厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116;域名: gdjpkc. xmu.edu.cn s3.10线性方程组的解 教学目的和要求理解并掌握非齐次线性方程组解的存在性,唯一性和解的形 式的判别方法,掌握齐次线性方程组的解空间以及非齐次线性方程组解的结构 掌握用齐次线性方程组的解空间刻画矩阵的秩以及应用于证明一些关于矩阵的秩 的命题. 我们考虑n个未知数m个方程式构成的线性方程组 a131+a12x2+…+a1nxn=b1 a211+a222+…+a2nxn=b2 amlr1+am2 T2+.+amnOn=bm b1 记它的系数矩阵为A,B b 则(*)可表为 AX=B 记A=(a1,a2,……,an),A=(a1,a2,……,an,B).则(*)可表为 B=x1a1+x202……+anQ 易知,(*)可表为 L(a1,a2,…,an)=L(a1,a2,…,an,B) 矩阵A=(A,B,称为(*)的增广矩阵 定理1在线性方程组(*)中, (1)若r(4)≠r(A),则方程组无解 (2)若若r(A)=r(4)=n,则方程组只有唯一解 (3)r(4)=r(A)<n,则方程组有无穷多个解
✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §3.10 ✑✒✓✔✕✖✗ ✘✙ ✚✛✜✢✣ ✤ ✗✥✦✧★✩✪✑✒✓✔✕✗✖✫✬✒✭✮✯✒✰✗✖✱ ✲ ✖✳✴✓✵✭✦✧✩✪✑✒✓✔✕✖✗✶✷✸✹★✩✪✑✒✓✔✕✗✖✺✻✼ ✦✧✽✩✪✑✒✓✔✕✖✗✶✷✾✿❀❁✖❂✸✹❃✽❄❅❆✯❇❈❄❀❁✖❂ ✖❉❊✼ ❋●❍■ n ❏❑▲▼ m ❏✓✔✲ ✻◆✖✑✒✓✔✕ a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (∗) ❖P✖◗▼❀❁❘ A, β = b1 b2 . . . bm , ❙ (∗) ❚❯❘ AX = β, ❖ A = (α1, α2, · · · , αn), Ae = (α1, α2, · · · , αn, β). ❙ (∗) ❚❯❘ β = x1α1 + x2α2 · · · + anαn, ❱ ▲✭ (∗) ❚❯❘ L(α1, α2, · · · , αn) = L(α1, α2, · · · , αn, β). ❀❁ Ae = (A, β), ❲ ❘ (∗) ✖❳❨❀❁✼ ❩❬ 1 ✬✑✒✓✔✕ (∗) ❭✭ (1) ❪ r(Ae) 6= r(A), ❙✓✔✕❫✗❴ (2) ❪❪ r(Ae) = r(A) = n, ❙✓✔✕❵❛✮✯✗❴ (3) r(Ae) = r(A) < n, ❙✓✔✕❛❫❜❝❏✗✼ 1
证明线性方程组(*)有解的充分必要条件是B可由a1,a2,……,an线性表示, 充分必要条件是r(A)=r(4) 当r(A)=r(4)=n时,有m≥n.适当交换方程式次序,可设A的前n个 行向量线性无关,其余行向量是前n个行向量的线性组合,因而后m-n行是多 余的.因而得到一个n个未知数n个方程组成的线性方程组,其系数矩阵满秩, 由( ramer法则知存在唯一解 当r(4)=r(4)=r<n.可经过调整次序并消去多余方程式后可得到与原方 程组同解的线性方程组 a111+…+a1rxr+a1r+1x+1+…+a1nxn=b1 t arrr t arr+cRt +arn In=br 因为r(A)=r,所以上式总有一个r阶子式不为0,不妨设 ≠0,我 们得到一个有n-r个参数的线性方程组 a111+…+a1rxr=b1-a1r+1xr+1-…-a1n an11+…+arxr=bx-ar+1xr+1-…-arnx 任取xr+1,…,xn的一个值,方程(**)有唯一解,故方程组(*)有无穷多个解.