厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu. cn 第二章矩阵 81矩阵的概念 教学目的和要求熟练掌握矩阵的定义 定义由m×n个数a,1≤i≤m,1≤j≤m,排成m行n列的如下矩形阵 列 ain a21a2 a2n am1 amt 称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵 注1m行n列矩阵A简记为A=(a1)mxm,其中a称为矩阵A的第讠行第 j列元素,简称为A的第(i,j)元素 注2如果矩阵A的元素全是实数,则称A为实矩阵;如果A的元素全为复 数,则称之为复矩阵.所有元素均为零的矩阵,叫零矩阵,记为0. 注3m行m列的矩阵称为n阶方阵.若A是n阶方阵,则元素a11,a2,…,am 称为A的主对角线元素.若一个方阵除了对角线上的元素外其余元素都等于零, 则称之为对角阵.记对角阵 A 为diag{a1:,a2,…,am} 特别地,In:=diag{1,1,…,1}称为n阶单位阵 形如cln=diag{c,c,……,c}的对角阵称为称为数量阵
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn ✑✒✓ ✔✕ §1 ✖✗✘✙✚ ✛✜ ✢✣✤✥✦ ✧★✩✪✫✬✭✮✯✰ ✱✲ ✳ m × n ✴✵ aij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, ✶✷ m ✸ n ✹ ✭✺✻✫✼✬ ✹ A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn ✽✾ m ✸ n ✹ ✫✬✿❀✽ m × n ✫✬✰ ❁ 1 m ✸ n ✹ ✫✬ A ❀❂✾ A = (aij )m×n, ❃❄ aij ✽✾✫✬ A ✭❅ i ✸ ❅ j ✹❆❇✿❀✽✾ A ✭❅ (i, j) ❆❇✰ ❁ 2 ✺❈✫✬ A ✭ ❆❇❉❊❋✵✿●✽ A ✾ ❍■❏; ✺❈ A ✭ ❆❇❉✾❑ ✵✿●✽▲✾ ▼■❏. ◆❖❆❇P✾◗✭✫✬✿❘ ❙■❏, ❂✾ 0. ❁ 3 n ✸ n ✹ ✭✫✬✽✾ n ❚❯❏ . ❱ A ❊ n ❲❳✬ ✿●❆❇ a11, a22, · · · , ann ✽✾ A ✭❨❩❬❭❆❇✰ ❱❪✴❳✬❫❴❩❬❭❵✭❆❇❛❃❜❆❇❝❞❡◗ ✿ ●✽▲✾ ❢❣❏. ❂❩❬✬ A = a11 a22 . . . ann ✾ diag{a11, a22, · · · , ann}. ❤✐❥✿ In := diag{1, 1, · · ·, 1} ✽✾ n ❚❦❧❏ . ✼✺ cIn := diag{c, c, · · · , c} ✭❩❬✬✽✾✽✾ ♠♥❏. 1
注4一个n阶方阵A=(a1)nxn,如果它的主对角线以下的元素都等于零, 即a;=0,i>j,则称A为上三角阵.如果它的主对角线以及主对角线以下的元 素都等于零,即a;=0,i≥j,则称A为严格上三角阵.同样地,一个n阶方阵 A=(a)n×n,如果它的主对角线以上的元素都等于零,即a=0,i<j,则称A 为下三角阵.如果它的主对角线以及主对角线以上的元素都等于零,即a1=0 i≤j,则称A为严格下三角阵 注5一个1×n矩阵 称为n维行向量.一个n×1矩阵 称为n维列向量
❁ 4 ❪✴ n ❲❳✬ A = (aij )n×n, ✺❈♦✭❨❩❬❭♣✻✭❆❇❝❞❡◗ ✿ q aij = 0, i > j, ●✽ A ✾ rs❣❏. ✺❈♦✭❨❩❬❭♣t❨❩❬❭♣✻✭❆ ❇❝❞❡◗ ✿q aij = 0, i ≥ j, ●✽ A ✾ ✉✈rs❣❏. ✇ ①❥ ✿❪✴ n ❲❳✬ A = (aij )n×n, ✺❈♦✭❨❩❬❭♣❵✭❆❇❝❞❡◗ ✿q aij = 0, i < j, ●✽ A ✾ ②s❣❏. ✺❈♦✭❨❩❬❭♣t❨❩❬❭♣❵✭❆❇❝❞❡◗ ✿q aij = 0, i ≤ j, ●✽ A ✾ ✉✈②s❣❏. ❁ 5 ❪✴ 1 × n ✫✬ a1 a2 · · · an ✽✾ n ③④⑤♥ . ❪✴ n × 1 ✫✬ a1 a2 . . . an ✽✾ n ③⑥⑤♥ . 2
