厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第5章 多项式 §5.9 对称多项式

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116:;域名: gdjpkc. xmu.edu.cn §59对称多项式 教学目的与要求正确理解对称多项式的基本定理,掌握将对称多项式化为初等 对称多项式的多项式的方法;掌握 Newton公式,能用于具体计算 对称多项式 定义设∫(x1,x2,……,n)∈K[x1,…,x,如果对于任意的1≤i≠j≤m,有 则称f(x1,x2,……,xn)是K上m元对称多项式 例x2+2+n3是三元对称多项式,不是四元对称多项式.n-x1x2不是二 元对称多项式. 注∫(x1,x2…,xn)是n元对称多项式的充分必要条件是对(x1,x2,…,xn)的 任意排列(xk1,xk2,…,xkn),有f(xk1,xk2,…,xkn)=f(x1,x2,…,xn) 命题对称多项式之和是对称多项式;对称多项式之积是对称多项式;对称多项 式的多项式是对称多项式 证明设g(x1,…,xn),h(x1,…,xn)是对称多项式.则 )+h(…,r )+h(…,x xj,…)h(…,x,……,x;,…) hi 设f(x1,……,xn),1≤i≤m是K[x1,…,xn]的对称多项式,g(y1,……,ym)是 K[y1,…,m上的多项式,则 h(x1,…,xn)=g(f1(x1,……,xn),∫2(x1,…,xn),……,fm(x1,…,xn)) 也是关于x1,…,xn的对称多项式.口

X3 yH ( IP !0 59.77.1.116; #\ gdjpkc.xmu.edu.cn §5.9 ')q EPK?TQL +fPJ')q$P￾)G')q? ')q)q.,) Newton 7q￾^!K￾D|

')q
R m f(x1, x2, · · · , xn) ∈ K[x1, · · · , xn], i:'!h 1 ≤ i 6= j ≤ n, f(x1, · · · , xi , · · · , xj , · · · , xn) = f(x1, · · · , xj , · · · , xi , · · · , xn), & f(x1, x2, · · · , xn) t K l n $')q
H x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 tk$')q￾Æt{$')q
x 2 1 − x1x2 Æt+ $')q
V f(x1, x2, · · · , xn) t n $')q0 Ft' (x1, x2, · · · , xn)  h_T (xk1 , xk2 , · · · , xkn ), f(xk1 , xk2 , · · · , xkn ) = f(x1, x2, · · · , xn). JN ')q.=t')q')q.At')q') q)qt')q
UI m g(x1, · · · , xn), h(x1, · · · , xn) t')q
& g(· · · , xi , · · · , xj , · · ·) + h(· · · , xi , · · · , xj , · · ·) = g(· · · , xj , · · · , xi , · · ·) + h(· · · , xj , · · · , xi , · · ·); g(· · · , xi , · · · , xj , · · ·)h(· · · , xi , · · · , xj , · · ·) = g(· · · , xj , · · · , xi , · · ·)h(· · · , xj , · · · , xi , · · ·). m fi(x1, · · · , xn), 1 ≤ i ≤ m t K[x1, · · · , xn] ')q￾ g(y1, · · · , ym) t K[y1, · · · , ym] l)q￾& h(x1, · · · , xn) = g(f1(x1, · · · , xn), f2(x1, · · · , xn), · · · , fm(x1, · · · , xn)) t9! x1, · · ·, xn ')q
2 1