口 定义线性方程组(*)称为齐次的,若所有常数项b都为0.否则称为非齐次 的线性方程组.并称AX=0是与AX=B相伴的齐次线性方程组 考虑齐次线性方程组AX=0.因为r(4)=r(4),所以总有解 0,当r(4)=n时,有唯一解;当r(4)<n时有无穷多解 定理2设有齐次线性方程组AX=0,其中A是mxn阶矩阵.若r(A) r<n,则方程组的解全体构成Kn的一个n-r维子空间 证明记AX=0的解集合为W.因为0∈W,所以W非空.对任意X,Y∈W, 则AX=0,AY=0,所以A(X+Y)=AX+AY=0,故X+Y∈W.对任意 X∈W,a∈K,AaX=aAX=0,所以aX∈W,所以W是Kn的子空间
❞❡ ✑✒✓✔✕ (∗) ❛✗✖❢❣❤✐❥❦❧ β ❚♠ α1, α2, · · · , αn ✑✒❯♥✭ ❢❣❤✐❥❦❧ r(Ae) = r(A). ♦ r(Ae) = r(A) = n ♣✭❛ m ≥ n. q ♦rs✓✔✲ ✪t✭❚✉ Ae ✖✈ n ❏ ✇①② ✑✒❫❈✭③④✇①② ❧✈ n ❏ ✇①② ✖✑✒✕⑤✭⑥⑦⑧ m − n ✇ ❧❝ ④ ✖✼⑥⑦⑨⑩✯❏ n ❏❑▲▼ n ❏✓✔✕◆✖✑✒✓✔✕✭③ ◗▼❀❁❶ ❂✭ ♠ Cramer ✵❙▲✫✬✮✯✗✼ ♦ r(Ae) = r(A) = r < n. ❚❷❸❹❺✪t✥❻❼❝④ ✓✔✲⑧ ❚ ⑨⑩❽❾✓ ✔✕❿✗✖✑✒✓✔✕ a11x1 + · · · + a1rxr + a1r+1xr+1 + · · · + a1nxn = b1 · · · · · · · · · ar1x1 + · · · + arrxr + arr+1xr+1 + · · · + arnxn = br ⑥ ❘ r(A) = r, ➀✸➁✲➂❛✯❏ r ➃➄✲➅❘ 0, ➅➆✉ a11 · · · a1r · · · · · · · · · ar1 · · · arr 6= 0, ❋ ●⑨⑩✯❏❛ n − r ❏➇▼✖✑✒✓✔✕ a11x1 + · · · + a1rxr = b1 − a1r+1xr+1 − · · · − a1nxn · · · · · · · · · ar1x1 + · · · + arrxr = br − arr+1xr+1 − · · · − arnxn (∗∗) ➈➉ xr+1, · · · , xn ✖✯❏➊✭✓✔ (∗∗) ❛✮✯✗✭➋ ✓✔✕ (∗) ❛❫❜❝❏✗✼ ✷ ❩➌ ✑✒✓✔✕ (∗) ❲ ❘ ➍➎ ✖✭❪➀❛➏▼➐ bi ➑ ❘ 0. ➒❙❲❘ ➓➍➎ ✖✑✒✓✔✕✼✥❲ AX = 0 ❧ ❽ AX = β ➔→✖✩✪✑✒✓✔✕✼ ❍■✩✪✑✒✓✔✕ AX = 0. ⑥ ❘ r(Ae) = r(A), ➀✸➂ ❛✗ x1 = · · · = xn = 0, ♦ r(A) = n ♣✭❛✮✯✗❴♦ r(A) < n ♣❛❫❜❝✗✼ ❩❬ 2 ✉❛✩✪✑✒✓✔✕ AX = 0, ③ ❭ A ❧ m × n ➃ ❀❁✼❪ r(A) = r < n, ❙✓✔✕✖✗➣↔✻◆ Kn ✖✯❏ n − r ↕➄✶✷✼ ❞❡ ❖ AX = 0 ✖✗➙⑤❘ W. ⑥ ❘ 0 ∈ W, ➀✸ W ★✶✼➛➈➜ X, Y ∈ W, ❙ AX = 0, AY = 0, ➀✸ A(X + Y ) = AX + AY = 0, ➋ X + Y ∈ W. ➛➈➜ X ∈ W, a ∈ K, AaX = aAX = 0, ➀✸ aX ∈ W, ➀✸ W ❧ Kn ✖➄✶✷✼ 2
