . 0 0 1 0 , ❬ In−1 1 2 = In−2 I2 . ✈✇①✪ In−1 1 k = In−k Ik , 1 ≤ k ≤ n. ②③ (1) ❳ A = 0 In−1 0 0 , ❛ AA = A(0, e1, · · · , en−1) = (0, Ae1, Ae2, · · · , Aen−1) = (0, 0, e1, · · · , en−2) = In−2 0 . ④⑤❊⑥⑦P ✽⑧⑨⑩✴ 5. ♠ ✤✦✧❶❷ A = (Aij )r×s , ❛ A0 = (A0 ji)s×r . 6. ♠ ✤✦✧❸❹ A = (Aij )r×s , ❛ A = (Aij )r×s . 7. ♠ ✤✮✯✰✱❺✤✮✯✥✦ ❥ 4 ❳ 3
h l A A11A1 则 Al KAll+ A21 KA12+A A A1+412K412 A21+A22KA22 注意K的前后位置 Ir A1112 SxS NA21 NA22 当 时 0 A A21A22 l。0 A114 例5设A是m阶可逆阵,D是n阶方阵,则/AB D LAlD-CA-BI 证明因为 (-x-)(ab)=( O D-CA-1B 两边取行列式,得 CD|=14|D-CAB口 注若A是m阶方阵,D是n阶可逆阵,则CD=|D4-BDcl 例6设A是m×m矩阵,B是m×n矩阵.则|n-AB=|Im-BA T In A In A BIm八(BIm Im- ba In -A/InA In -Ab O B 两边取行列式,利用 Laplace定理,有 Im -BA=n A N In A In a Im-BA B B I I -AI A Ln-Ab O Im B Im B IIn-AB
h l A = A11 A12 A21 A22 r s ❛ Ir K Es A = A11 A12 KA11 + A21 KA12 + A22 ; A Ih K Il = A11 + A12K A12 A21 + A22K A22 . ❖❝ K ✧❻❼❽❷✴ Ir Ns×s A = A11 A12 NA21 NA22 ❾ r = s q✪ 0 Ir Is 0 A = A21 A22 A11 A12 . ❥ 5 ❳ A ✭ m ❧ ❊♥✦✪ D ✭ n ❧♠✦✪❛ A B C D = |A||D − CA−1B|. ②③ ❿● Im −CA−1 In A B C D = A B O D − CA−1B , ➀➁➂❫❴➃✪❇ A B C D = |A||D − CA−1B|. r ✷ A ✭ m ❧♠✦✪ D ✭ n ❧ ❊♥✦✪❛ A B C D = |D||A − BD−1C|. ❥ 6 ❳ A ✭ n × m ✥✦✪ B ✭ m × n ✥✦✴❛ |In − AB| = |Im − BA|. ②③ In −B Im In A B Im = In A Im − BA , In −A Im In A B Im = In − AB O B I . ➀➁➂❫❴➃✪➄✳ Laplace ➅➆✪ ❨ |Im − BA| = In A Im − BA = In −B Im In A B Im = In A B Im = In −A Im In A B Im = In − AB O B I = |In − AB|. 4
例7计算行列式 a2a1a2+1 alan a2a1+1 aman +l +1 1 解原式= 1 11 1)2|I 1 (-1)"|2 1 ai =(-1)(1-n)(1-∑=12)-(∑=101).口 例8已知A,D是可逆阵,求 AB-I D 解法1 a B X Y Z w AX +BZ=I AY+Bu DZ=O DW=I 解得X=A-1,Z=O,W=D-1,y=-A-1BW=-A-1BD-1 解法(AB:I Ⅰ-BD-1 D I a-IBD-1
❥ 7 ➇ ✩❫❴➃ a 2 1 a1a2 + 1 · · · a1an + 1 a2a1 + 1 a 2 2 · · · a2an + 1 · · · · · · · · · · · · ana1 + 1 ana2 + 1 · · · a 2 n . ➈ ➉➃ =| a1 1 a2 1 · · · · · · an 1 a1 a2 · · · an 1 1 · · · 1 − In| = (−1)n |In − a1 1 a2 1 · · · · · · an 1 a1 a2 · · · an 1 1 · · · 1 | = (−1)n |I2 − a1 a2 · · · 1 1 1 · · · 1 a1 1 a2 an · · · · · · an 1 | = (−1)n 1 − Pn i=1 a 2 i − Pn i=1 ai − Pn i=1 ai 1 − n = (−1)n [(1 − n)(1 − Pn i=1 a 2 i ) − ( Pn i=1 ai) 2 ]. ❥ 8 ➊ ➋ A, D ✭❊♥✦✪➌ A B D −1 . ➈➍ 1 A B D X Y Z W = I I AX + BZ = I AY + BW = O DZ = O DW = I ➎❇ X = A−1 , Z = O, W = D−1 , Y = −A−1BW = −A−1BD−1 . ➈➍ 2 A B . . . I D . . . I ! → A . . . I −BD−1 D . . . I ! → I . . . A−1 −A−1BD−1 I . . . D−1 ! 5
所以 a B A-IBD- 解法3 (m-)(=B-)(B)-( 所以 a B Ⅰ-BD=1 A-1-A-1BD-1 D 作业:P822(1),5,7, Pg79,23 补充作业:计算行列式 +1 (n a ana2
➏⑥ A B D −1 = A−1 −A−1BD−1 D−1 ➈➍ 3 A−1 D−1 I −BD−1 I A B D = I I . ➏⑥ A B D −1 = A−1 D−1 I −BD−1 I = A−1 −A−1BD−1 D−1 . ❪➐✐ P82 2(1), 5, 7, P87 9, 23 ➑♦❪➐✐ ➇ ✩❫❴➃ a 2 1 + 1 a1a2 · · · a1an a2a1 a 2 2 + 1 · · · a2an · · · · · · · · · · · · ana1 ana2 · · · a 2 n + 1 . 6