对称多项式的基本定理 下列对称多项式称为初等对称多项式: O1=1+x2+ 02=1x2+…+x1Tn .n-1 n 03=21≤<j<k≤njk On=12·‘ 注设f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn),则f(x)=xn-a1x-1+a2x-2+ 下面定理指出:任意对称多项式都可唯一表示为初等对称多项式的多项式 对称多项式基本定理设f(x1,x2,…,xn)是K上对称多项式,则必存在K上 唯一多项式g(1,v,……,犰n),使得∫(x1,x2,……,xn)=9(01,O2,…,On) 证明存在性设f(x1,x2,…,xn)以字典排列的首项系数为ar1x2 0,则必有i1≥i2…≥in,事实上,因为∫(x1,x2,……,xn)是对称多项式,若i1<i2, 则理2…x…也是此多项式的单项式,与字典排列矛盾 令9(x1,x2,…,xn)=a01-2-3…am-1om,显然g(x1,x2,…,xn)为对称多 项式且首项为ax1-2(x1x2)2-3…(x1…xn)=an12…rh,与f(x1,r2,…,xn) 的首项相同. 令f1(x1,…,xn)=∫(x1,…,xn)-9(x1,……,xn),则f1(x1,…,xn)是x1,…,xn 的对称多项式,首项系数的字典排列在∫(x1,……,xn)的首项排列之后.重复上述做 法,得到f0=f,f1=f0-91,f2=f1-92,…,f3-1=f-2-9s-1,fs=f3-1-9s=0 于是f=f1+91=f2+91+92=…=91+g2+…+gs,而92是1,02,……,On的 多项式,故∫可表示为a1,02,…,On的多项式 唯一性:设g(1,y2,……,mn),h(2y,…,n)是K上n元多项式,使 g( 令φ(y,y2,…,孙n)=g(y,y,…,yn)-h(犰,v,…,n),则φ(a1,O2,…,On)=0.,我 们要证(,y;…,yn)=0.反证法否则,假设y(y1,y,…,mn)=ay2…yhn+

+
')q$P
T')q')q σ1 = x1 + x2 + · · · + xn = Σn i=1xi σ2 = x1x2 + · · · + x1xn + · · · + xn−1xn = Σ1≤iBOMD=G m f(x1, x2, · · · , xn) t K l')q￾& % K l )q g(y1, y2, · · · , yn), p f(x1, x2, · · · , xn) = g(σ1, σ2, · · · , σn). UI %
m f(x1, x2, · · · , xn) 6#_Tu x axi1 1 x i2 2 · · · x in n , a 6= 0, & i1 ≥ i2 · · · ≥ in. sol￾ f(x1, x2, · · · , xn) t')q￾j i1
52lw; ,￾ f0 = f, f1 = f0−g1, f2 = f1−g2, · · · , fs−1 = fs−2−gs−1, fs = fs−1−gs = 0, !t f = f1 + g1 = f2 + g1 + g2 = · · · = g1 + g2 + · · · + gs, * gi t σ1, σ2, · · · , σn  )q￾8 f Nr σ1, σ2, · · · , σn )q
m g(y1, y2, · · · , yn), h(y1, y2, · · · , yn) t K l n $)q￾p f(x1, x2, · · · , xn) = g(σ1, σ2, · · · , σn) = h(σ1, σ2, · · · , σn). U ϕ(y1, y2, · · · , yn) = g(y1, y2, · · · , yn)−h(y1, y2, · · · , yn), & ϕ(σ1, σ2, · · · , σn) = 0,  Y, ϕ(y1, y2, · · · , yn) = 0. -,,
1&￾Em ϕ(y1, y2, · · · , yn) = ay k1 1 y k2 2 · · · y kn n + 2

by1y2…m+…,其中a,b,…均不为0,且各单项式中无同类项,在φ(a1,O2,……,O aa2…o如=ax(x1x2 b01o2…an=bn1(x1x2)2……(x1x2…xn)n+ =bx1t+…+nx2+3++n 因此ao饣a2…如与b12…m等化为x1,x2,…,xn的多项式后首项均不相 同,因此φ(σ1,a2,……,an)≠0.矛盾.口 例1将f( r2x2+x2x3+x12+x13+m23+n2x3+23表为 1,O2,O3的多项式 正明(法一)f(x1,x2,x3)的首项系数为xix2,令 a1-1a2=0102=(x1+x2+x3)(x1x2+x1x3+x2x3)=x2x2+x2x3+x1x3+2x3+ x22+3r1x2r3,所以f(x1,2,x3)=0102-303 (法二)这是齐次多项式,首项为xx2,指标集为(2,1,0).证明过程中指标f的 首项指标集只能为(1,1,1)相应的单项式为a1-o2oa=0102,d1-1o-la}=03 设∫=0102+bo3,令x1=m2=x3=1,01=3,02=3,03=1.f(x1,x2,x3)=6. 由6=3:3+b·1得b=-3,因此f(x1,x2,x3)=0102-303.口 例2将对称多项式f(x1,x2,x3)=(a+m2)(x1+3(n2+3)表为初等对称多 项式的多项式 证明∫是齐次多项式,次数为6,首项为xn2,指标为(4,2.,0),次数为6 指标比(4,2,0)小的只可能是(4,1,1),(3,3,0),(3,2,1),(2,2,2),相应的单项式为 a3o3,o3-3a2-08=02,oi-202a=010203,02-2a2-203=03,设 f=0102+a003+b02+c010203+do3, 取x1,x2,x3特殊值,得到a=-2,b=-2,c=4,d=-1.所以∫=072-20o3 202+41023-0 注若∫非齐次多项式,将∫分解为齐次多项式之和 Newton公式