设r(4)=r<m,故AX=0可化为 1101+…+a1rxr arn n 解得 1=C1r+1r+1 其中xr+1,…,xn可取任何数,依次取 0 0 0 0, 得到个n-r解: C1r+2 0 不难看出m2,m一线性无关.设n是AX=0的任一解,设=/ 则 必须满足 于是n=ar+1mh+ar+2+…+anmn-r,所以m,m2,…,m-是W的一组基.因 而dimW=n-r.口 注称m,m2,……,m-r为齐次线性方程组AX=0的基础解系
✉ r(A) = r < n, ➋ AX = 0 ❚➝❘ a11x1 + · · · + a1rxr = −a1r+1xr+1 − · · · − a1nxn · · · · · · · · · ar1x1 + · · · + arrxr = −arr+1xr+1 − · · · − arnxn ✗ ⑨ x1 = c1r+1xr+1 + · · · + c1nxn · · · · · · · · · xr = crr+1xr+1 + · · · + crnxn ③ ❭ xr+1, · · · , xn ❚ ➉➈➞▼✭➟✪➉ xr+1 = 1, xr+2 = 0, · · · , xn = 0 xr+1 = 0, xr+2 = 1, · · · , xn = 0 · · · · · · · · · xr+1 = 0, xr+2 = 0, · · · , xn = 1 ⑨⑩❏ n − r ✗➠ η1 = c1r+1 . . . crr+1 1 0 . . . 0 , η2 = c1r+2 . . . crr+2 0 1 . . . 0 , · · · , ηn−r = c1n . . . crn 0 0 . . . 1 , ➅➡➢➤ η1, η2, ηn−r ✑✒❫❈✼✉ η ❧ AX = 0 ✖ ➈ ✯✗✭✉ η = a1 a2 . . . an , ❙ η ❤➥❶➦ a1 = c1r+1ar+1 + · · · + c1nan · · · · · · · · · ar = crr+1ar+1 + · · · + crnan ❄❧ η = ar+1η1 + ar+2η2 + · · · + anηn−r, ➀✸ η1, η2, · · · , ηn−r ❧ W ✖✯✕➧✼⑥ ⑦ dimW = n − r. ✷ ➨ ❲ η1, η2, · · · , ηn−r ❘ ✩✪✑✒✓✔✕ AX = 0 ✖ ➩➫➭➯. 3
推论设A是mxn矩阵,则r(4)=r的充分必要条件是AX=0的解空间 的维数 定理3设A是m×n矩阵,AX=3是线性方程组,r(A)=r(A)=r<n 设AX=0有基础解系m1,m2,…,mn-,又?是AX=B的一个特解,则AX=B 的解全体为 a1h1+a272 其中a1,a2,…,an-r可取任意数 证明设γ是AX=B的解,a是AX=0的解,则a+是AX=B的解, 所以a1m+a2m+…+an-mh-+y是AX=B的解 设γ是AX=B的一个固定解,对AX=B的任意解,A5=B=A,A(5 )=0,所以-y=a1m1+a27+…+an-m=r,所以￡=a1mh+a2m 例1 +44+ +6r2+5x4+2x5=5 4r1+11x2+8x3+55=3 +3x2+2x3+x4+ 13-241 解 26052 753 004-30-9 0-116-16 13211-2 00 41000 00 4 71 01-1616-125 104-1-11 004-30-9 01 0 000000 00000 19 所以AX=B有特解= 0/,且AX=0有基础解系n