byj1 1 y j2 2 · · · y jn n +· · ·, `3 a, b, · · · LÆ 0, b5q3 O￾% ϕ(σ1, σ2, · · · , σn) 3 aσ k1 1 σ k2 2 · · · σ kn n = ax k1 1 (x1x2) k2 · · ·(x1x2 · · · xn) kn + · · · = ax k1+k2+···+kn 1 x k2+k3+···+kn 2 · · · x kn n + · · ·, bσj1 1 σ j2 2 · · · σ jn n = bxj1 1 (x1x2) j2 · · ·(x1x2 · · · xn) jn + · · · = bxj1+j2+···+jn 1 x j2+j3+···+jn 2 · · · x jn n + · · ·,  aσ k1 1 σ k2 2 · · · σ kn n " bσj1 1 σ j2 2 · · · σ jn n ? x1, x2, · · · , xn )q>uLÆÆ ￾ ϕ(σ1, σ2, · · · , σn) 6= 0. W(
2 H 1 G f(x1, x2, x3) = x 2 1x2 + x 2 1x3 + x1x 2 2 + x1x 2 3 + x 2 2x3 + x 2 2x3 + x2x 2 3  σ1, σ2, σ3 )q
UI (,)f(x1, x2, x3) u x x 2 1x2, U σ 2−1 1 σ2 = σ1σ2 = (x1 + x2 + x3)(x1x2 + x1x3 + x2x3) = x 2 1x2 + x 2 1x3 + x1x 2 3 + x 2 2x3 + x2x 2 3 + 3x1x2x3, } f(x1, x2, x3) = σ1σ2 − 3σ3. (,+) *ta)q￾u x 2 1x2, 1 B (2, 1, 0). ,[;31 fi  u1 B2^ (1, 1, 1), Æq σ 2−1 1 σ 1−0 2 σ 0 3 = σ1σ2, σ 1−1 1 σ 1−1 2 σ 1 3 = σ3. m f = σ1σ2 +bσ3, U x1 = x2 = x3 = 1, σ1 = 3, σ2 = 3, σ3 = 1.f(x1, x2, x3) = 6.  6 = 3 · 3 + b · 1  b = −3,  f(x1, x2, x3) = σ1σ2 − 3σ3. 2 H 2 G')q f(x1, x2, x3) = (x 2 1 + x 2 2 )(x 2 1 + x 2 3 )(x 2 2 + x 2 3 ) ') q)q
UI f ta)q￾x 6, u x 4 1x 2 2 , 1  (4, 2, 0), x 6, 1  (4, 2, 0) 2N^t (4, 1, 1),(3, 3, 0),(3, 2, 1),(2, 2, 2), Æq σ 4−1 1 σ 1−1 2 σ 1 3 = σ 3 1σ3, σ3−3 1 σ 3−0 2 σ 0 3 = σ 3 2 , σ3−2 1 σ 2−1 2 σ 1 3 = σ1σ2σ3, σ2−2 1 σ 2−2 2 σ 2 3 = σ 2 3 , m f = σ 2 1σ 2 2 + aσ3 1σ3 + bσ3 2 + cσ1σ2σ3 + dσ2 3 , e x1, x2, x3 ~v/￾ a = −2, b = −2, c = 4, d = −1. } f = σ 2 1σ 2 2 − 2σ 3 1σ3 − 2σ 3 2 + 4σ1σ2σ3 − σ 2 3 . V j f /a)q￾G f 0Ja)q.=
k
Newton 7q 3

Newton公式 证Sk=++…+xn 因k≤n时,有Sk-8k-101+5k-202-…+(-1)-b10k-1+(-1)kok=0 因k>n时,有Sk-8k-101+8k-202-…+(-1)sk-nOn=0. 引将设f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=mn-01xn-1+…+(-1)o 则 x+r"(x)=(50x+s1 +Sk-1a+sk)f(r)+g(r), 其中dego(x)<n 令明因f(x)=∑m1f(x),所单 k+1 r(a)=∑-fa)=∑ f(x)+ ∑ f(ar) +r4-1x+x4)f(x)+g(x), 这里g()=f(x,显然dg(x)<n.因此, +Sk)∫(x)+g(x), 其中degg(x)<n.口 Newton公式化令明 因为f(x)=xn-01x-1+…+(-1)o;xn-+…+(-1)n-1an-1x+(-1)an 所单 1 等到理知 k+ln r (-1)(n-i) (s0x+s1xk-1+…+Sk-1x+sk)(xn-a1xn-1+…+(-1)"on)+9(x)

Newton CM U sk = x k 1 + x k 2 + · · · + x k n ,  k ≤ n n￾ sk − sk−1σ1 + sk−2σ2 − · · · + (−1)k−1 s1σk−1 + (−1)kkσk = 0.  k > n n￾ sk − sk−1σ1 + sk−2σ2 − · · · + (−1)n sk−nσn = 0. SG m f(x) = (x − x1)(x − x2)· · ·(x − xn) = x n − σ1x n−1 + · · · + (−1)nσn, & x k+1f ′ (x) = (s0x k + s1x k−1 + · · · + sk−1x + sk)f(x) + g(x), `3 degg(x) < n. UI  f ′ (x) = Pn i=1 1 x−xi f(x), } x k+1f ′ (x) = Xn i=1 x k+1 x − xi f(x) = Xn i=1 x k+1 − x k+1 i x − xi f(x) +Xn i=1 x k+1 i x − xi f(x) = Xn i=1 (x k + xix k−1 + x 2 i x k−2 + · · · + x k−1 i x + x k i )f(x) + g(x), *Q g(x) = x k+1 i x−xi f(x), g degg(x) < n. ￾ x k+1f ′ (x) = (s0x k + s1x k−1 + · · · + sk−1x + sk)f(x) + g(x), `3 degg(x) < n. 2 Newton CM?UI  f(x) = x n − σ1x n−1 + · · · + (−1)iσix n−i + · · · + (−1)n−1σn−1x + (−1)nσn, } x k+1f ′ (x) = x k+1[nxn−1 − (n − 1)σ1x n−2 + · · · + (n − i)(−1)iσix n−i−1 + · · · + 2(−1)n−2 σn−2x + (−1)n−1 σn−1]. P￾x k+1[nxn−1 − (n − 1)σ1x n−2 + · · · + (−1)i (n − i)σix n−i−1 + · · · + (−1)n−1σn−1] = (s0x k + s1x k−1 + · · · + sk−1x + sk)(x n − σ1x n−1 + · · · + (−1)nσn) + g(x). 4