➲➳ ✉ A ❧ m × n ❀❁✭❙ r(A) = r ✖❢❣❤✐❥❦❧ AX = 0 ✖✗✶✷ ✖↕▼ n − r. ❩❬ 3 ✉ A ❧ m × n ❀❁✭ AX = β ❧✑✒✓✔✕✭ r(Ae) = r(A) = r < n. ✉ AX = 0 ❛➧➵✗◗ η1, η2, · · · , ηn−r, ➸ γ ❧ AX = β ✖✯❏➺✗✭❙ AX = β ✖✗➣↔❘ a1η1 + a2η2 + · · · + an−rηn−r + γ, ③ ❭ a1, a2, · · · , an−r ❚ ➉➈➜▼✼ ❞❡ ✉ γ ❧ AX = β ✖✗✭ α ❧ AX = 0 ✖✗✭❙ α + γ ❧ AX = β ✖✗✭ ➀✸ a1η1 + a2η2 + · · · + an−rηn−r + γ ❧ AX = β ✖✗✼ ✉ γ ❧ AX = β ✖✯❏➻➼ ✗✭➛ AX = β ✖ ➈➜✗ ξ, Aξ = β = Aγ, A(ξ − γ) = 0, ➀✸ ξ − γ = a1η1 + a2η2 + · · · + an−rηn−r, ➀✸ ξ = a1η1 + a2η2 + · · · + an−rηn−r + γ. ✷ ➽ 1 x1 + 3x2 − 2x3 + 4x4 + x5 = 7 2x1 + 6x2 + 5x4 + 2x5 = 5 4x1 + 11x2 + 8x3 + 5x5 = 3 x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + x5 = −2 ➭ 1 3 −2 4 1 7 2 6 0 5 2 5 4 11 8 0 5 3 1 3 2 1 1 −2 −→ 1 3 −2 4 1 7 0 0 4 −3 0 −9 0 −1 16 −16 1 −25 0 0 4 −3 0 −9 −→ · · · −→ 1 3 −2 4 1 7 0 1 −16 16 −1 25 0 0 4 −3 0 −9 0 0 0 0 0 0 −→ 1 0 0 − 19 2 4 71 2 0 1 0 4 −1 −11 0 0 1 − 3 4 0 − 9 4 0 0 0 0 0 0 , ➀✸ AX = β ❛➺✗ γ = 71 2 −11 − 9 4 0 0 , ➾ AX = 0 ❛➧➵✗◗ η1 = 19 2 −4 3 4 1 0 , η2 = 4
1 0|,所以原方程组的全部解为+a1m+a2,其中a1,a2∈K 0 例2设A1mxn,Bnx满足AB=0,则r(A)+r(B)≤n 证明记B=(61,B2,…,B3),则AB=0的充分必要条件是A1=0,1≤ i≤n.所以A,④2,……,B.是AX=0的解,因而r(,A,…,B)≤n-r(A).故 r(4)+r(B)≤m 例3设A1mxn是实矩阵.求证:r(AA)=r(4)=r(AA 证明我们证明AX=0与AAX=0同解,则有r(AA)=r(A).事实上, AX=0的解显然是A′AX=0的解.设X是A'AX=0的解,则有XAAX=0 令AX=Y,Y=(,y2,…,n),则有YY=0.,即2+v2+…+2.因为v∈R 所以v=0,1≤i≤m,即Y=0,也就是AX=0.