当k≤n时,比较上式两端x的系数,因为deg(x)n时,上式左端xn的系数为0,故有 Sk-01Sk-1+O2Sk-2+ 例3n=3时, S2=a2+2+n3=(x1+x2+x3)2-2(x1x2+x1x3+x23)=012-202 S3=x2+m2+x3=(x1+x2+x23)3-3(x12x2)-6x1x2x3 而s(x2x2)=x2+1x3+x1m2+x1x32+2x3+x2n3=0102-303,所以 求s3第二种方法:由 Newton公式,S3-8201+102-303=0.所以s3=s201 s102+33=(-22)1-a102+303=03-30102+303.同理,s4-8301+s202=0 故S4=8901-8202=(01-30102)01-(0-202)02=a1-30102-0102+272 例4解下列方程组: r1+x2+x3+4=4 r2+n2+n3+2=4 x1+a2+r3+x3 x4+x4+x4+4=4 解设x1,x2,x3,x4是4次复系数多项式∫(x)=x4-01x3+02x2-03x+σ4的根 由已知s1=52=83=84=4,利用 Newton公式可得a1=4,02=6,03=4,4=1, 即x1,x2,x3,x4是∫(x)=x4-4x3+6x2-4x+1=0的4个根,但f(x)=(x-1) 故x1=1,1≤i≤4为方程组的解 例5求一个n次方程使81=s2 Sn-1=0

 k ≤ n n￾IlqS& x n  x￾ degg(x) n n￾lq:& x n  x 0, 8 sk − σ1sk−1 + σ2sk−2 + · · · + (−1)nσnsk−n = 0. 2 H 3 n = 3 n￾ s1 = x1 + x2 + x3 = σ1, s2 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = (x1 + x2 + x3) 2 − 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = σ 2 1 − 2σ2, s3 = x 3 1 + x 3 2 + x 3 3 = (x1 + x2 + x3) 3 − 3s(x 2 1x2) − 6x1x2x3. * s(x 2 1x2) = x 2 1x2 + x 2 1x3 + x1x 2 2 + x1x 2 3 + x 2 2x3 + x2x 2 3 = σ1σ2 − 3σ3, } s3 = σ 3 1 − 3(σ1σ2 − 3σ3) − 6σ3 = σ 3 1 − 3σ1σ2 + 3σ3. d s3 "+4., Newton 7q￾s3−s2σ1+s1σ2−3σ3 = 0. } s3 = s2σ1− s1σ2+3σ3 = (σ 2 1 −2σ2)σ1−σ1σ2+3σ3 = σ 3 1 −3σ1σ2+3σ3. P￾s4−s3σ1+s2σ2 = 0. 8 s4 = s3σ1 − s2σ2 = (σ 3 1 − 3σ1σ2)σ1 − (σ 2 1 − 2σ2)σ2 = σ 3 1 − 3σ 2 1σ2 − σ 2 1σ2 + 2σ 2 2 . H 4 JT.8    x1 + x2 + x3 + x4 = 4 x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 = 4 x 3 1 + x 3 2 + x 3 3 + x 3 4 = 4 x 4 1 + x 4 2 + x 4 3 + x 4 4 = 4 F m x1, x2, x3, x4 t 4 2 x)q f(x) = x 4−σ1x 3+σ2x 2−σ3x+σ4 6
- s1 = s2 = s3 = s4 = 4, R Newton 7qN σ1 = 4, σ2 = 6, σ3 = 4, σ4 = 1, C x1, x2, x3, x4 t f(x) = x 4 −4x 3 + 6x 2 −4x+ 1 = 0  4 46￾ f(x) = (x−1)4 , 8 xi = 1, 1 ≤ i ≤ 4 .8J
H 5 d4 n .p s1 = s2 = · · · = sn−1 = 0. 5

解由 Newton公式得a1=02=…=n-1=0,所以x+(-1)on=0,即 xn+a=0为所求的一个多项式 作业:P211.(1),2,3(m=3),4. 补充1:设∫是包含单项式xx2的项数最小的三元对称多项式,请写出f,并 将∫表示用初等对称多项式表示 补充2:求一个m次多项式使S2=83=…n=0 思考:设某个6次多项式满足s1=s3=0,则 挑战题:P21.6

F  Newton 7q σ1 = σ2 = · · · = σn−1 = 0, } x n + (−1)σn = 0, C x n + a = 0 }d4)q
< P221 1.(1), 2, 3(n = 3), 4.  1: m f t<q x 3 1x2 x9k$')q￾  f,  G f r')qr
 2: d4 n )qp s2 = s3 = · · · sn = 0. zMm℄4 6 )qV7 s1 = s3 = 0, & s7 7 = s5 5 · s2 2 .
' P221.6. 6