所以AX=0的解也是AX=0 的解,因而AX=0与AAX=0同解.故有r(AA)=r(4) 同理,AX=0与AAX=0同解,故r(AA)=r(4)=r(4).口 例4设Anxn,Bn×求证:ABX=0与BX=0同解的充分必要条件是 r(AB)=r(B) 证明设V是ABX=0的解空间,V2是BX=0的解空间,则显然VV1 dimV2=I-r(B), dimI=l-r(AB), FF r(AB)=r(B)+ dimV2=dimI 兮V1=V兮ABX=0与BX=0同解.口 n, r(A)=n 例5设Anxn,则r(A)={1,r(A)=n-1 0,r(A4)< 作业:B1532(2),4(2),7,B549,11 补充题:设线性方程组 试讨论a,b分别取何值时,方程组有解,有唯一解,有无穷多个解,并在有解时求 出所有解
−4 1 0 0 1 , ➀✸❾ ✓✔✕✖➣➚✗❘ γ + a1η1 + a2η2, ③ ❭ a1, a2 ∈ K. ➽ 2 ✉ Am×n, Bn×s ❶➦ AB = 0, ❙ r(A) + r(B) ≤ n. ❞❡ ❖ B = (β1, β2, · · · , βs), ❙ AB = 0 ✖❢❣❤✐❥❦❧ Aβi = 0, 1 ≤ i ≤ n. ➀✸ β1, β2, · · · , βs ❧ AX = 0 ✖✗✭⑥⑦ r(β1, β2, · · · , βs) ≤ n − r(A). ➋ r(A) + r(B) ≤ n. ➽ 3 ✉ Am×n ❧➪❀❁✼➶❅➠ r(A0A) = r(A) = r(AA0 ). ❞❡ ❋●❅❆ AX = 0 ❽ A0AX = 0 ❿✗✭❙❛ r(A0A) = r(A). ➹➪➁✭ AX = 0 ✖✗➘➴❧ A0AX = 0 ✖✗✼✉ X ❧ A0AX = 0 ✖✗✭❙❛ X0A0AX = 0. ➷ AX = Y , Y = (y1, y2, · · · , yn) 0 , ❙❛ Y 0Y = 0, ➬ y 2 1 +y 2 2 +· · ·+y 2 n . ⑥ ❘ yi ∈ R, ➀✸ yi = 0, 1 ≤ i ≤ n, ➬ Y = 0, ➮➱❧ AX = 0. ➀✸ AX = 0 ✖✗➮❧ AX = 0 ✖✗✭⑥⑦ AX = 0 ❽ A0AX = 0 ❿✗✼➋ ❛ r(A0A) = r(A). ❿ ✤ ✭ A0X = 0 ❽ AA0X = 0 ❿✗✭➋ r(AA0 ) = r(A0 ) = r(A). ✷ ➽ 4 ✉ Am×n, Bn×l . ➶❅➠ ABX = 0 ❽ BX = 0 ❿✗✖❢❣❤✐❥❦❧ r(AB) = r(B). ❞❡ ✉ V1 ❧ ABX = 0 ✖✗✶✷✭V2 ❧ BX = 0 ✖✗✶✷✭❙➘➴ V2 ⊆ V1, dimV2 = l − r(B), dimV1 = l − r(AB), ➀✸ r(AB) = r(B) ⇔ dimV2 = dimV1 ⇔ V1 = V2 ⇔ ABX = 0 ❽ BX = 0 ❿✗✼ ✷ ➽ 5 ✉ An×n, ❙ r(A? ) = n, r(A) = n 1, r(A) = n − 1 0, r(A) < n − 1 ✃❐➠ P153 2(2), 4(2), 7, P154 9, 11. ❒ ❢❊➠✉✑✒✓✔✕ ❮❰Ï a, b ❣✴➉➞➊♣✭✓✔✕❛✗✭❛✮✯✗✭❛❫❜❝❏✗✭✥✬❛✗♣➶ ➤ ➀❛✗✼ 5
选作题:548 思考题:P1533,5,6,P15410
Ð✃❊➠ P154 8 Ñ❍ ❊➠ P153 3, 5, 6, P154 10. 6